Sei ein positiv-semidefiniter, linearer und symmetrischer Operator auf dem Raum der
quadratsummierbaren Felder
, mit einer Matrixdarstellung
derart, daß
.
Das normierte GAUSS 'sche Maß
für ein reelles skalares
Feld
auf
sei dann durch seine Fouriertransformation
definiert. Man bezeichnet den Operator auch als Propagator oder
Kovarianz. Ist diese positiv definit, so gilt die formale Identität
Der Erwartungswert einer Observablen bezüglich des GAUSS'schen Maßes
läßt sich dann schreiben als
Eine wichtige Eigenschaft GAUSS 'scher Maße geht aus dem Faltungssatz hervor.
Seien und
Felder auf
mit den Propagatoren
und
, so
gilt für den Propagator
und damit für die Erwartungswerte einer Observablen die
Faltungsformel
Um auf einem Gitter keine Region physikalisch auszuzeichnen, wählt man
periodische Randbedingungen. Dann ist der Propagator
translationsinvariant, und seine Fouriertransformierte
entspricht einer
Diagonalmatrix.
Das GAUSS 'sche Maß soll auch für den Fall existieren,
bei dem das ``Inverse'' des Propagators eine Nullmode besitzt. In diesem Fall
führt man den parameterabhängigen linearen Operator
mit
ein, und definiert das Maß im Sinne der Existenz des
Grenzwertes
Auf diese Problematik stößt man z. B. mit dem Laplaceoperator
Hierbei ist der Impuls ein Element der Brillouin-Zone
, d. h.
Die Erwartungswerte können wir
mit Hilfe des ``massebehafteten'' Operators
berechnen. Sinnvoll ist es dabei, den entsprechenden Propagator
in einen für divergenten
und einen konvergenten Anteil
aufzuspalten,
Damit läßt sich der in () geforderte Grenzwert ermitteln,
Führt man jetzt noch die Matrix
im weiteren auch Coulombpropagator genannt, ein, so läßt sich abschließend schreiben