GAUSS 'sche Maße

Sei ein positiv-semidefiniter, linearer und symmetrischer Operator auf dem Raum der quadratsummierbaren Felder , mit einer Matrixdarstellung derart, daß . Das normierte GAUSS 'sche Maß für ein reelles skalares Feld auf sei dann durch seine Fouriertransformation

definiert. Man bezeichnet den Operator auch als Propagator oder Kovarianz. Ist diese positiv definit, so gilt die formale Identität

Der Erwartungswert einer Observablen bezüglich des GAUSS'schen Maßes läßt sich dann schreiben als

Eine wichtige Eigenschaft GAUSS 'scher Maße geht aus dem Faltungssatz hervor. Seien und Felder auf mit den Propagatoren und , so gilt für den Propagator

und damit für die Erwartungswerte einer Observablen die Faltungsformel

Um auf einem Gitter keine Region physikalisch auszuzeichnen, wählt man periodische Randbedingungen. Dann ist der Propagator translationsinvariant, und seine Fouriertransformierte entspricht einer Diagonalmatrix.
Das GAUSS 'sche Maß soll auch für den Fall existieren, bei dem das ``Inverse'' des Propagators eine Nullmode besitzt. In diesem Fall führt man den parameterabhängigen linearen Operator mit ein, und definiert das Maß im Sinne der Existenz des Grenzwertes

Auf diese Problematik stößt man z. B. mit dem Laplaceoperator

Hierbei ist der Impuls ein Element der Brillouin-Zone , d. h.

Die Erwartungswerte können wir mit Hilfe des ``massebehafteten'' Operators

berechnen. Sinnvoll ist es dabei, den entsprechenden Propagator

in einen für divergenten und einen konvergenten Anteil aufzuspalten,

Damit läßt sich der in () geforderte Grenzwert ermitteln,

Führt man jetzt noch die Matrix

im weiteren auch Coulombpropagator genannt, ein, so läßt sich abschließend schreiben