Renormierungsgruppenfluß im Kontinuum

Die Hamiltonfunktion () des Sine-GORDON-Modells besitzt die globale Symmetriegruppe der ganzen Zahlen , d. h., sie ist invariant unter Addition einer globalen Konstanten auf eine Feldkonfiguration

Überträgt man diese Funktion ins Kontinuum, indem man den Laplaceoperator () durch den Differentialoperator und die Summationen durch Integrationen ersetzt, so gelangt man wieder zu einer global -symmetrischen Hamiltonfunktion.
Ebenfalls eine globale -Symmetrie besitzt die Gruppe der Solid-on-Solid-Modelle (SOS), die für das Studium von Grenzflächen von Interesse ist. Dabei handelt es sich i. a. um zweidimensionale Gittermodelle, deren Zustandssumme vom Typ

ist. Wichtige Vertreter dieser Gruppe sind das diskrete GAUSS'sche Modell und das dazu duale XY-Modell mit VILLAIN-Wirkung [SAV80]. Von den SOS-Modellen und dem Sine-GORDON-Modell nimmt man an, daß sie zur KOSTERLITZ-THOULESS Universalitätsklasse gehören (Untersuchungen hierzu findet man z. B. in [HMP94] ).
Ein Modell im kritischen Zustand ist durch sein Verhalten bei großen Abständen charakterisiert. Eine Möglichkeit, dieses zu untersuchen, ist durch die Renormierungsgruppe (RG) gegeben. Eingeführt von KADANOFF, konnten WILSON und KOGUT sie in [WK93] als wirkungsvolles Werkzeug zur Analyse kritischer Phänomene darstellen. Am einfachsten kann man ein KT-Szenario am Beispiel des RG-Flusses des Sine-GORDON-Modells im Kontinuum zeigen. Für kleine Fugazitäten werden keine weiteren Parameter außer und zur Charakterisierung des Flusses benötigt. Für die ansteigende Längenskala ergeben sich die laufenden Parameter und aus den KT-FlußGleichungen [KT73], [KOS74]

mit

wobei die Konstante von der gewählten Cutoff-Funktion abhängt.

Die Trajektorien der Gleichung () sind die in Abbildung dargestellten hyperbolischen Funktionen . Dabei zeigen die Pfeile die Flußrichtung für die wachsende Längenskala an. Der Parameterraum wird durch die Linie in drei Gebiete unterteilt.

• Gebiet I entspricht der masselosen Phase. Alle Trajektorien enden in einem Fixpunkt auf der attraktiven Linie , der einer freien, masselosen Theorie bzw. einem kontinuierlichen GAUSS 'schen Modell entspricht. Diese Modelle besitzen eine größere Symmetrie, diejenige der rellen Zahlen; man spricht deshalb auch von ``symmetry enhancement''. Da durch die Fixpunktwirkung das Verhalten der auf der Trajektorie liegenden Modelle bei großen Abständen charakterisiert wird, ist die Korrelationslänge in diesem Gebiet unendlich. Die globale -Symmetrie ist nicht spontan gebrochen.
• Die Gebiete II und III bilden die massive Phase. Mit größer werdender Längenskala steigt die Fugazität, abgestoßen von der instabilen Linie , an (evtl. erst nach vorhergehendem Abfallen). Die Korrelationslänge ist endlich. Die globale -Symmetrie ist spontan gebrochen.

Daraus ergibt sich nach () der singuläre Teil der freien Energie

Da alle Ableitungen der freien Energie bei stetig sind, handelt es sich hier nach der Ehrenfest-Klassifikation um einen Phasenübergang unendlicher Ordnung.