Bei der Fokker-Planck-Gleichung
handelt es sich um eine spezielle Mastergleichung (14),
bei der
die Form eines Differentialoperators zweiter Ordnung hat,
Falls ein Markov-Prozeß durch eine Fokker-Planck-Gleichung
beschrieben werden kann, hat dies durchaus Vorteile
gegenüber einer Beschreibung durch eine
allgemeinere Mastergleichung (14).
Zum einen ist die Fokker-Planck-Gleichung eine reine
Differentialgleichung.2Die Mastergleichung ist dagegen eine Integro-Differentialgleichung,
und damit ist es im allgemeinen schwieriger mit umzugehen
als mit reinen Differentialgleichungen.
Weiterhin erfordert die Fokker-Planck-Gleichung nur die Bestimmung
der Funktionen
,
während
die Mastergleichung die ganzen (von
und
abhängigen)
Übergangsraten
benötigt.
Darüber hinaus lassen sich, zumindest für lineare
Fokker-Planck-Gleichungen
(d.h. solche mit
linear in
und
unabhängig von
),
die Driftkoeffizienten
aus den makroskopischen Gesetzen
und die Fluktuationskoeffizienten aus
Gleichgewichtsbetrachtungen der statistischen Mechanik herleiten.
Bei nichtlinearen Fokker-Planck-Gleichung ist dagegen
bei der Identifizierung von
und
Vorsicht geboten.
Eine detaillierte Diskussion findet man dazu in [9].
Die Fokker-Planck-Gleichung (20) läßt sich, wie wir im Folgendem zeigen werden, aus der allgemeinen Mastergleichung (14) herleiten unter der Annahme, daß der stochastische Prozeß nur kleine Sprünge zuläßt. Man kann zeigen daß dies stochastischen Prozessen entspricht deren Realisierungen (Pfade) stetig sind. Beispielsweise sind die Pfade der Brownschen Bewegung stetig, aber mit Wahrscheinlichkeit eins nirgendwo differenzierbar.
Um die
Fokker-Planck-Gleichung (20)
herzuleiten,
fassen wir die Übergangsraten
als Funktionen von
und
=
auf,
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Eine komplette, nicht auf Terme zweiter Ordnung
beschränkte Taylorentwicklung
führt auf die Kramers-Moyal-Entwicklung,
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Wir bemerken noch, daß die Fokker-Planck-Gleichung als
Kontinuitätsgleichung
aufgefaßt werden kann.
In der Tat erhält durch
die Definition einer Wahrscheinlichkeitsstromdichte,
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Eine häufig vorkommender Fall
ist eine zeitunabhängige, lineare
Fokker-Planck-Gleichung
mit =
und
=
,