Wünschenswert ist es, anstelle der störungstheoretischen Ausdrücke zu
einer Approximation zu gelangen, bei der alle Kopplungskonstanten durch MC-Simulationen
des RG-Schrittes bestimmt werden können. Einen Ansatz hierfür bietet die Beobachtung, daß
ist. Dies ist um so besser erfüllt, je weiter die Blöcke und
voneinander
entfernt sind. Man ersetzt deshalb den Ausdruck
durch das
Element
einer
-Matrix
. Zudem berücksichtigt man,
daß für die erste Ordnung Störungstheorie in
die effektive Fugazität durch
berechnet wird. So gelangt man anstelle von
Gleichung (
) zu einer Näherung des effektiven Potentials in der Form
Um die Kopplungskonstanten dieser Näherung durch MC-Simulationen zu ermitteln,
bestimmt man zuerst nach den Methoden aus Abschnitt die effektive Fugazität
des Impuls-Null-Potentials für
und
. Im Anschluß daran führt man
eine zweite, von der ersten statistisch unabhängige MC-Simulation durch,
mit deren Hilfe man den Kern
mißt. Der Anteil des Potentials (
)
an diesem
-Kern zweiter Ordnung ergibt sich nach
Mit Hilfe des analytisch berechenbaren Anteils des RG-Flusses einer
freien Theorie läßt sich der
-Kern schreiben als
Dieses nichtlineare, gekoppelte Gleichungssystem kann nun genutzt werden,
um die Matrix zu bestimmen. Dazu reicht es wegen der Symmetrie
aus, das Gleichungssystem
in den Parametern zu lösen. Zur Lösung
dieser Gleichungen hat sich das iterative Fixpunktkonvergenzverfahren
bewährt. Dabei ist der konvergenzerzeugende Faktor entscheidend, der je nach
RG-Transformation zwischen 2 und 25 gewählt wurde.
Es ist naheliegend, analog zur Approximation () die Schichtdicke
der Näherung
mit den Schichtdicken der exakten, effektiven Hamiltonfunktion zu vergleichen.
Man kann dabei beobachten, daß die Kopplungen mit wachsender Entfernung
sehr schnell abfallen. Um die MC-Algorithmen zu den Hamiltonfunktionen der Form
(
) zu beschleunigen, führte ich deshalb statt
mit der Matrix
die Simulationen mit der lokalen Version
durch.
Dadurch wurde die
-Symmetrie des Potentials (
) gebrochen, allerdings
waren die Abweichungen mit
für alle durchgeführten MC-Simulationen sehr gering. Ebenso wurde
nicht der gesamte -Kern
gemessen, sondern es wurde mit
der lokalen Version
gearbeitet.
Auch hier zeigt sich anhand von Tabelle eine gute Übereinstimmung der
Schichtdicke einer Approximation
nach Gleichung (
) und der Schichtdicke der exakten, effektiven Theorie.
Als zweiter Test für die Qualität der Näherung () soll die
Iterierbarkeit der RG untersucht werden. Dazu benötigt man einen MC-Algorithmus, der
Feldkonfigurationen mit der Verteilung
mit Hamiltonfunktionen nach Gleichung (
) generiert.
Die bisherige Technik, den kinetischen Anteil durch einen Wärmebad-Algorithmus zu
simulieren und anschließend das (verallgemeinerte) Potential durch einen
Metropolis-Filter aufzuprägen, scheitert für diese Klasse von Hamiltonfunktionen schon
für kleine Fugazitäten an der sehr geringen Akzeptanzrate des Metropolis-Filters.
Aus diesem Grund konzipierte ich den MC-Algorithmus für die Verteilung (
) als
reinen Metropolis-Algorithmus.
Zuerst wurden mit den Algorithmen aus Kapitel 3 für die Blocklängen
auf dem groben Gitter
mit
jeweils das Impuls-Null-Potential und der
-Kern
durch MC-Simulationen gemessen. Ausgangspunkt war wiederum das Sine-GORDON-Modell
und der Parameter
Zum Vergleich sind bei gleichen Startbedingungen zwei iterative RG-Transformationen mit
Blocklänge und Parameter
durchgeführt worden. Die Näherung an die
effektive Theorie lieferte jeweils Gleichung (
), die dann als
Starttheorie für den nächsten RG-Schritt diente. (Um die Rechenzeit der MC-Simulationen
zu verkürzen, wurde wieder mit den lokalen Versionen
und
gearbeitet.) Die Tabellen (
) und (
)
listen die Werte der
-Kerne der effektiven Theorie für die betragsmäßig größten
Wechselwirkungen
und deren effektiven Temperaturen gemäß Abschnitt auf.
(Die Fehlerangaben bei den Meßwerten aus der Iteration beinhalten
nicht die Fehlerfortpflanzung zu den vorangegangenen MCRG-Transformationen.)
Man erkennt die gute Übereinstimmung derjenigen Kopplungen,
die durch eine Iteration mit der Approximation () gewonnen wurden, mit
denjenigen Werten, die man anhand eines einzigen, zur Iteration mit der
exakten, effektiven Theorie äquivalenten RG-Schrittes erhält.
Damit wird die effektive Theorie zu einem Sine-GORDON-Modell mit kleiner Fugazität in guter
Näherung durch () beschrieben. Vorteil dieser Approximation ist die
relativ geringe Anzahl von Kopplungskonstanten, die zudem durch die
-Kerne erster
und zweiter Ordnung bestimmt werden können. Für MC-Simulationen mit dieser Approximation
wirkt sich aber die starke Nichtlokalität des Potentials nachteilig aus.