Itô's Lemma

Das stochastische Differential einer beliebigen von $x$-abhängigen Funktion $f[x(t),t]$, läßt sich mit den Beziehungen (46) und (49) nun ebenfalls berechnen. Dazu machen wir eine Taylorentwicklung bis zur ersten Ordnung in $dt$, das heißt also bis zur zweiten Ordnung in $dz$,

$$df[x(t),t] = \frac{\partial f}{\partial x} \; dx +\frac{1}{2} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} dx^2 + \frac{\partial f}{\partial t} dt$$

$$= \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial t} dt... ...frac{\partial x}{\partial z}\right)^2 dz^2 + \frac{\partial f}{\partial t} dt$$

$$= A[x,t] \frac{\partial f}{\partial x} dt + B[x,t] \frac{\partial... ...] \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} (dz)^2 + \frac{\partial f}{\partial t} dt$$

$$= B[x,t] \frac{\partial f}{\partial x} dz +\left( A[x,t] \frac{\p... ...\^o-Term''}} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! + \frac{\partial f}{\partial t} \right) dt .$$ (50)

Diese Beziehung ist bekannt als Itô's Lemma. Sie ist von grundlegender Bedeutung für den Itô-Kalkül und daher auch für die klassische Herleitung der Black-Scholes-Formel.

Itô's Lemma kann auch dazu verwendet werden, die Äquivalenz einer stochastische Differentialgleichung zu einer Fokker-Planck-Gleichung zu zeigen. Bilden wir den Erwartungswert der Gl. (50) unter $p(x,t\vert x_0,t_0)$ und dividieren durch $dt$, so erhalten wir für eine beliebige, nicht explizit zeitabhängige Funktion $f[x(t)]$,

$$\frac{d}{dt} <\!f[x(t)]\!> = \underbrace{ <\!B[x,t] \frac{\partial f}{\partial x} \frac{dz}{... ... f}{\partial x}\!> + \frac{1}{2} <B^2[x,t] \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}> .$$

Wir haben hierbei benutzt, daß Im Itô-Kalkül $x(t)$ zur Zeit $t$ von der zukünftigen Änderung $\frac{dz}{dt}$ = $\xi(t)$ unabhängig ist. Daher faktorisiert der erste Term und verschwindet dann wegen $<\!\xi(t)\!>$ = 0. Das Wegfallen des $z$-abhängigen Terms ist also bedingt durch die Definition der ``Riemann''-Summen in der Definition des Itô-Integrals, bei der immer der Funktionswert am Anfang des Teilintervalls zur Bildung der Teilsummen gewählt wird. Dies korrespondiert zu der Markov-Eigenschaft. Einsetzen der Definition des Erwartungswertes liefert dann

$$\int \!dx f[x] \frac{d}{dt} p(x,t\vert x_0,t_0) = \int \!dx p(x,t\vert x_0,t_0) A[x,t] \frac{\partial f}{\partial x}$$

$$+ \frac{1}{2} \int \!dx p(x,t\vert x_0,t_0) B^2[x,t] \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} .$$ (51)

Durch partielle Integration erhalten wir daraus bei verschwindenden Randtermen,

$$\int \!dx f[x] \frac{d}{dt} p(x,t\vert x_0,t_0) = -\int \!dx f[x] \frac{\partial }{\partial x} \Big(A[x,t]p(x,t\vert x_0,t_0)\Big)$$

$$+ \frac{1}{2} \int \!dx f[x] \frac{\partial^2 }{\partial x^2} \left(B^2[x,t] p(x,t\vert x_0,t_0)\right) .$$ (52)

Da wir $f[x]$ beliebig wählen können, folgt daraus

$$\frac{d}{dt} p(x,t\vert x_0,t_0) = - \frac{\partial }{\parti... ...2 }{\partial x^2} \left(B^2[x,t] p(x,t\vert x_0,t_0)\right) ,$$ (53)

also gerade die allgemeine Fokker-Planck-Gleichung (20). Damit folgt die Äquivalenz der allgemeinen stochastischen Differentialgleichung (41) (im Itô-Kalkül) mit der Fokker-Planck-Gleichung (20).

Bei der Herleitung dieser Äquivalenz haben wir an zwei Stellen auf den Itô-Kalkül Bezug genommen: Einmal durch Benutzung der Itô-Formel, zum anderen durch das Wegfallen des ersten Terms in Gl. (51). Im Stratonovich-Kalkül findet man, daß eine stochastische Differentialgleichung der Form (41), interpretiert im Sinne von Stratonovich [und daher nicht equivalent zu einer im Itô-Kalkül interpretierten Gl. (41)] korrespondiert zu einer Fokker-Planck-Gleichung der Form [7,9]

$$\frac{d}{dt} p(x,t\vert x_0,t_0) = - \frac{\partial }{\partial x} \left[ \left(A[x,t]+\frac{1}{2} B[x,t] \frac{d}{dx} B[x,t] \right)p(x,t\vert x_0,t_0) \right]$$

$$+ \frac{1}{2} \frac{\partial^2 }{\partial x^2} \left[B^2[x,t] p(x,t\vert x_0,t_0)\right] .$$ (54)

Zum Abschluß sei nochmal betont, daß die Fokker-Planck-Gleichung eine normale, und keine stochastische partielle Differentialgleichung darstellt. Eine Fokker-Planck-Gleichung ist daher stets eindeutig definiert und von der Wahl einer Definition des stochastischen Integrals nicht betroffen. Zu ihr korrespondieren aber, in Abhängigkeit von der Definition des stochastischen Integrals, unterschiedliche stochastische Differentialgleichungen,

Abbildung 1 faßt die diskutierten Ansätze zur Behandlung von Markov-Prozessen nochmals zusammen.

Abbildung 1: Überblick über Ansätze zur Behandlung von Markov-Prozessen