Die RG-DGL im KT-Szenario sind Gleichungen in Ordnung . Ebenso zeigt sich
die Temperaturänderung auf einer Linie konstanter Physik erst ab der
zweiten Ordnung Störungstheorie in
für den Erwartungswert der Schichtdicke.
Deshalb erfolgen
die Berechnungen für das Impuls-Null-Potential auch in zweiter Ordnung. Die
Normierungskonstanten müssen nicht beachtet werden, da sie nur den Wert der
physikalisch nicht relevanten Kopplungskonstanten
festlegen. Mit Hilfe
des Fluktuationspropagators
kann man nun schreiben,
Der Erwartungswert für die erste Ordnung berechnet sich zu
Ebenso ergibt sich nach kurzer Rechnung für den quadratischen Term
Betrachtet man die Entwicklung
und führt einen Koeffizientenvergleich für Terme der Form
bzw.
durch, so gelangt man i.a. zu einem gekoppelten,
nichtlinearen Gleichungssystem für die Kopplungskonstanten
. Falls man
mit dem Sine-GORDON-Potential, d. h.
,
die RG-Transformation durchführt, entkoppeln diese Gleichungen zu
Das Impuls-Null-Potential kann also in dieser Näherung durch
Angabe der beiden Kopplungen und
charakterisiert werden, wobei
für kleine
die Kopplung
vernachlässigbar
gegenüber
wird.
In Abbildung
ist das Verhältnis
in Abhängigkeit
der Ausgangstemperatur des kinetischen Terms
für Delta-Blockspins
aufgetragen.
Diese Quotienten nähern sich für große Blöcke dem Verlauf der Sprungfunktion
an. Untereinander schneiden sich alle Linien ab einer Blockgröße
bei einer Temperatur aus dem Intervall
.
Setzt man voraus, daß auch die Linie zu
unendlicher Blocklänge in diesem Bereich die anderen Linien schneidet, so wird man
als Sprungtemperatur
den Wert
angeben können.
Die Sprungtemperatur kann genauer bestimmt werden, indem man nicht mit dem
Laplaceoperator als Wechselwirkung startet, sondern zur Konvergenzbeschleunigung
von Bilinearformen ausgeht, die auch höhere Potenzen von besitzen.
Dazu führt man die Schwellwert-Temperatur, definiert durch
, ein, denn für
große Blöcke sollte diese Temperatur gerade gegen die Sprungtemperatur
streben.
In Abbildung
sind die Temperaturen
für die verschiedene Start-Hamiltonfunktionen der Form
eingetragen. Die Gleichungen
wurden dazu für jede Blockgröße
und Hamiltonfunktion numerisch mit Hilfe des NEWTON-Verfahrens
gelöst. Die Wechselwirkung
legt den Bereich für die Sprungtemperatur
auf das Intervall
fest.
Die Vorfaktoren zu den höheren Potenzen habe ich durch Ausprobieren gefunden.
Durch die Variation des Vorfaktors zum
-Terms
zeigt sich die Konvergenzbeschleunigung der Schwellwert-Temperatur.
Man kann alle diese Berechnungen auch mit GAUSS-Blockspins durchführen;
die Quintessenz ist unabhängig von der Art des Blockspins. Zum Beispiel läßt
sich analog zu Abbildung eine Konvergenzbeschleunigung für
einen GAUSS-Blockspin mit
erreichen, indem man
die Start-Bilinearform gemäß
wählt. Auch diesen Satz von Vorfaktoren habe ich durch Ausprobieren ermittelt.
Beschränkt man sich auf ein grobes Gitter , das nur aus einem Gitterpunkt
besteht, kann man den Übergang zu einer Sprungfunktion auch analytisch zeigen.
In diesem Fall ergibt sich der Fluktuationspropagator aus
Die Asymptotik dieses Fluktuationspropagators ist für große Gitter durch
gegeben. Somit gilt für das Kopplungsverhältnis im Grenzübergang zu beliebig großen Gittern