Mit einer freien Theorie ist hier ein Modell gemeint, dessen
Hamiltonfunktion sich als Bilinearterm in den Feldern schreiben läßt,
wobei es sich bei um eine reelle, symmetrische, translationsinvariante, positiv
(semi)-definite Wechselwirkungsmatrix auf einem
D=2-dimensionalen Gitter
mit periodischen Randbedingungen handelt.
Aus technischen Gründen wollen wir uns auf solche Bilinearformen einschränken,
deren Fouriertransformierten die Form
haben. Insbesondere gilt für den masselosen Fall
Für sehr große Gitter kann man die Temperatur des Systems durch eine zweifache
symmetrische Gitterableitung an der Stelle ermitteln
Danach kann man die Matrix aus den entsprechend höheren Ableitungen berechnen.
Führt man einen RG-Schritt unter Verwendung von GAUSS-Blockspins durch
und entwickelt die effektive Hamiltonfunktion in eine Taylorreihe um ,
so ergeben sich die
-Kerne nach Gleichung (
) und ()
als Erwartungswerte der Form
Dies entspricht den gewöhnlichen Erwartungswerten einer freien Theorie mit dem bilinearen Wechselwirkungsterm
Nach dem WICK'schen Theorem verschwinden alle verbundenen Erwartungswerte einer freien Theorie mit Ausnahme der verbundenen Zweipunktfunktion. Somit entspricht die effektive Hamiltonfunktion wieder einer freien Theorie mit der Matrix
Die Größe
wird auch als Fluktuationspropagator bezeichnet. Gleichwertig hiermit ist
Der Fluktuationspropagator taucht bei der Störungstheorie zum Sine-GORDON-Modell wieder
auf, so daß man einen effizienten Algorithmus zu seiner Berechnung benötigt.
Die naheliegendste Möglichkeit ist die direkte Invertierung der
Wechselwirkungsmatrix . Doch selbst eine Bunch-Kaufman-Faktorisierung, ein
Algorithmus zur Invertierung von reellen, symmetrischen und indefiniten Matrizen, braucht
hierfür
numerische Operationen auf einem
-Gitter
und hat einen Speicherbedarf von
Fließkommazahlen.
Wünschenswert ist aber, nicht die ganze Matrix
auszurechnen,
sondern sie nur an einzelnen Stellen auszuwerten, um dann die hohe Symmetrie dieser Matrix
ausnützen zu können. Hierfür wird ein Algorithmus in [GK80]
für die masselose Theorie bei Verwendung von Delta-Blockspins der Blockgröße
abgeleitet.
Der von mir verwendetete Algorithmus zur Berechnung des Fluktuationspropagators
zu GAUSS- und Delta-Blockspins für masselose, freie Theorien benötigt insgesamt
numerische Operationen und belegt für die vollständige Beschreibung des
Fluktutationspropagators den Speicherplatz für
Fließkommazahlen.
Grundlage dieses Algorithmus ist die in Anhang A hergeleitete Gleichung
für GAUSS-Blockspins und
bei der Verwendung von Delta-Blockspins. Hierzu wurden die Größen
eingeführt. Der Fluktuationspropagator verfügt über eine Block-Translationsinvarianz, so
daß man alle Wechselwirkungen auf die des oberen linken Blocks
mit dem gesamten Gitter zurückführen kann. Innerhalb dieses Blocks kann
man nun vier Symmetrieachsen finden; der Fluktuationspropagator ist
invariant unter Spiegelung beider Koordinaten an einer solchen Achse. Zusätzlich
ist der Fluktuationspropagator symmetrisch, d. h. .
Somit muß man nur die Wechselwirkung der schraffierten Fläche im oberen, linken
Block der Abbildung
mit der Hälfte der Gitterpunkte ermitteln;
dies entspricht gerade Wechselwirkungen.
Man berechnet nun zuerst die in () definierten Größen.
Bedingt durch die Matrizenmultiplikationen in () bzw. in ()
benötigt man Operationen zur Berechnung eines Matrixelements
. Damit
ergibt sich zur Beschreibung des Fluktuationspropagators ein Bedarf von
numerischen Operationen.
