ein.
Im Rahmen einer freien, masselosen Theorie zeigt diese Observable für
Gitter mit großer Kantenlänge ein charakteristisches logarithmisches Ansteigen
Beim Szenario einer ``roughening transition'' dient nun die Schichtdicke als Ordnungsparameter. Man unterscheidet hiermit die ``rauhe'' (masselose) Phase von der ``glatten'' (massiven) Phase. In der rauhen Phase zeigt das Verhalten der Schichtdicke für große Gitter analog zur freien, masselosen Theorie einen logarithmischen Anstieg
Im Gegensatz zur freien Theorie steht im Vorfaktor zum logarithmischen Term nicht die Temperatur
des Modells, sondern man spricht hier von der sog. effektiven Temperatur.
In der glatten Phase bleibt die Schichtdicke auch im Grenzfall unendlich großer Gitter endlich.
Da die Schichtdicke durch das Verhalten des Modells
bei großer Entfernung domimiert wird, sollte diese effektive Temperatur in
der rauhen Phase, für den Fall der
Anwendbarkeit der KT-Theorie für ein Modell, nach Abbildung 
immer
kleiner sein als die Temperatur des Modells.
Will man nun für ein Sine-GORDON-Modell mit bestimmter Temperatur und Fugazität
nachweisen, daß es in der rauhen Phase liegt, so wird man das asymptotische Verhalten der
Schichtdicke auf die charakteristische logarithmische Divergenz hin untersuchen. Dieser
Test wurde in [EHM+91] für das diskrete GAUSS'sche Modell durchgeführt; es
konnte mit Hilfe von MC-Simulationen innerhalb sehr kleiner Fehlertoleranzen gezeigt werden,
daß das Verhalten der Schichtdicke für die untersuchte Temperatur
konsistent
mit einer durch Gleichung (
) beschriebenen Asymptotik ist.
Durch einen störungstheoretischen Ansatz zum Sine-GORDON-Modell wird in [HMP] gezeigt, daß, unter
der Voraussetzung, daß die Schichtdicke nach Gleichung ({) logarithmisch
divergiert, die effektive Temperatur kleiner ist als die Temperatur des Modells.
Für das Sine-GORDON-Modell habe ich zuerst die Schichtdicken bei den
Temperaturen bzw.
auf Gittern der Größe
per Monte-Carlo (MC) Simulation ermittelt
.
Die Meßwerte sind in Tabelle aufgelistet bzw. in
Abbildung eingezeichnet.
Das wichtigste Ergebnis ist, daß die gemessenen Schichtdicken ab Gittern der Größe
konsistent mit einer logarithmischen Asymptotik sind. Führt man nun einen
linearen Fit für die Meßwerte ab
unter der Prämisse der kleinsten quadratischen
Abweichungen der Meßpunkte von der Ausgleichgraden durch, so gelangt man für
zu
einer effektiven Temperatur
und für
zu
. Man beachte, daß die effektiven Temperaturen kleiner
als die Temperaturen der zugehörigen Sine-GORDON-Modelle sind, wie man es nach dem RG-Fluß
zum KT-Szenario erwarten würde. Um die Fehler besser sichtbar zu machen, sind in
der Abbildung {
die Differenzen
eingetragen. Das asymptotische Verhalten dieser Größe ist durch
gegeben. Somit erkennt man anhand der in Abbildung { eingetragenen Fits,
daß die effektive Temperatur kleiner als die Temperatur des Modells ist.
Diesem Verfahren zur Bestimmung der effektiven Temperatur sind Grenzen gesetzt.
Da die Abweichungen von der
Ausgangstemperatur gering sind, müssen die Fehler für die einzelnen Schichtdicken
sehr klein sein, um überhaupt eine signifikante Änderung feststellen zu können.
Bei einer Annäherung an die kritische Linie wird der RG-Fluß,
wie in Abschnitt beschrieben, sehr langsam. Damit tritt
auch das charakteristische logarithmische Verhalten erst bei viel größeren
Gittern als den hier untersuchten zu Tage.
Nun ist aber die Rechenzeit zum Messen einer Schichtdicke mit vorgeschriebenem Fehler
ungefähr proportional zur Anzahl der Gitterpunkte (der
verwendete Cluster-Algorithmus zeigte nur wenig ``critical slowing down'').
Bedenkt man weiter, daß ich für das Messen der Schichtdicke auf einem Gitter der Größe
mit den geforderten kleinen
Fehlern schon 210 Stunden Rechenzeit auf einer RS/6000 580 verbraucht habe, so wird
klar, daß ähnliche Studien auf noch größeren Gittern nicht realistisch sind.
Die Menge aller Modelle in der rauhen Phase, die zu einer
effektiven Temperatur
gehören, liegen auf einer Linie konstanter
Physik.
Mit Hilfe einer Störungstheorie in Ordnung
für die Schichtdicke
werden diese Linien durch
beschrieben [HMP]. Insbesondere liegt hiernach die Phasengrenze
zwischen rauher und glatter Phase entlang der Gerade
.
Allerdings ergibt sich schon für relativ kleine
bei einer Temperatur von
eine
deutliche Abweichung der störungstheoretischen effektiven Temperatur nach
Gleichung (
),
, und dem oben ermittelten MC-Wert
.
Einer Trajektorie des RG-Flusses in Abbildung
und einer
Linie konstanter Physik ist nun gemein, daß die Modelle auf ihnen jeweils das
gleiche Verhalten für große Entfernungen besitzen. In Kapitel
wird noch einmal auf diesen Zusammenhang eingegangen.