Transkription
Simone: Willkommen bei On a Tangent, dem Podcast, in dem die Geschichten hinter der Mathematik im Mittelpunkt stehen. Mein Name ist Simone und in jeder Folge werde ich von einer anderen Nachwuchsmathematikerin oder Mathematiker aus Münster begleitet, um mehr über ihren Weg zur Mathematik und ihre Hoffnungen für die Zukunft zu erfahren. Diese Episode erscheint während des Pride-Monats und ich werde von Azul, einer Doktorandin in der Mengenlehre, begleitet. Wir erfahren, wie das Auswahlaxiom die Universen, in denen es gilt, verändert, warum die Mengenlehre die Mathematik der Mathematik ist und was der schnellste Weg zu einem Eis ist. Ich hoffe, Ihnen gefällt diese Episode. (...) Also, Azul... Willkommen zum Podcast.
Azul: Hallo. Es ist schön, hier zu sein.
Simone: Ja. Danke, dass du dabei bist. Wie du weißt, erkunden wir im Podcast die Geschichten unserer Gäste. Und deshalb möchte ich mit deiner Vergangenheit beginnen. Was ist deine früheste Erinnerung an Mathematik?
Azul: Eigentlich liebe ich diese Frage. Als du mir gesagt hast, dass du diesen Podcast machen würdest, habe ich dich gefragt, welche Art von Fragen du stellen würdest. Und du hast mir dieses Beispiel gegeben, und ich war so froh, weil ich diese Erinnerung habe und mich das noch nie jemand gefragt hat. Und ich wusste es selbst nicht, bis du mich gefragt hast. Ich bin super glücklich, das zu erzählen. Also, die Sache ist die: Als ich ein Kind war, war der Stadtplan meiner Heimatstadt ein Gitter. Und es gibt diesen Hauptplatz im Stadtzentrum, der ein Quadrat ist. Es ist 100m mal 100m groß, aber es hat auch ein Kreuz in der Mitte. Und eine der Dinge, die wir oft mit meiner Mutter gemacht haben, war, von unserem Haus ins Stadtzentrum zu gehen und ein Eis an der Ecke des Platzes zu essen. Und dafür war es am besten, den Platz diagonal zu überqueren, richtig? Und die meisten Blocks in meiner Stadt haben das nicht, es ist nur dieser Teil, den man diagonal überqueren kann. Als ich ein Kind war, habe ich darüber nachgedacht, ob es wirklich besser war. Ich denke, dass ich es sehen konnte, also einfach um mich schauen und sehen könnte, dass es kürzer war, als zwei Blocks von 200m zu gehen. Aber ich wollte immer genau wissen…
Simone: Wie viel besser.
Azul: Wie viel besser es war, weil es mir schien, dass es mehr als ein Block war, aber weniger als zwei.
Simone: Also besser als zwei.
Azul: Ja, aber nicht so viel besser. Also… wie viel. Und ich war besessen davon und versuchte zu schätzen. Aber es war super schwer.
Simone: Schneller zum Eis kommen.
Azul: Natürlich. Wie viel schneller kommen wir zum Eis?
Simone: Genau.
Azul: Aber ich versuchte immer, das im Kopf machen. Meine Schätzung war etwa 1,5. Ich kannte nicht einmal Dezimalzahlen, denke ich, zu diesem Zeitpunkt. Aber so wie die Hälfte.
Simone: Die Hälfte. Ja.
Azul: Aber ich konnte nie beantworten, ob die Diagonale weniger oder mehr als 1,5 war. Und das war einfach etwas, das ich lange im Kopf hatte.
Simone: Bis du es viele Jahre später in der Schule plötzlich herausfandst?
Azul: Ja. Ja, definitiv. Es war viel später, und ich lebte nicht einmal mehr dort. Die Antwort kam zehn Jahre später.
Simone: Und denkst du irgendwie, dass diese Art von… Nun, dies ist in gewisser Weise ein sehr geometrisches Problem, das dann irgendwie mit dem verbunden ist, was du heutzutage in deiner Forschung machst. Warst du schon immer ein sehr visueller oder geometrischer Denker?
Azul: Ich würde sagen, ja. Als ich bei einer Mathematik-Olympiade in der Schule war, war meine Lieblingsdisziplin die Geometrie. Also euklidische Geometrie. In dieser Hinsicht, ja. Aber ich würde sagen, ich bin schlecht im visuellen Denken im Sinne von... Es ist sehr schwer für mich, sich Figuren vorzustellen. In diesem Sinne würde ich sagen, nein, aber weil ich mir nicht so viel vorstellen kann, zeichne ich dann Dinge. Ich meine, ich mag es, diesen Mangel an Vorstellungskraft durch das Zeichnen von Diagrammen und Zeichnungen zu kompensieren, um mir selbst zu helfen.
Simone: Ich habe das Thema schon ein wenig angesprochen: Was machst du heutzutage in der Forschung?
Azul: Ich studiere Mengenlehre. Das ist der Bereich. Es gehört zur Logik, wie du weißt.
Simone: Natürlich. Endlich haben wir einen Logiker im Podcast.
Azul: Ja. Ich meine, es ist einfacher, es dir zu erklären, oder?
Simone: Natürlich. Aber für unser Publikum...?
Azul: Ja. Also, ich studiere Probleme, die mit dem Auswahlaxiom und den Teilmengen der reellen Zahlen zusammenhängen. Irgendwie sind die Objekte sehr ähnlich wie normale Mathematik, sagen wir mal. Und es gibt einige geometrische Objekte, die ich untersuche. Aber aus der Perspektive der Theorie, weil die Fragen damit zu tun haben, wie viel Auswahlaxiome man braucht, um diese Objekte zu konstruieren oder nicht, was im Wesentlichen eine mengentheoretische Frage ist.
Simone: Ja. Und erklärst du das so deinen Freunden, die keine Mathematiker sind? Wenn sie fragen, natürlich.
Azul: Natürlich nicht. Ich meine, sie wissen nicht, was das Auswahlaxiom ist.
Simone: Und warum Mengenlehre für die Leute wichtig ist, meine ich.
Azul: Ich meine, ich bin mir nicht einmal sicher, ob Mathematiker... Ich bin mir nicht sicher, ob Mathematiker generell wissen, warum Mengenlehre wichtig ist, denke ich.
Simone: Abgesehen davon, dass es das Fundament ist.
Azul: Genau. Nicht-Mathematikern sage ich normalerweise, dass ich etwas in der Logik mache. Logik ist ein Wort, das die Leute kennen, richtig? Und ich meine, natürlich wissen sie nicht, was mathematische Logik bedeutet, aber es gibt ein Konzept von Logik, eine Idee. Und wenn sie mehr fragen, sage ich, okay, es gibt einen Bereich der Logik die Mengenlehre ist. Die mehr oder weniger die Grundlagen der Mathematik und die Struktur dessen, wie Mathematik funktioniert, untersucht. Es gibt also diese meta-mathematischen Fragen, mit denen sich die Mengenlehre beschäftigt.
Simone: Ich sage den Leuten normalerweise, dass wir das machen, was Linguisten für die reale Welt tun. Also, die Leute studieren die Sprache, in der die Menschen kommunizieren, und Logiker studieren die Linguistik der Mathematik.
Azul: Ja, das könnte sein.
Simone: In Bezug auf die Finanzierung ist es wahrscheinlich eine ähnliche Parallele.
Azul: In Bezug auf die Finanzierung?
Simone: Wir bekommen genauso viel Finanzierung wie die Linguistik-Leute.
Azul: Ja. Ich bin mir nicht sicher, ich habe keine Ahnung davon.
Simone: Ja. Aber ich nehme an, es ist nicht viel, wie bei allen Geisteswissenschaften.
Azul: Ich stimme zu, was du sagst, aber speziell die Mengenlehre mag ich eher als die Mathematik der Mathematik zu vereinfachen. Ich denke, weil man nicht Linguistik benutzt, um die Sprache des realen Lebens zu studieren, es ist wie eine andere Sache, richtig? Linguistik ist anders als die reale Welt oder die gesprochene Sprache. Aber die Theorie selbst ist ein Teil der Mathematik. Und ich denke, das ist eine der schönsten Dinge.
Simone: Und das verwirrendste.
Azul: Es ist extrem verwirrend. Aber diese Sache... Ich meine, Mathematik kann Dinge untersuchen, die Dinge der Mathematik sind. Und wenn man das den Leuten sagt, auch wenn sie keine Mathematiker sind, kommt: Wie machst du das?
Simone: Ja. Und ich erinnere mich an meinen ersten Mengenlehre-Kurs, da gibt es all diese Paradoxien, die daher rühren, dass man eigentlich über Mengenlehre spricht, wenn man die Mengenlehre der Mathematik macht. Ich meine, wenn du die Mathematik der Mathematik machst, studierst du besonders die Mathematik. Du weißt schon...
Azul: Ja, da gibt es diese Selbstreferenz. Selbstreferenz am Anfang.
Simone: Ja. Ich meine, es ist verwirrend. Ich meine, es ist auch etwas, das man erforschen kann.
Azul: Nun, es ist definitiv beides für mich. Die Tatsache, dass es so seltsam ist im Vergleich zu anderen Bereichen, die dieses Merkmal nicht haben, macht es interessanter.
Simone: Und deine Forschung beschäftigt sich mit, sagen wir mal, normalen mathematischen Objekten, was, wenn ein anderer Mathematiker das zu mir sagen würde, wäre das beleidigend, aber wir können es sagen. Ja. Ich meine, weißt du, weil wenn mir jemand sagt, ah, ja, wir machen die normale Mathematik, du machst die Logik, wäre ich ein bisschen beleidigt. Aber ich kann sagen, weißt du, die natürlichen mathematischen Objekte, die man in der Natur findet, und in der Natur, wie in der Mathematik, ich meine, in der mathematischen Natur. In der mathematischen Natur. Genau. Und man hört oft davon, wie das Auswahlaxiom diese Art von paradoxen Objekten aufbaut. Ist das die Art von Dingen, die dich interessieren?
Azul: Ja. Also, meine Doktorarbeit heißt paradoxe Mengen und das Auswahlaxiom. Das ist definitiv das Thema. Und ja, ich stimme dem zu, was du über die normale Mathematik und die nicht normale Mathematik sagst.
Simone: Aber würden paradoxe Mengen als normale mathematische Objekte angesehen werden?
Azul: Ja, ich denke schon. Ich meine, zum Beispiel gibt es dieses Beispiel, das ich für eines der bekanntesten halte. Ich denke, das ist die Vitali-Menge. Also das Standardbeispiel einer nicht messbaren Menge in den reellen Zahlen. Und das ist, ich meine, das ist Teil des Kurses über reelle Analysis. Das ist einfach etwas, das die meisten Leute irgendwann gesehen haben oder Banach-Tarski, das so berühmt ist. Und nun, einige Leute mögen Banach-Tarski eigentlich nicht, es ist seltsam. Aber zum Beispiel ist die Vitali-Menge wirklich ein Teil des Verständnisses der Maßtheorie.
Simone: Nein, wir arbeiten nicht im, ... was ist das? Das Solovay-Paradies, wo alle Mengen messbar sind?
Azul: Ja, genau. Also, ich meine, aber natürlich, wenn man eine theoretische Frage stellt, dann erfüllt das Objekt nicht dieselbe Rolle, als wenn es ist, weil man nicht das Objekt selbst studiert, sondern vielmehr oder in meinem Fall, welche Axiome man braucht, um es zu konstruieren, oder wie konsistent die Existenz dieses Objekts mit einem anderen Axiomensystem oder anderen Objekten ist. Also, auch wenn der Name derselbe ist, wie die Vitali-Menge, dann ist das, was du damit machst, sehr... unterschiedlich, weißt du.
Simone: Du untersuchst nicht seine Eigenschaften, sondern eher, was seine Existenz über das Universum aussagt, in dem du es findest.
Azul: Ja, irgendwie. Wo es auf der Karte der Dinge liegt.
Simone: Und ich weiß, dass man keine Favoriten haben sollte, aber was ist deine Lieblingsparadoxe Menge?
Azul: Meine Lieblingsparadoxe Menge? Mal sehen. Nun, ich denke, wenn ich eine auswählen müsste, wäre es die, über die ich am meisten nachgedacht habe. Es gibt da diesen Satz in ZFC. Also unter Verwendung des Auswahlaxioms. Dass man R³ partitionieren kann. Also den Raum in Kreise unterteilen, nur mit dem Rand. Und diese Kreise können alle den Radius eins haben. Also haben sie alle den gleichen Radius. Aber trotzdem kann man R³ bedecken.
Simone: Was, glaube ich, wenn man es das erste Mal hört, wie natürlich klingt, ich kann das tun. Und dann fängt man mental an, Kreise ineinander zu setzen, und kommt sehr schnell zu dem Punkt, an dem man nicht weiß, wo man den nächsten platzieren soll, oder?
Azul: Genau. Ich meine, man kann immer mehr Kreise hinzufügen, richtig? Weil jeder irgendwie klein im Raum ist. Aber wie würde man am Ende alles dort ausfüllen?
Simone: Ja.
Azul: Ja. Stell dir vor, du setzt viele Kreise und es ist dicht in R³. Aber es gibt einen Raum, den du füllen musst. Wenn du zum Beispiel einige isolierte Punkte hast, kannst du es natürlich nicht tun. Selbst wenn du einen vollständigen Kreis hast, aber einige Punkte noch nicht besetzt sind, kannst du keinen Kreis mehr hinzufügen.
Simone: Das bedeutet also, dass du es von Anfang an falsch gemacht hast?
Azul: Ja. Ich meine, an einem bestimmten Punkt hast du etwas getan, das es dir nicht erlaubt hat, das Verfahren fortzusetzen. Aber es gibt einen Weg, diesen Prozess so durchzuführen, dass dies nicht passiert. Und das ist ein Satz von ZFC. Du brauchst also wirklich das Auswahlaxiom. Nun, weniger als das, aber eine Form des Auswahlaxioms. Einen Teil des Auswahlaxioms. Ja. Ich denke, das ist mein Favorit. Es ist schön, den Leuten zu erzählen, dass man so etwas studiert.
Simone: Weil sie es sich vorstellen können.
Azul: Sie können es sich vorstellen, es ist einfach euklidische Geometrie. Ich kann es sogar meiner Familie erzählen, wenn sie geduldig genug sind, zuzuhören.
Simone: Ja. Oder zumindest die Bilder anzuschauen.
Azul: Ja.
Simone: Und hast du das Gefühl, dass es sich hierbei um eines dieser Probleme in der Zahlentheorie handelt, bei denen die Aussage sehr einfach ist? Aber die Mathematik dahinter ist sehr kompliziert. Ich nehme also an, dass das Problem auf ähnliche Weise sehr einfach dargestellt werden kann. Aber dann ist das Beweisen nicht euklidische Geometrie, tatsächlich.
Azul: Ja. Also der Beweis dieses Satzes ist nicht, nun, natürlich hat er etwas mit euklidischer Geometrie zu tun, weil das Objekt euklidisch ist. Aber das Hauptwerkzeug ist die Durchführung der transfiniten Induktion über die Mächtigkeit der reellen Zahlen, was auch immer das ist. Aber der Punkt ist, du machst diese Induktion, aber sie ist länger als die natürlichen Zahlen, aber noch mehr. Du machst weiter, nachdem du abzählbar viele Schritte gemacht hast, und dann machst du weiter. Ja. Und dann machst du weiter, bis du die Mächtigkeit der reellen Zahlen erreichst, was die gleiche Mächtigkeit aller Punkte im Raum ist, die du abdecken musst. Also, dieses Werkzeug stammt nicht aus der euklidischen Geometrie. Es ist mengentheoretisch. Also der Beweis der Existenz dieser paradoxen Menge ist bereits mengentheoretisch.
Simone: Du hast gesagt, du brauchst weniger als das Auswahlaxiom. Also vielleicht etwas wie eine, naja, Anordnung der reellen Zahlen oder abhängige Wahl, was auch immer das für Nicht-Logiker bedeutet. Aber vielleicht in dem Sinne, was wir vorher gesagt haben, aus der Existenz dieses Sets, also wenn man sich ein Universum anschaut, in dem dieses Set existiert. Kann man dann etwas darüber sagen, welche Axiome in diesem Universum wahr sind? Wenn zum Beispiel eine gewisse Menge an Wahl immer noch wahr ist?
Azul: Genau. Das sind genau die Fragen, über die wir nachgedacht haben, während meiner Doktorarbeit, und im Grunde genommen ist die Antwort nein. Es gibt, ich meine, du könntest dieses Set haben und im Grunde genommen keine Wahl. Ich meine. Das kannst du formalisieren. Zum Beispiel gibt es dieses Konzept der abzählbaren Wahl. Die Wahl abzählbar viele Male treffen. Und wir haben das Ergebnis erhalten, dass es ein Modell der Theorie gibt, in dem du dieses Set hast, also diese Partition des Raums in Einheitskreise, aber du hast nicht einmal die abzählbare Wahl.
Simone: Und ich schätze, für die Nicht-Logiker oder vielleicht sogar für die Nicht-Mengen-Theoretiker ist die auffällige Idee, ein Modell der Mengenlehre zu erstellen, weil es sich irgendwie anfühlt wie das Erschaffen eines Universums, aber wir sind in einem. Das ist also ein bisschen verwirrend.
Azul: Natürlich.
Simone: Wenn man anfängt, philosophisch darüber nachzudenken, könnte man wohl stundenlang darüber reden. Aber ja. Wie baut man ein Universum der Mengenlehre oder ein Modell der Mengenlehre?
Azul: Ich meine, ich denke, das ist das Ganze, was eine Theorie tut: Modelle der Mengenlehre zu erstellen, die die Dinge erfüllen, die man will. Also, wie baut man ein Modell? Nun, zuerst nimmt man an, dass es eines gibt.
Simone: Was schon ... ja.
Azul: Und dann von dort aus, ich meine, es gibt viele Techniken. Eine Möglichkeit, ein Modell zu erstellen, besteht darin, ein kleineres Modell innerhalb des vorhandenen zu erstellen. Also von allen Mengen, die du in deinem Modell hast, nehmen wir nur die definierbaren Mengen, die eine bestimmte Definition haben, und dann bekommst du etwas, das im Prinzip kleiner ist. Es könnte strikt kleiner sein. Es könnte alles sein, je nachdem, was du tust. Aber es gibt auch eine Möglichkeit, größere Modelle zu konstruieren. Okay. Es gibt diese Technik, die "Forcing" genannt wird und es dir ermöglicht, von einem Modell und einigen anderen Elementen ein größeres Modell zu konstruieren als das, mit dem du angefangen hast. Das sind die beiden Methoden, die die Leute anwenden.
Simone: Ich glaube, ich erinnere mich, dass es in meinem Mengenlehre-Kurs so beschrieben wurde: Also im Modell gibt es Menschen und sie glauben an eine Art von Entität. Sie wissen ungefähr, wie diese Entität aussieht. Sie wissen einige Dinge, weißt du. Wie also in der ersten Stufe einige Eigenschaften kodiert sind, aber dann schaust du in den Himmel und diese Entität existiert nicht. Aber dann in der Ebene darüber existiert die Entität und blickt auf die Menschen herab und hat irgendwie Einfluss auf sie. Es ist ein bisschen wie Religion, was ich nicht weiß. Ich meine, es gibt viele Kardinäle in der Mengenlehre.
Azul: Ich denke, es ist ein bisschen so. Ich weiß nicht, ob du das kennst. Ist es ein Buch oder ... ich glaube, es ist ein Buch.
Simone: Die höhere Mengenlehre?
Azul: Nein, nein. Hat nichts damit zu tun. Okay. Flach irgendwas.
Simone: Flatlandia.
Azul: Flatlandia. Ja. Ist es Englisch?
Simone: Flatland.
Azul: Vielleicht. Flatland.
Simone: Ja.
Azul: Ja, Flatland. Ich kannte es nicht auf Englisch. Entschuldigung. Also in Flatland gibt es diese Menschen, die können nicht ... Nun, habe ich dieses Buch überhaupt gelesen?
Simone: Ich bin sicher, ich habe es in der Schule gelesen, als ich sehr jung war.
Azul: Ja, aber. Also der Punkt ist, wenn du in Flatland bist, kannst du keine dreidimensionalen Dinge sehen, oder? Du bist ein Kreis. Ja, oder ein Quadrat oder so. Aber dann ist eine Kugel in Flatland wie ein Kreis, der sich bewegt und unterschiedliche Radien hat. Weil je nach Abschnitt der Kugel der Kreis sich ändert. Also kannst du irgendwie von Flatland aus diese dreidimensionalen Dinge als etwas anderes sehen, das nicht dreidimensional ist. Weil du es nicht kannst, aber du kannst raten, was es irgendwie ist und dir vorstellen, was Dreidimensionalität ist durch alle Abschnitte, zum Beispiel. Und das ist mehr oder weniger, worum es beim Forcing geht. Ja, es ist natürlich eine Vereinfachung. Aber worum es beim Forcing geht. Also vom ursprünglichen Modell aus kannst du dir irgendwie vorstellen, wie das äußere Modell aussehen würde.
Simone: Und von deiner Forschung, die du heutzutage machst, lass uns vielleicht in die Zukunft blicken. Was ist etwas, das du in den nächsten zehn Jahren bewiesen sehen möchtest, von jemandem? Nicht unbedingt von dir, aber ... welche Fragen möchtest du beantwortet sehen?
Azul: Ich weiß nicht. Ich denke, ich würde gerne ... also ich habe diese vielleicht Vision darüber, was ich irgendwann in der Zukunft mit Mathematik machen möchte, und das ist, Mengenlehre zu verbinden mit, ja, wie Teilmengen der reellen Zahlen oder Dingen, die wie normale Mathematik jetzt sind.
Simone: Die du in der Natur findest.
Azul: …, ich fühle mich nicht wohl damit.
Simone: Ich glaube, ich sage oft, dass die Modelltheorie Logik auf Objekte anwendet, die in der Natur gefunden werden. Das sage ich normalerweise.
Azul: Nun, ja, ich habe nicht das Gefühl, dass es in der Natur ist. Also fühle ich mich mit diesem Konzept unwohl. In der Theorie sind die reellen Zahlen zum Beispiel nicht eine reelle Linie. Wenn du einen Mathematiker fragst, stell dir die reellen Zahlen vor, werden sie sich wahrscheinlich eine reelle Linie vorstellen oder vielleicht einfach pi oder so etwas sagen. Aber die Menge der reellen Zahlen, welche Menge der reellen Zahlen? Sie werden eine Linie zeichnen. Und für den Mengenlehrer ist es normalerweise nicht so. Zum Beispiel die Potenzmenge der natürlichen Zahlen oder alle Funktionen von den natürlichen Zahlen zu den natürlichen Zahlen oder solche Dinge. Es gibt mehrere Mengen, die wir alle als die reellen Zahlen betrachten. Sie sind alle zueinander bijektiv. Also für die meisten Fragen ist das dasselbe, wenn du dich zum Beispiel nur um die Mächtigkeit dieser Menge kümmerst, dann sind sie alle gleich. Aber für die Objekte, die ich betrachte, zum Beispiel Kreise im Raum. Du denkst an die reelle Linie. Ich meine, der Raum ist dreimal die reelle Linie. Also musst du die reellen Zahlen als die reelle Linie betrachten, um diese Fragen anzugehen. Also was ich gelöst sehen möchte, sind natürlich die Dinge, die mich interessieren. Was diese abstrakte Idee von theoretischen Fragen betrifft, die sich auf die reellen Zahlen als die reellen Zahlen der Mathematiker beziehen, also die reelle Linie.
Simone: Mhm. Um eine geometrischere Version der reellen Zahlen zu machen.
Azul: Ja, aber nicht nur das, ich meine, selbst wenn du zum Beispiel die reellen Zahlen als ein Feld betrachtest, ist es auch etwas, das nicht ... Ich meine, die Potenzmenge der natürlichen Zahlen ist kein Feld.
Simone: Es ist einfach eine Menge.
Azul: Ja. Also selbst wenn du mehr algebraische Fragen stellst, hat das auch mit dieser Ansicht zu tun, die ich habe, dass wir dort eine Lücke haben.
Simone: Okay. Vielen Dank für die Einblicke!
Azul: Vielen Dank.
Simone: Wir sehen uns auf dem Flur.