Schichtdickenanalyse für Approximationen

Sinnvoll kann diese Strategie der Kombination von RG-Transformation und Schichtdickenanalyse nur für MC-Simulationen mit Näherungen an die effektive Theorie auf dem groben Gitter sein. Von der Struktur her bietet sich hierfür die Darstellung der effektiven Hamiltonfunktion mit Hilfe der A-Kerne

an. Denn die meisten Probleme bei einer Schichtdickenanalyse bereitet die geringe Abweichung der effektiven Temperatur einer Linie konstanter Physik von der Ausgangstemperatur. Für diese Abweichung ist bei der effektiven Theorie nach Gleichung () das verallgemeinerte Potential

verantwortlich; der Anteil einer freien Theorie an der effektiven Hamiltonfunktion beschreibt gerade das asymptotische Verhalten der Schichtdicke für eine freie Theorie bei der Ausgangstemperatur. Da in Abschnitt auch mit sehr viel Rechenzeit die Differenz zwischen Ausgangs- und Starttemperatur nur mit einem Fehler von ca. zu messen war, kann man sich bei der Bestimmung der Kopplungen zum verallgemeinerten Potential mit relativ großen Fehlertoleranzen zufriedengeben. Genau hierdrin liegt nun der Vorteil der kombinierten Methode. Man führt auf dem feinen Gitter eine relativ ungenaue MCRG-Transformation durch, um die Kopplungen des effektiven Potentials zu messen; den Anteil der freien Theorie am RG-Fluß kann man mit Hilfe des Fluktuationspropagators berechnen. Dieser Schritt benötigt bei den im folgenden verwendeten Näherungen für das Potential () deutlich weniger Rechenzeit als die ansonsten durchzuführende hochpräzise Schichtdickenmessung auf dem feinen Gitter. Anschließend simuliert man mit der approximierten effektiven Theorie, um so zu einem sehr genauen Wert für die Schichtdicke auf dem groben Gitter zu gelangen.
Zuerst wurde die kombinierte Methode für die Approximation der effektiven Wirkung durch eine A-Kern-Entwicklung in Ordnung nach Gleichung () untersucht. Ausgehend von der Starttheorie

wurden RG-Schritte mit Blocklänge und Parameter für Gitter der Größe durchgeführt. Die Potentiale wurden analog zu Abschnitt aus den MC-Daten ermittelt. Da die Schichtdicke empfindlich vom bilinearen kinetischen Term abhängt, reicht zur Approximation die lokale Version nicht mehr aus. Nimmt man als Vorgabe für den relativen Fehler durch dieses Abschneiden des kinetischen Terms bei der Bestimmung der Differenz zwischen effektiver Temperatur und Ausgangstemperatur an, so muß man unter dieser Prämisse die MC-Simulationen zur Schichtdicke bis zu groben Gittern mit mit dem vollen freien Anteil durchführen und kann sich erst bei noch größeren Gittern auf die lokale Version beschränken. Grundlage dieser Abschätzung ist ein Vergleich der Schichtdickenanalysen zwischen der exakten effektiven Theorie und der lokalen Approximation

Vergleicht man nun in Tabelle die Schichtdicken für die A-Kern-Approximation mit den Schichtdicken zu Gleichung (), so zeigt sich ab Gittern mit eine durch das verallgemeinerte Potential bedingte signifikante Änderung der Schichtdicke. Entscheidend ist allerdings, wie man in Abbildung sieht, daß man mit keine signifikante Abweichung der effektiven Temperatur von der Starttemperatur feststellen kann. Dieses Ergebnis steht im Einklang mit den Berechnungen der Schichtdicke in [HMP], wonach eine Temperaturdifferenz erst bei der Störungstheorie in Ordnung auftritt.

Deshalb soll die Durchführbarkeit von MC-Simulationen für die A-Kern-Approximation in Ordnung überprüft werden. Nach Gleichung () ergibt sich das Potential hierfür durch

Als erste Maßnahme zur Anpassung für MC-Simulationen soll wieder die Näherung

eingeführt werden. Definiert man sich dazu noch die beiden Matrizen

so gelangt man zu

Um nun aus den -Kernen die Matrix zu bestimmen, löst man wieder das Gleichungsystem () mit Hilfe des Fixpunktkonvergenzverfahrens (), wobei man die Matrix noch um die Korrekturen in

ergänzen muß. Unter den gleichen Bedingungen wie für die Approximation in Ordnung wurde in dieser Näherung die Schichtdicke der effektiven Theorie auf einem groben -Gitter gemessen. Wie die Tabelle zeigt, kann man eine Verbesserung der Approximation durch die zweite Ordnung feststellen. Allerdings sind für die MC-Simulationen mit dem effektiven Potential () zur Messung der Schichtdicke mit dieser Genauigkeit schon 50 Stunden Rechenzeit auf einer RS/6000 580 verbraucht worden. Schichtdickenmessungen auf größeren Gittern sind, vor allem durch die Doppelsumme im -Term, unrealistisch.

Somit kann durch die Kombination von RG-Transformation und Schichtdickenanalyse nachgewiesen werden, daß in Ordnung die effektive Temperatur einer Linie konstanter Physik gleich der Ausgangstemperatur ist, d. h. , in dieser Ordnung Störungstheorie entspricht das Verhalten des Sine-GORDON-Modells dem einer freien Theorie bei gleicher Temperatur. Eine Differenz der beiden Temperaturen tritt erst in Ordnung auf. Für diese Ordnung Störungstheorie birgt die Kombinationsmethode keine Vorteile gegenüber einer Schichtdickenanalyse der Ausgangstheorie. Dies ist nicht darin begründet, daß man die Kopplungen der effektiven Theorie nicht mit ausreichender Genauigkeit bestimmen könnte, sondern es liegt an der Form der Approximation für die effektive Theorie, die sich wenig für MC-Simulationen eignet.