Für ihre exzellente Forschung erhält Prof. Dr. Eva Viehmann, Forscherin an unserem Exzellenzcluster Mathematik Münster, den Gottfried Wilhelm Leibniz-Preis 2024, den höchstdotierten deutschen Forschungsförderpreis. In ihrer Begründung wies die DFG vor allem auf Eva Viehmanns einflussreiche Arbeiten zur arithmetischen algebraischen Geometrie im Rahmen des Langlands-Programms hin.
Auf dieser Webseite möchten wir das Forschungsfeld etwas genauer vorstellen. Dafür haben wir Mathematikerinnen und Mathematiker aus Eva Viehmanns Umfeld um Beiträge gebeten. Um die Einblicke in das Forschungsgebiet möglichst vielen Interessierten zugänglich zu machen, nähern wir uns dem Thema in drei Stufen an:
Level 2 - für Mathematik-Studierende "Affine Deligne-Lusztig-Varietäten" von Prof. Dr. Urs Hartl, der in den vergangenen 15 Jahren mehrere Publikationen gemeinsam mit Eva Viehmann veröffentlicht hat
In der theoretischen Mathematik beschäftigen wir uns mit den drei Disziplinen Algebra, Geometrie und Analysis. Auf den ersten Blick mögen diese nichts miteinander zu tun zu haben, da sie sich mit verschiedenen Objekten befassen und versuchen, unterschiedliche Fragen zu beantworten. Das von Langland aufgestellte Programm ist in der Tat sehr ehrgeizig und zielt darauf ab, eine gemeinsame Struktur hinter diesen drei Disziplinen zu finden. Um die Tragweite des Themas zu verstehen, versuchen wir zunächst, einen Einblick in die Fragestellungen zu geben, mit denen sich die Algebra, Geometrie und Analysis beschäftigen.
Man kann sich die Algebra als eine Verallgemeinerung der Arithmetik vorstellen, die wir in der Schule lernen: Anstatt Zahlen zu addieren oder zu multiplizieren, kann man neue Rechenoperationen definieren, die auch allgemeinere Ausdrücke wie Polynome umfassen. Ein alltägliches Beispiel dafür, was wir mit der Definition neuer Operationen meinen, ist die Uhrzeit: Wenn es jetzt 22 Uhr ist und ich zehn Stunden schlafen möchte, muss ich um 8 Uhr aufstehen. Das bedeutet, dass im algebraischen System der Uhr 22 + 10 = 8 und nicht 32 ist! Natürlich denken wir nicht an die Algebra, die sich hinter diesen Berechnungen verbirgt, wenn wir unseren Wecker stellen. Aber dies ist ein gutes Beispiel dafür, was Algebraiker gerne tun, nämlich neue Objekte und Rechenoperationen definieren und ihre manchmal überraschenden Eigenschaften untersuchen.
Die Geometrie ist wahrscheinlich eines der drei Gebiete, von dem wir am ehesten eine visuelle Vorstellung haben. Sie ist einer der ältesten Zweige der Mathematik und hat ihren Ursprung in der sehr konkreten Notwendigkeit, die physikalische Welt zu messen und zu beschreiben. Die moderne Geometrie ist heute jedoch wesentlich abstrakter, wenngleich sie nach wie vor zahlreiche Anwendungen in anderen Wissenschaften findet.
Schließlich ist die Analysis der Zweig der Mathematik, der sich mit Funktionen befasst. Wir können uns eine Funktion anhand ihres Graphen vorstellen. Ein Beispiel für einen Graphen ist die Kurve, die die zeitliche Entwicklung der Position eines Teilchens im Raum oder, mit anderen Worten, seine Geschwindigkeit darstellt. Man kann Fragen stellen wie: Wird sich die Geschwindigkeit auf Null stabilisieren, d. h. wird das Teilchen irgendwann stehen bleiben?
Aus diesen ersten Beispielen könnte der Eindruck entstehen, dass Algebra, Geometrie und Analysis drei separate Disziplinen sind, die niemals miteinander interagieren. Dies ist jedoch nicht der Fall. Die Grenzen zwischen ihnen sind fließend und haben Berührungsbereiche, in denen sie im Wechselspiel miteinander stehen. Zum Beispiel wird der Bereich an der Schnittstelle zwischen Algebra und Geometrie als algebraische Geometrie bezeichnet und untersucht Kurven und Flächen, die durch Polynomgleichungen definiert sind.
Eine besonders interessante Kurvenart sind dabei Ellipsen, die heute in der Kryptographie zum Einsatz kommen, also der Disziplin, die sich mit der Sicherheit und dem Schutz der Privatsphäre im Kommunikationsbereich befasst. Elliptische Kurven haben eine Doppelnatur: Einerseits sind sie als Kurve geometrische Objekte. Andererseits sind sie algebraische Objekte, da man sie mit einer Rechenoperation beschreiben kann. Diese ähnelt der Summe zweier Zahlen, aber zwischen zwei Punkten auf einer elliptischen Kurve. Diese Doppelnatur ist für Mathematiker besonders faszinierend, da sie zwei verschiedene Disziplinen in einem Objekt vereint.
Es gibt noch viele weitere Beispiele für mathematische Objekte, die aus mehr als einem Blickwinkel untersucht werden können und die eine Verbindung zwischen Algebra und Geometrie oder auch zwischen Geometrie und Analysis herstellen. Da Mathematiker gerne abstrakte Strukturen finden, wirft der Anblick solcher Objekte mit doppelter Natur in ihnen die Frage auf, ob es womöglich eine vereinheitlichende Struktur oder Philosophie gibt, die alle drei Kerngebiete, also Algebra, Geometrie und Analysis erklären kann. Dies ist eine sehr tiefgründige und faszinierende Frage, die den Kern des Langlands-Programms darstellt.
Machen wir es mal an einem alltäglichen Beispiel verständlich: Stellen Sie sich vor, Sie haben zwei gute Freunde, von denen Sie denken, dass sie ein tolles Paar abgeben würden, und möchten sie einander vorstellen. Nun, was können Sie tun? Sie könnten zum Beispiel eine Party veranstalten und beide dazu einladen. Genau das ist das Ziel des Langlands-Programms: eine gemeinsame Grundlage schaffen, auf der sich Algebra, Geometrie und Analysis treffen und miteinander interagieren können, mit dem Ziel, ihr Zusammenspiel zu untersuchen und nach gemeinsamen oder verbindenden Strukturen zu suchen. In dieser Metapher sind die beiden Freunde die Algebra und die Geometrie, und die Party, das sind einige besondere Kurven, die so genannten Shimura-Varietäten, die eine Verallgemeinerung der faszinierenden Ellipsen sind, die wir oben erwähnt haben.
Text verfasst von Dr. Stefania Trentin, ehemalige Doktorandin von Eva Viehmann an der TU München und Universität Münster.
Der deutsche Mathematiker Gauss beschrieb einst die Zahlentheorie als die Königin aller Wissenschaften. Das liegt daran, dass, obwohl man während der Schuljahre kompliziertere Begriffe wie die rationalen Zahlen $\mathbb{Q}$, die reellen Zahlen $\mathbb{R}$ oder die komplexen Zahlen $\mathbb{C}$ kennenlernt, oder Graphen stetiger reelwertiger Funktionen $f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ studiert, die Zahlentheorie sich auf den fundamentalsten Teil der Mathematik konzentriert, nämlich die ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ selbst.
Allerdings sollte man nicht denken, dass diese fortgeschritteneren Konzepte plötzlich nutzlos sind, wenn es um die Zahlentheorie geht. Im Gegenteil, Mathematiker haben oft gelernt, dass man eine Frage oder Teile davon nur beantworten kann, indem man den Umfang der Theorie signifikant erweitert, d.h. indem man neue Objekte betrachtet, die einem dann etwas über die alten erzählen können. Anders ausgedrückt, was die Zahlentheorie von anderen Bereichen der Mathematik oft unterscheidet, sind nicht so sehr ihre Mittel, sondern vielmehr ihr Ziel.
Der antike griechische Mathematiker Diophantus leitete die Untersuchung sogenannter diophantischer Gleichungen ein, d.h.~die Suche nach ganzzahligen Nullstellen $(a_1,\dots, a_n) \in \mathbb{Z}^n$ von Polynomen $P(x_1,\dots, x_n) \in \mathbb{Z}[x_1,\dots,x_n]$. Das berühmte Beispiel $x^n+y^n=z^n$ liegt Fermats letztem Satz zugrunde, der vor 30 Jahren vom britischen Mathematiker Andrew Wiles bewiesen wurde. Bereits für eine Variable ist die Frage ausreichend verlockend. In der Schule lernt man, wie quadratische Gleichungen $ax^2+bx+c=0$ über die geschlossene Formel gelöst werden
\[ x=-\frac{b\pm \sqrt{\Delta}}{2a}\]
mit $\Delta=4ac-b^2$ als Diskriminante. Hier sieht man bereits, wie die Zulassung irrationaler Zahlen wie Quadratwurzeln dazu beitragen kann, die Existenz ganzzahliger Lösungen zu bestimmen. Für die gesamte klassische und mittelalterliche Periode blieben kubische und quartische Gleichungen jedoch unerreichbar, bis die italienischen Mathematiker Cardano, Ferrari und Tartaglia im XVI. Jahrhundert geschlossene Formeln mit Radikalen für ihre Nullstellen veröffentlichten. Diese Entwicklungen führten zur Entdeckung der komplexen Zahlen $\mathbb{C}$, da Quadratwurzeln von negativen Zahlen als Zwischenschritt auftreten. Ab der quintischen Gleichung können jedoch keine geschlossenen Formeln mehr gefunden werden, wie ein Satz von Abel und Ruffini besagt.
An diesem Punkt vollzog der französische Mathematiker Galois eine Transformation im Feld. Er erkannte, dass man sich nicht so sehr um explizite Lösungen kümmern sollte, sondern das Körpererweiterung $F/\mathbb{Q}$ betrachten sollte, die von den Lösungen eines gegebenen rationalen Polynoms erzeugt wird, und sein Galois-Gruppe $\mathrm{Gal}(F/\mathbb{Q})$ von Symmetrien, d.h., Automorphismen $\sigma \colon F \to F$, die Addition und Multiplikation erhalten. Dies könnte verwendet werden, um die Unmöglichkeit des Quintischen oben in einfacher Gruppentheorie zu erklären, und es lenkte für immer die Aufmerksamkeit der Zahlentheoretiker auf Galois-Gruppen. Eine entscheidende Entwicklung in unserem Verständnis von ihnen wurde von Artin gemacht, der eine explizite Beschreibung von {\it kommutativen} Galois-Gruppen in Bezug auf arithmetische Invarianten von Zahlkörpern gab, wodurch frühere Arbeiten von Gauss über quadratische Erweiterungen verallgemeinert wurden.
Aber die Mathematiker wollten ihre Suche noch nicht aufgeben. Es blieb nämlich das Problem, nicht-kommutative Galois-Gruppen zu verstehen, von denen es viele gibt. Das Leitprinzip dafür ist, dass man anfangen sollte, nach Vektorräumen zu suchen, in denen diese Gruppen wirken. Dies wird als {\it Galois-Darstellung} bezeichnet und ein Lemma von Schur besagt, dass der kommutative Fall durch $1$-dimensionale Vektorräume abgedeckt wird. Der $2$-dimensionale Fall war daher der nächste Schritt. Um zu Galois-Darstellungen zu gelangen, benötigen wir bestimmte Eingaben aus der Geometrie. Die Schlüsselobjekte sind ebene Kurven, die durch kubische Gleichungen gegeben sind
\[ y^2=x^3+ax+b\]
genannt elliptische Kurven. Wenn wir den geometrischen Ort betrachten, der aus den komplexen Punkten $E(\mathbb{C})$ einer elliptischen Kurve $E$ besteht, erhalten wir einen donutförmigen Raum (beachten Sie, dass die reale Dimension doppelt so groß ist wie die komplexe Dimension, sodass es keinen Widerspruch in unserer Terminologie gibt). Die Menge $E(\mathbb{Q})$ der rationalen Punkte von $E$ ist jedoch eher diskret und hat eine wichtige arithmetische Bedeutung. Zum Beispiel kann es viel Torsion tragen, insbesondere wenn wir unsere Suche auf algebraische Punkte $E(\bar{\mathbb{Q}})$ erweitern, und diese Torsionsuntergruppen werden verwendet, um eine Galois-Wirkung auf einem $2$-dimensionalen Vektorraum zu realisieren.
Um noch weiter zu gehen, benötigen wir eine weitere Idee aus der Geometrie. (An dieser Stelle sollte dem Leser klar werden, dass die Zahlentheorie wirklich viel von vielen verschiedenen Bereichen der Mathematik zieht; ihre jüngste Schuld gegenüber der algebraischen Geometrie ist so enorm, dass die Praktiker auf diesem Gebiet begannen, sich arithmetische Geometer zu nennen.) Nehmen wir mal an, dass es eine bestimmte Klasse von speziellen algebraischen Varietäten gibt, die wir studieren möchten. Dann sollte unter günstigen Bedingungen diese Klasse als algebraische Varietät selbst betrachtet werden können, und wir nennen sie einen {\it Modulraum}. Eines der ersten jemals untersuchten Beispiele waren die Modulräume $X_1(N)$ von elliptischen Kurven, die mit $N$-Torsionspunkten ausgestattet sind, auch genannt {\it modulare Kurven}. Durch Betrachtung von Räumen von Differentialformen auf $X_1(N)$ erhält man {\it modulare Formen}. Ihre Fourierreihen haben algebraische ganze Koeffizienten (bis zur Renormierung) und führen zu wunderbaren arithmetischen Eigenschaften, die von Jacobi und Ramanujan untersucht wurden. Auch hier tragen modulare Formen zur Untersuchung von Galois-Gruppen bei, und zwar über zugehörige Galois-Darstellungen nach einer Arbeit von Deligne. Die Shimura--Taniyama-Vermutung, die von Wiles bewiesen wurde (und die schließlich einen Beweis des letzten Satzes von Fermat lieferte), besagte, dass jede (halb-stabile) elliptische Kurve über $\mathbb{Q}$ in Bezug auf ihre Galois-Darstellungen mit einer modularen Form verbunden ist.
In höheren Dimensionen werden modulare Kurven durch bestimmte reelle Mannigfaltigkeiten ersetzt (die leider nicht immer eine natürliche komplexe Struktur haben) und man erhält einen entsprechenden Begriff von {\it automorphen Formen}. Die Galois-Gruppen wirken auf den Vektorräumen der automorphen Formen und geben uns {\it automorphe Darstellungen}. Die Vision von Langlands, die aus wichtigen Berechnungen orbitaler Integrale von automorphen Formen abgeleitet wurde, besagte, dass es eine geheimnisvolle Korrespondenz zwischen automorphen Darstellungen und Galois-Darstellungen geben sollte. Den Bau einer Brücke zwischen diesen beiden Welten zu konstruieren, ist ein umfangreiches Programm, das die Zahlentheoretiker in den letzten fünfzig Jahren beschäftigt hat.
Schließlich möchten wir noch eine letzte Zutat hinter dem jüngsten Fortschritt im Langlands-Programm erklären. Wir haben gesehen, wie wichtig es sein kann, unseren Zahlenbereich von $\mathbb{Z}$ auf $\mathbb{Q}$ oder sogar $\bar{\mathbb{Q}}$, $\mathbb{R}$ und $\mathbb{C}$ zu erweitern. Manchmal kann es jedoch auch wichtig sein, sie zu reduzieren, indem man die Ringe $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ betrachtet, deren Elemente ganzzahlige Reste modulo $n$ sind, d.h. wir erklären, dass die ganzen Zahlen $a,b$ das gleiche Bild in $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ haben, wenn sie durch $n$ teilbar sind. Ist $n=p$ eine Primzahl, so ist $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}=:\mathbb{F}_p$ tatsächlich ein {\it Körper}, was bedeutet, dass jedes Nicht-Null-Element ein Inverses hat. Kongruenzen werden seit Jahrhunderten in der Zahlentheorie verwendet, da sie dabei helfen, bestimmte Arten von Lösungen diophantischer Gleichungen auszuschließen. Hensel führte die Idee weiter, indem er das Limes $\mathbb{Z}_p:=\mathrm{lim}_n \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$ aller Kongruenzen modulo Potenzen von Primzahlen betrachtete. Diese Konstruktion ähnelt der Konstruktion von $\mathbb{R}$ als Abschluss von $\mathbb{Q}$ für die übliche Norm in Bezug auf Äquivalenzklassen von Cauchy-Folgen, außer dass jetzt $p^n \to 0$ für diese $p$-adische Norm, wenn $n \to \infty$. Auf ähnliche Weise erhalten wir einen Körper $\mathbb{Q}_p$ der $p$-adischen Zahlen, indem wir $\mathbb{Q}$ bezüglich der $p$-adischen Norm vervollständigen. Der Vorteil der $p$-adischen Zahlen besteht darin, dass wir nun wie in der reellen Analysis Argumente mit Grenzwerten durchführen können, auch wenn sie sich auf recht unterschiedliche Weise verhalten. Diese Körper werden als die {\it lokalen} Avatare von $\mathbb{Q}$ für jede Primzahl $p$ verstanden, und zusammen mit den reellen Zahlen $\mathbb{R}$ sind sie im XX. Jahrhundert zu einem integralen Bestandteil der Zahlentheorie geworden.
Lange Zeit war es jedoch schwierig zu verstehen, wie man einige Arten von algebraischer oder analytischer Geometrie über den $p$-adischen Zahlen auf eine für die Zahlentheorie geeignete Weise durchführen kann. Das Wichtige ist, dass man in {\it Familien} arbeiten können muss, um neue $p$-adische Modulräume zu konstruieren. Viele wichtige Entdeckungen wurden von älteren Mathematikern wie Bosch, Lütkebohmert, Kiehl, Raynaud, Tate auf dem Gebiet der sogenannten rigiden-analytischen Geometrie gemacht (was heute als kleiner Teil der $p$-adischen Geometrie erfasst wird), aber leider mussten sie unter vielen Endlichkeitsannahmen arbeiten, die es unmöglich machten, die entscheidenden Modulräume zu erreichen. Fortschritte wurden kürzlich von Bhatt, Fargues, Fontaine, Scholze, Zhu in den Grundlagen dieser $p$-adischen Geometrie erzielt, die nun den Zahlentheoretikern die Möglichkeit eröffnet haben, die vielen Möglichkeiten der $p$-adischen Welt zu nutzen. Es ist in diesem Zusammenhang, dass Eva Viehmann in rund zwei Jahrzehnten Aktivität bedeutende Beiträge zur arithmetischen Geometrie geleistet hat. Ihre Forschung konzentrierte sich darauf, die Geometrie dieser $p$-adischen Modulräume und bestimmte Arten von numerischen Invarianten, die als {\it Kohomologiegruppen} bezeichnet werden, zu verstehen, und ihre Ergebnisse sind untrennbar mit der Entwicklung des Gebiets verbunden.
Text verfasst von Dr. João Lourenço.João Lourenço ist Postdoc (Akademischer Rat auf Zeit) in Eva Viehmanns Arbeitsgruppe an der Universität Münster.
Eine Annäherung für Mathematik-Studierende von Prof. Dr. Urs Hartl
Eva Viehmann arbeitet in Arithmetischer Algebraischer Geometrie über Shimura-Varietäten und Modul-Varietäten von $G$-Shtukas. Beides sind viel studierte Objekte der algebraischen Geometrie. Sie besitzen eine reiche Struktur, die durch die verwobenen Aktionen verschiedener Gruppen gegeben ist und haben große Bedeutung für das Langlands-Programm. Um ihre Reduktion über endlichen Körpern zu studieren benutzt man affine Deligne-Lusztig-Varietäten, die eines der zentralen Forschungsfelder von Eva Viehmann sind. Sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper von positiver Charakteristik $p$ und sei $L = k((z))$ der formale Potenzreihenkörper. Sei $G = GL_n$ über $L$ oder eine Untergruppe davon, wie z.B. $SL_n$ oder $SO_n$. Sei $b$ ein Element von $G(L)$ und $\sigma$ der Frobenius-Automorphismus von $L$ und $G(L)$ mit $\sigma(x) = x^p$ für $x \in k$ und $\sigma(z) = z$. Eine affine Deligne-Lusztig-Varietät ist definiert als
\[
X_\mu(b)(k) := \bigl\{\, g \in G(L)/G(k[[z]]) : \tau = g^{-1} b \sigma(g) \mbox{ beschränkt durch }\mu \, \bigr\}\,.
\]
Hier bedeutet die Beschränktheit durch $\mu$ für $G = GL_n$, z.B. dass die Matrix $\tau$ Einträge in $k[[z]]$ hat. Für allgemeine Gruppen $G$ ist $\mu$ ein Cocharakter von $G$.
Eva Viehmann hat bewiesen, dass affine Deligne-Lusztig-Varietäten algebraische Varietäten über $k$ sind und ihre Dimension, Zusammenhangs- und irreduziblen Komponenten bestimmt. Diese Varietäten sind sogenannte Rapoport-Zink-Räume für $p$-divisible Gruppen in gemischter, sowie für lokale $G$-Shtukas in gleicher Charakteristik. In gemischter Charakteristik wurden diese Räume genau wie Shimura-Varietäten im 20. Jahrhundert konstruiert und studiert. Demgegenüber ist in gleicher Charakteristik Eva Viehmann Begründerin der Theorie der lokalen $G$-Shtukas und Urheberin der Rapoport-Zink-Räume. Dies führte in den letzten fünfzehn Jahren zur Weiterentwicklung der Arithmetik in gleicher Charakteristik mit Objekten, Phänomenen und Fragen ebenbürtig zur Arithmetik der Shimura-Varietäten. Und es diente auch als Fundament aus dem Peter Scholze die Inspiration für seine epochalen Neuentwicklungen in gemischter Charakteristik gezogen hat.
Text verfasst von Prof. Dr. Urs Hartl.
Urs Hartl ist Professor für Reine Mathematik an der Universität Münster. Er forscht in Arithmetischer Algebraischer Geometrie u.a. über Modulräume von G-Shtukas und hat in den vergangenen 15 Jahren mehrere Publikationen gemeinsam mit Eva Viehmann veröffentlicht.
Abstract: We discuss the number theoretic origins of the Langlands program, its geometrization and categorification over function fields, and more recently over $p$-adic fields by Fargues-Scholze. We conclude by describing some of our own contributions to the emerging field and possible future directions.
