Erster Schritt für die Berechnung eines Impuls-Null-Potentials mittels
einer MC-Simulation wird sein, sich auf eine endliche Anzahl von Kopplungen
zu beschränken. Schon die Störungstheorie hat gezeigt, daß die Kopplungskonstanten
hin zu höheren Moden schnell kleiner werden. Deshalb soll das Impuls-Null-Potential
aus Gleichung (
) durch die ersten
Fugazitäten approximiert
werden,
Kennt man die Ableitung
an den Stellen mit
, so
kann man nach den Sätzen über endliche Fourierreihen
die Fugazitäten durch
berechnen. Die Ableitungen des Impuls-Null-Potentials können durch
die Messung der -Kerne ermittelt werden, denn
Setzt man , so folgt daraus,
Der -Kern erster Ordnung läßt sich für die Verwendung von Delta-Blockspins
nach Gleichung
als Erwartungswert
schreiben. Diese Erwartungswerte der Form
können mit Hilfe des Metropolis-Algorithmus aus [PIN92] bestimmt werden.
Für GAUSS-Blockspins gibt es nun zwei mögliche Erwartungswerte der
Form (), einmal
analog zu Gleichung (
)
Bei MC-Simulationen zur Berechnung dieser beiden Erwartungswerte mit dem Wärmebad-Algorithmus
hat sich gezeigt, daß bei gleicher Rechenzeit die Fehlerbereiche des
-Kerns mit der Observable in (
) ungefähr um den Faktor zwei kleiner waren
als nach (
). Aus diesem Grund wurden die effektiven Fugazitäten im folgenden
mit Hilfe der Gleichung (
) ermittelt.
Als erstes wurde das effektive Potential, approximiert durch die ersten
beiden Fugazitäten , auf einem Gitter der Größe
gemessen.
Der RG-Schritt ergab sich
als GAUSS-Blockspin-Transformation mit
bei
. Da für die
effektive Hamiltonfunktion zu diesem Zeitpunkt noch keine geeignete Parametrisierung
existierte, wurden anstelle der
iterativen Schritte mit Blocklänge
ein
Schritt mit Blocklänge
bei einem modifizierten Parameter
ausgeführt. Die Starttheorie war eine Hamiltonfunktion der Gestalt
() mit den Fugazitäten
und einer
Bilinearform
, die der lokalen Version der Fixpunktwechselwirkung einer
freien, masselosen Theorie für diese RG-Transformation entspricht
, d. h.
Ab der Blocklänge tritt
spürbar der Effekt des ``critical slowing down'' auf, für den lokale Updater,
wie der benutzte Wärmebad-Algorithmus, besonders anfällig sind. Aus
diesen Gründen wurden keine Simulationen mit Blöcken größer als
durchgeführt.
In Tabelle sind die effektiven Fugazitäten für die Blocklängen
eingetragen.
Die ``Kleinerzeichen'' drücken aus, daß der Fehler größer
als der Betrag der Meßgröße war. Die Zahl gibt dann eine Abschätzung
für den Betrag an. Die effektiven Fugazitäten für
Temperaturen
treiben mit dem RG-Fluß schnell gegen Null,
während die Fugazität für die Temperatur
zwar erst abfällt,
um dann aber wieder anzusteigen.
Begibt man sich mit
in die Nähe der
vermuteten kritischen Linie, so wird die Änderung der Fugazitäten
pro RG-Schritt klein. Das Verhalten der effektiven Fugazitäten der
Impuls-Null-Potentiale entspricht damit bei den untersuchten Temperaturen qualitativ der
im Kapitel 1 geschilderten Fugazität des Kosterlitz-Thouless-Szenarios.
Vergleicht man die MC-Werte mit den Ergebnissen der Störungstheorie in Tabelle
, so zeigt sich eine gute Übereinstimmung der effektiven Fugazitäten.
Man beachte, daß für
die Fugazität ab einer Blockgröße von
wieder ansteigt; im KT-Bild würde man dementsprechend den Punkt
der gebrochenen Phase zuordnen.
Mit Hilfe von MC-Simulationen kann man ebenfalls die Größenordnung der effektiven
Fugazitäten zu höheren Moden abschätzen. Dazu wurde für die Temperaturen
und
die Ableitung des Impuls-Null-Potentials
an den neun Stellen
gemessen.
Um den Verlauf des Potentials
zu berechnen, wurden die Ableitungen zwischen den Meßwerten
durch kubische Splines interpoliert, die anschließend über
integriert werden konnten.
Dabei ist die Integrationskonstante so
gewählt worden, daß
ist. Um die Fehlertoleranzen
zu bestimmen, wurden die Meßwerte in 100 Gruppen unterteilt. Das Potential ist
dann für jede Gruppe berechnet worden; die in den Abbildungen eingetragenen
Punkte bzw. Fehler ergaben sich als Mittelwert bzw. Standardabweichung
der so berechneten Potentiale an den Stützstellen. Zusätzlich wurden noch die Symmetrien
ausgenutzt.
Wie Abbildung zeigt, ist bei
für
große Skalenänderungen das effektive Potential nicht mehr durch die niedrigste
Mode
darstellbar, weicht also signifikant von
der Form einer reinen Cosinus-Funktion ab. Hingegen ist es nach
Abbildung
bei
ausreichend, das effektive Potential durch die niedrigste Mode anzunähern,
bis schließlich für
der Verlauf durch das Rauschen verwischt wird.
Dieses wird bestätigt, wenn man jeweils die Fugazitäten
anhand der gemessenen Ableitungen der Potentiale berechnet (vergl.
Anhang B Tabellen
bzw.
).