Die Zustandssumme ist für Systeme mit großer
Korrelationslänge i. a. auch auf endlichen Gittern schwer
auszurechnen. Ein möglicher Ansatz ist, eine Theorie auf einem feinen Gitter
auf eine effektive Theorie auf einem groben Gitter
mit Kantenlänge
derart abzubilden, daß die Zustandssummen beider Theorien gleich sind. Dabei
soll die Gitterkonstante
des groben Gitters um ganzzahlige Faktoren
größer sein als die des feinen Gitters, so daß man die Zahl der Freiheitsgrade
um den Faktor
reduziert hat.
Grundgedanke einer RG-Transformation ist, daß diese Abbildung einer Theorie auf eine effektive Theorie
durch Ausintegration derjenigen Freiheitsgrade geschieht,
die zu kurzreichweitigen Fluktuationen gehören.
Dazu unterteile man das Gitter
, wie in Abbildung
angedeutet,
in
-Blöcke. Das Blockspin-Feld
auf
ist dann als
Mittelwert des Feldes
über diese Blöcke definiert,
(Man kann den Blockspin allgemeiner als (nichtlineares) Funktional auf
definieren. Auf diese Problematik wird z. B. in [KMPS92]
eingegangen. In der vorliegenden Arbeit findet ausschließlich die Definition
(
) Anwendung.)
Zur Wahrscheinlicheit für eine Feldkonfiguration
der
effektiven Theorie sollen diejenigen Systemkonfigurationen der Ausgangstheorie
beitragen, deren Blockspins
der Feldkonfiguration
entsprechen,
Man nennt diese RG-Transformation auch dementsprechend Delta-Blockspin-Transformation. Erlaubt man noch, daß die Blockspins ein wenig gegenüber dem Feld ``verschmieren'' dürfen, so kann man als eine Möglichkeit zu den GAUSS-Blockspin-Transformationen gelangen
Wie man leicht zeigen kann, ist die Zustandssumme bei Delta-Blockspins für die effektive Theorie und die Ausgangstheorie gleich; bei GAUSS-Blockspins wählt man dazu die Normierungskonstante als
Man kann zeigen, daß ein RG-Schritt die Korrelationslänge
in Einheiten des Gitterabstandes um den Faktor
reduziert.
Die RG-Transformation kann im Sinne der sukzessiven Ausintegration über wachsende Längenskalen
iteriert werden,
Anstelle der Iteration kann man sich auch die Halbgruppeneigenschaften zunutze
machen, nach der zwei RG-Transformationen mit Blockgrößen und
durch eine Transformation mit der Größe
ersetzt werden können.
Verwendet man GAUSS-Blockspins, so muß man dabei noch den Parameter
wählen als (vergl. [PIN88])
Es gibt verschiedene Möglichkeiten, einen RG-Fluß zu definieren.
Im allgemeinen setzt man dazu voraus, daß das Gitter
unendlich groß ist, so daß man ohne Einschränkung
unendlich oft ``blocken'' kann.
Im folgenden wird jedoch öfter ein Fluß betrachtet, der
eine feste Größe
des Blockgitters voraussetzt.
Dazu betrachte man
einen
Satz von Gittern
, die sich
in
-Blöcke mit wachsender Blocklänge
unterteilen lassen.
Unter einen RG-Fluß versteht man dann die Menge von effektiven Hamiltonfunktionen
auf
dem
-Gitter
, die sich durch
iterative RG-Schritte
mit Blocklänge
aus der Ausgangstheorie auf dem jeweiligen Gitter
ergeben.
Anstelle der iterativen Schritte kann man auch einen einzelnen Schritt
mit Blocklänge
und entsprechend modifiziertem Parameter
durchführen. Man
beachte, daß der RG-Fluß damit von der Wahl der Gitterlänge
, dem Parameter
und der Blocklänge
abhängt.
Bei einer kritischen Theorie kann dieser RG-Fluß für beliebig große
Blöcke gegen eine Fixpunkttheorie
, den sog. RG-Fixpunkt,
konvergieren. Allgemein
muß man dazu noch eine Reskalierung des Feldes durchführen. Für die hier untersuchten
Modelle ist dies aber nicht erforderlich. Man beachte, daß eine Reskalierung des Feldes
die
-Symmetrie der effektiven Hamiltonfunktion abändern würde.