d. Was sind Bosonen und Fermionen?
Quanten Objekte besitzen, im Gegensatz zu konventionellen makroskopischen Teilchen, keinen genau speifizierten Ort und keine genau spezifizierte Geschwindigkeit. Vielmehr sind sie über einen bestimmten Orts- (typischerweise die deBroglie Wellenlänge) und Geschwindigkeitsbereich "verschmiert". Das Prinzip dahinter nennt sich Heisenbergsche Unschärferelation. Es wurde 1927 von Werner Heisenberg im Rahmen der Quantenmechanik formuliert. Daraus folgt jedoch, dass wenn man zwei Teilchen so nahe zusammen bringt, dass sich ihre Wellenfunktionen berühren, sie prinzipiell Ununterscheidbar werden. Man kann sie dann nämlich noch nicht einmal anhand ihrer Position unterscheiden. Es muss also eine Viel Teilchen Wellenfunktion gefunden werden, die ihre Eigenschaften nicht ändert wenn man zwei oder mehrere individuelle Teilchen vertauscht.
Diese Tatsache führte zur Entwicklung symmetrischer und anti-symmetrischer Viel Teilchen Wellenfunktionen. Diese Wellenfunktionen stellen sicher, dass das oben Geforderte auch tatsächlich eintritt; nämlich dass ein Austausch von Teilchen keine physikalische Änderung hervorruft. An dieser Stelle sollte klar werden, dass alle Teilchen in der Natur grundsätzlich in zwei Kategorien eingeteilt werden können. Teilchen mit symmetrischer Wellenfunktion werden Bosonen genannt, während solche mit anti-symmetrischer Wellenfunktion Fermionen genannt werden.
Bisher gibt es keine physikalische Theorie, die vorhersagen kann welche Teilchen Bosonen und welche Fermionen sind. Das Spin-Statistik-Theorem gibt lediglich eine theoretische Begründung für den empirischen Befund dass Teilchen mit ganzzahligem Spin Bosonen und solche mit halbzahligem Spin Fermionen sind. Der Spin ist eine Eigenschaft quantenmechanischer Objekte, man kann ihn sich, vereinfacht gesehen, als eine Eigenrotation des Teilchens vorstellen, so wie die Erde um ihre eigene Achse rotiert. Allerdings ist diese Sichtweise nicht ganz korrekt. Der Spin wird in einem späteren Abschnitt genauer behandelt.
In mancher Hinsicht haben die beiden Teilchen Sorten entgegengesetzte Eigenschaften. Die wichtigste Eigenschaft, die beide voneinander unterscheidet, ist die Tatsache, dass zwei Fermionen niemals den selben Quanten Zustand einnehmen können. Also können zwei Fermionen, in einem System, niemals die selben physikalischen Eigenschaften haben.
Um sich das klar zu machen, kann man jedes beliebige Atom heranziehen. Atome bestehen aus einem Kern und einer Elektronenhülle. Die Elektronen der Hülle haben einen Spin ½ was sie zu Fermionen macht. Im Atom überlappen sich die Wellenfunktionen der einzelnen Elektronen in der Hülle sehr stark. Dadurch wird es notwendig sie durch eine anti symmetrische Viel Teilchen Wellenfunktion zu beschreiben. Folglich ist es, zwei Elektronen, nicht möglich sich in ein und demselben Zustand zu befinden. Mit dieser Erkentniss kann man auch erklären weshalb die Elektronen im Atom verschiedene Orbitale um den Kern herum bilden. Naiv betrachtet könnte man nämlich annehmen, dass sich alle Elektronen im niedrigsten Orbital sammeln müssen, da dieser die niedrigste Energie besitzt. Stattdessen finden in Wirklichkeit nur zwei Elektronen, mit entgegengesetztem Spin, im niedrigsten Orbital Platz.
Im Gegensatz dazu tendieren Bosonen eher dazu sich in einem Zustand zu sammeln. Dem wird im Allgemeinen durch thermische Bewegungen der Bosonen entgegengewirkt, so dass bei endlicher Temperatur nicht alle Teilchen eines Boson Gases den niedrigsten Energieszustand einnehmen. Beimabsoluten Temperatur Nullpunkt sollten sich jedoch alle Bosonen im System dort befinden.
Als Beispiel für ein Boson kann man das Photon heranziehen, welches das Quantum des elektromagnetischen Feldes, oder einfach Ausgedrückt, ein Lichtteilchen darstellt. In einem Laser werden sehr viele Photonen erzeugt. Die überwiegende Mehrheit von ihnen besitzt die selbe Frequenz und bewegt sich in die selbe Richtung. Sie nehmen somit denselben Quantenzustand ein. Nur ein kleiner Teil der emittierten Photonen hat eine andere Frequenz oder Ausbreitungsrichtung.
Die oben beschriebenen Eigenschaften von Bosonen und Fermionen lassen sich in den Verteilungsfunktionen zusammenfassen sie werden im übernächsten Abschnitt behandelt. Um jedoch die Verteilungsfunktionen zu verstehen muss zunächst die freie Energie und das damit verbundene chemische Potential eingeführt werden. Darum behandelt der nächste Abschnitt die Frage: