Ziele

Forschungsziele

Die Forschung von Mathematik Münster (MM) verfolgt integrierte Ansätze, um grundlegende Probleme in verschiedenen mathematischen Disziplinen zu lösen. Wir betrachten mathematische Forschung als ein organisches Ganzes mit zahllosen Verbindungen zwischen den Fachgebieten und fördern gezielt die Entwicklung mathematischer Methoden, die zu interdisziplinären wissenschaftlichen Durchbrüchen führen. Die Integration von Forschung innerhalb und über verschiedene Themenfelder hinweg sowie der dynamische Transfer von Techniken, Perspektiven und Wissen zwischen den mathematischen Fachgebieten stehen im Mittelpunkt unserer Strategie (siehe strukturelle Ziele).

O1: Die Weiterentwiclung der K-Theorie vorantreiben und offene Fragen in der Topologie angehen

Wir erforschen verschiedene Kohomologie-Theorien und ihren Nutzen für verschiedene Bereiche, darunter Algebra, geometrische Topologie und Operatoralgebren. Eine zentrale Rolle unter diesen Kohomologie-Theorien spielt die K-Theorie, die intensiv aus verschiedenen Blickwinkeln untersucht wird. So werden wir beispielsweise neue Berechnungen von K-Gruppen durchführen und neue Fälle der Farrell-Jones-Vermutung beweisen, um wichtige topologische Fragen wie die Borel-Vermutung zur topologischen Starrheit anzugehen. Wir verwenden die K-Theorie auch, um Krümmungsgrenzen auf Mannigfaltigkeiten zu erhalten und C*-Algebren zu klassifizieren.

Topic 1: K-groups and cohomology

O2: Modul-Räume untersuchen, um das Langlands-Programm und andere Bereiche voranzubringen

Unsere Forschung fördert das (lokale) Langlands-Programm durch die detaillierte Untersuchung der arithmetischen Eigenschaften, die den zugehörigen Modulräumen und Kategorien von Darstellungen innewohnen. Im weiteren Sinne sind Modulräume für zahlreiche mathematische Bereiche von zentraler Bedeutung. In der differentiellen Topologie spielen sie eine entscheidende Rolle bei der Untersuchung von Diffeomorphismusgruppen hochdimensionaler Mannigfaltigkeiten. In der Differentialgeometrie sind sie unerlässlich für die Untersuchung von Deformationen von Metriken mit positiver Skalarkrümmung. In der mathematischen Physik sind die Modulräume von stabilen Kurven und von Strebel-Differentialen von besonderem Interesse.

Topic 2: Moduli spaces in arithmetic and geometry

O3: Beantwortung offener Fragen zu C*-Algebren, Erstellung von Modellen und Untersuchung ihrer Theorien und externen Eigenschaften

Unsere Forschung konzentriert sich auf die Struktur und Klassifikation von C*-Algebren, mit besonderem Augenmerk auf den Nachweis von Existenz- und Klassifikationsergebnissen für Cartan-Unteralgebren innerhalb einfacher nuklearer C*-Algebren. Diese Forschung ist eng mit der Gruppentheorie und Gruppeneinwirkungen verbunden, die wir mit Werkzeugen aus der Funktionalanalysis, Wahrscheinlichkeitstheorie und Kombinatorik angehen. Darüber hinaus entwickeln und erkunden wir Modelle, die verschiedene Stärken und Eigenschaften umfassen, um Fragen aus der Algebra, Geometrie und Mengenlehre zu adressieren. Außerdem analysieren wir das Zusammenspiel von Determiniertheit-Hypothesen mit starken Hypothesen über große Kardinalzahlen.

O4: Annäherung an grundlegende offene Fragen in der Theorie der PDEs und der Differentialgeometrie durch einen Methodentransfer zwischen den Bereichen

Wir untersuchen das Zusammenspiel zwischen der (lokalen) Geometrie Riemannscher Mannigfaltigkeiten (wie Krümmung) und (globalen) topologischen und analytischen Eigenschaften der zugrunde liegenden Mannigfaltigkeit. Konkret zielen wir darauf ab, das Grove-Programm zu vervollständigen, indem wir unsere Strukturergebnisse für positiv gekrümmte Riemannsche Mannigfaltigkeiten und Einstein-Mannigfaltigkeiten mit Symmetrie auf Riemannsche Mannigfaltigkeiten mit beliebigen eindimensionalen Isometriegruppen und schließlich ohne jegliche Symmetrieannahme verallgemeinern. Wir befassen uns ferner mit Singularitäts- und Rigiditätsphänomenen für Riemannsche und Lorentzsche Einstein-Mannigfaltigkeiten und versuchen, die Stabilität der Kerr-Familie Schwarzer Löcher im Kontext der Allgemeinen Relativitätstheorie zu beweisen.

O5: Nutzung von Werkzeugen der stochastischen Analysis im Kontext nicht-kommutativer Feldtheorien

Durch die Kombination von Methoden der stochastischen Analysis, der freien Wahrscheinlichkeitstheorie und der topologischen Rekursion werden wir entscheidende Fortschritte bei der Konstruktion von Feldtheorien auf nicht-kommutativen Räumen in der kritischen Dimension erzielen. Wir planen, eine Theorie der stochastischen Quantisierung für skalare nicht-kommutative Quantenfeldtheorien in allen subkritischen Dimensionen und schließlich in der kritischen Dimension zu entwickeln. Konkret wollen wir die erste rigorose Konstruktion einer kritischen bosonischen Quantenfeldtheorie entwickeln.

Topic 7: Field theory and randomness

O6: Analyse von Strukturen und ihren Grenzwerten in stochastischen Modellen

Wir untersuchen zufällige geometrische Strukturen und deren Einfluss auf interagierende Teilchensysteme und analysieren Schwankungen sowie die Rolle von Unordnung in Skalierungsgrenzen. Wichtige Objekte sind geometrische Strukturen wie zufällige Tessellationen, zufällige Graphen und Netzwerke sowie Perkolation auf Gruppen.

Topic 8: Random discrete structures and their limits

O7: Analyse von Strukturen in Multiskalenprozessen und Ableitung effektiver Modelle

Wir analysieren Multiskalenphänomene in physikalischen, ingenieurwissenschaftlichen und biologischen Systemen und entwickeln mathematische Modelle sowie numerische Methoden zur Vorhersage ihres Verhaltens. Wir befassen uns mit Optimierungs- und Designproblemen, die mehrere Skalen umfassen, entwickeln Approximationsalgorithmen für optimale Kontrollprobleme, untersuchen Konvergenzraten in der nichtlinearen Homogenisierung und erforschen das Mischen und die Equilibration in der Fluiddynamik und kinetischen Gleichungen. Die Identifikation relevanter Skalen zur Ableitung von Skalierungsgrenzen ist ein verbindendes Thema.

Topic 9: Multiscale processes and effective behaviour

O8: Entwicklung innovativer Simulationswerkzeuge durch die Kombination von modell- und datenbasierten Ansätzen

Wir werden das grundlegende mathematische Verständnis künstlicher neuronaler Netze vorantreiben, indem wir beispielsweise Methoden des stochastischen Gradientenabstiegs für ihr Training entwerfen und rigoros analysieren. Durch die Kombination von datengesteuerten Ansätzen des maschinellen Lernens mit Modellreduktions-Methoden werden wir vollständig zertifizierte Multi-Fidelity-Modellierungen für parametrisierte PDEs entwickeln, Deep-Learning-basierte Approximationsverfahren höherer Ordnung für parametrische SPDEs entwerfen und untersuchen und kostenoptimale Multi-Fidelity-Approximationsverfahren für Optimierung mit PDE-Nebenbedingungen und inverse Probleme konstruieren.

Topic 10: Deep learning and surrogate methods

Strukturelle Ziele

Wir bieten eine Vielzahl von Maßnahmen und Programmen, um unseren Forschungsansatz erfolgreich umzusetzen.

O9: Umsetzung eines integrierten Ansatzes über mathematische Disziplinen hinweg und Steigerung der internationalen Sichtbarkeit.

Unser Ansatz betrachtet die Mathematik als ein integriertes Ganzes und zielt darauf ab, das Zusammenspiel der Disziplinen zu stärken und zu fördern, um Innovationen voranzutreiben. Im Gegensatz zum nationalen und internationalen Trend zur Spezialisierung sehen wir Mathematics Münster als Modell für vernetztes mathematisches Forschen und Lehren. Aufbauend auf den erfolgreichen Initiativen und Entwicklungen der ersten Förderperiode unseres Exzellenzclusters streben wir an, dieses Programm auf die nächste Ebene zu heben und ein nachhaltiges, international anerkanntes Forschungszentrum für Mathematik zu entwickeln.

O10: Gewinnung und Unterstützung herausragender Nachwuchswissenschaflter:innen und Förderung von Chancengleichheit und Vielfalt.

Wir streben an, unsere Promotions- und Postgraduiertenprogramme weiter zu verbessern, um die weltweit besten Talente in der Mathematik anzuziehen und zu fördern. Durch die Schaffung eines anregenden Forschungsumfelds mit aktiver Karriereentwicklung und Betreuung fördern wir frühzeitige wissenschaftliche Unabhängigkeit und unterstützen sowohl exzellente mathematische Forschung als auch erfolgreiche akademische Karrieren.

Die Förderung von Vielfalt, Chancengleichheit und Inklusion ist entscheidend für unseren integrierten Forschungsansatz. Unser Ziel ist es, die Geschlechtergerechtigkeit auf allen Ebenen deutlich zu verbessern und ein inklusives Forschungs-, Arbeits- und Lernumfeld zu schaffen, das von vielfältigen Perspektiven und Hintergründen profitiert.