c. Was ist Quanten Statistik?
Die klassische statistische Mechanik beschreibt viele Phänomene, die in Viel Teilchen Systemen auftauchen. Ihre Vorhersagen sind sehr akkurat, solange die mittlere Entfernung zwischen den Teilchen viel größer als, die sogenannte, deBroglie Wellenlänge ist.
Die deBroglie Wellenlänge gibt direkt die Quantennatur der Materie, insbesondere das Konzept des Welle Teilchen Dualismus, wieder. Sie verbindet klassische Teilchen Physik (nicht im Sinne von Teilchenphysik) und quantenmechanische Wellen Physik miteinander, indem sie jedem Teilchen eine Wellenlänge zuordnet.
Hier symbolisiert l die deBroglie Wellenlänge, m die Masse und v die Geschwindigkeit des Teilchens. Der Buchstabe h steht für die Planck Konstante die 1900 von Max Planck eingeführt wurde.
Wir haben bereits gelernt, dass man die mittlere Geschwindigkeit der Teilchen in einem Gas einfach dadurch bestimmen kann, indem man die Temperatur des Gases misst. Da die kinetische Energie mit der Geschwindigkeit eines Teilchens in folgendem Zusammenhang steht
kann man einen Zusammenhang zwischen Temperatur und mittlerer Geschwindigkeit herstellen. Somit sind wir in der Lage die mittlere deBroglie Wellenlänge, der Teilchen (Atome oder Moleküle) mit Masse m, in einem Gas mit Temperatur T zu berechnen.
Diese Größe wird auch "thermische deBroglie Wellenlänge" gennant, da sie durch die thermische Bewegung der Teilchen verursacht wird. Als Beispiel kann man die thermische deBroglie Wellenlänge in, sagen wir mal, einem Sauerstoff Gas bei 20°C, das entspricht 293,15K, berechnen.
Die Masse eines Sauerstoff Atoms kann in jedem Periodensystem der Elemente nachgeschaut werden. Dem Periodensystem kann der Wert von 16 g/mol Sauerstoff entnommen werden. Allerdings kennen wir damit immer noch nicht die Masse eines einzelnen Sauerstoff Atoms. Dazu muss man sich erst einmal klar machen was ein Mol ist.
Ein Mol ist eine fest Definierte Anzahl von Atomen, nämlich 6·1023. Das ist eine 6 mit 23 Nullen dahinter. Also haben 6·1023 Sauerstoffatome zusammen eine Masse von 16 Gramm. Um die Masse eines Sauerstoffatoms zu erhalten muss man nur die beiden Zahlen durcheinander Teilen. Als Ergebniss erhält man die Masse von 2,7·10-23 =0,000000000000000000000023 Gramm für ein Sauerstoff Atom. Da Sauerstoffatome unter den gewählten Bedingungen eine Bindung eingehen und ein zweiatomiges Molekül bilden, muss man diese Masse mal zwei nehmen um die Masse eines Sauerstoffmoleküls zu erhalten.
Mit diesen Werten erhält man λ=8.2∙10-13 m=0.00000000082mm. Dieser Wert für die thermische deBroglie Wellenlänge ist sogar kleiner als der Radius des Moleküls. Also könnte man jetzt einwerfen dass sich Sauerstoffatome unter diesen Bedingungen niemals so nahe kommen können dass Quanteneffekte eine Rolle spielen. Allerdings lässt es sich auch nicht ganz ausschließen. In Neutronensternen und schwarzen Löchern wird Materie so stark komprimiert dass Quanteneffekte auch bei hohen Temperturen eine große Rolle spielen, jedoch soll an dieser Stelle nicht weiter darauf eingegangen werden.
Es scheint als sei diese Diskussion rein akademischer Natur und habe nichts mit unserer alltäglichen Welt zu tun, richtig? Falsch!
Die thermische deBroglie Wellenlänge ist nämlich keine Konstanten, sondern hängt, wie oben beschrieben, von mehreren Werten ab. Man kann zwar nicht den Wert der Planck- oder Boltzmann Konstante ändern, da es sich um fundamentale physikalische Konstanten handelt. Man kann auch nicht die Masse eines Atoms ändern, es sei denn man ersetzt es durch ein anderes Isotop oder Atom. Man kann jedoch die Temperatur des Gases ändern und somit die mittlere deBroglie Wellenlänge.
Aus der klassischen statistischen Mechanik weiß man, dass der mittlere Abstand zwischen Teilchen in einem Gas unter Standardbedingungen eine Größenordnung von 10∙10-9 m=10nm hat. Um quantenmechanische Effekte in einem sochen Gas zu beobachten muss man also die Temperatur so weit reduzieren, bis die thermische deBroglie Wellenlänge einen Wert von 10nm annimmt.
Diese Temperatur lässt sich einfach berechnen indem wir fordern dass die thermische deBroglie Wellenlänge 10nm beträgt.
Nur um es noch einmal zu verdeutlichen: Null Kelvin ist die niedrigste Temperatur die möglich ist, da sie einer mittleren Teilchengeschwindigkeit von Null entspricht, und langsamer geht nunmal nicht!
Das bedeutet, dass in einem Sauerstoffgas unter Normaldruck bei einer Temperatur von 2mK die klassische statistische Mechanik versagt und die Quanten Statistik herangezogen werden muss.
Man kann immer noch einwerfen dass solche Temperaturen nichts mit unserer Alltagswelt zu tun haben, da solche extremen Temperaturen nur im Labor erzeugt werden können (selbst im Weltraum ist es wärmer, da die Temperatur der Hintergrundstrahlung 2,7K entspricht). Jedoch sind Atome nicht die einzigen Teilchen die ein Gas bilden können.
Manchen Lesern dürfte bekannt sein, dass Elektronen in einem elektrischen Leiter als Elektronengas aufgefasst werden können. Die Besonderheit dieses Systems liegt darin, dass Elektronen 2000fach leichter und ungefähr 100mal dichter gepackt sind als Atome in einem Gas. Das führt dazu, dass die kritische Temperatur, ab der Quanten Effekte in Erscheinung treten ca. 10.000°C beträgt. Möchten man also das Verhalten eines Elektronengases bei Raumtemperatur (ca. 20°C) beschreiben muss man bereits die Quanten Statistik benutzen, da die klassische Theorie hier falsche Vorhersagen macht.
Das ist einer der Gründe, warum die Mikroelektronik und insbesondere der Festkörpertransistor erst Entwickelt wurden, nachdem man die Quantenmechanik verstanden hat. Die Quantenmechanik war ein notwendiges Mittel um die Eigenschaften von Elektronen auf einer mikroskopischen Skala zu Verstehen und zu Manipulieren.
In der Quanten Statistik werden alle möglichen Teilchen in zwei Kategorien eingeteilt. Deshalb behandelt der nächste Abschnitt die Frage: