Zustandssumme des Sine-GORDON-Modells

Das Sine-GORDON-Modell beschreibt ein Sytem einkomponentiger reeller Spinvariablen mit einem periodischen Selbstwechselwirkungspotential. Der Name entstand durch die Möglichkeit, das Sine-GORDON-Modell mit Hilfe einer nichtlinearen Modifikation aus der KLEIN-GORDON-Gleichung abzuleiten. Die Hamiltonfunktion lautet

wobei die Schreibweise die Summation über alle ungeordneten Paare benachbarter Spins bedeutet. Nutzt man die Identität aus, so läßt sich die Zustandssumme formal schreiben als

Mit Hilfe des GAUSS'schen Maßes kann man die Zustandssumme schreiben als

In dieser Gestalt kann die Zustandssumme weiter umgeformt werden zu

Damit ist die Äquivalenz von einem Sine-GORDON-Modell und einem neutralen Coulomb-Gittergas in großkanonischer Darstellung hergestellt. Der Coulombpropagator vermittelt nämlich als ``Inverses'' des Laplaceoperators (im Sinne von ()) das Coulombpotential für eine insgesamt neutrale Ladungsanordnung auf einen zweidimensionalen Gitter. Dabei kann die Ladung an einem Gitterpunkt nur ganze Vielfache von annehmen. Leitet man zudem das Verhalten des Potentials für Abstände ab (z. B. in [ID91]),

wobei die EULER'sche Konstante ist, so erkennt man das vom Kontinuum her bekannte logarithmische Verhalten. Den Parameter wird man entsprechend als Fugazität identifizieren, wobei das chemische Potential kennzeichnet.