Mathematisch führt die Lösung dieser Probleme auf Parameteridentifikationsprobleme in Differentialgleichungen. Typischerweise sind diese Probleme schlecht gestellt, d.h. die Lösung dieser Probleme hängt unstetig von den Beobachtungen ab, oder ist nicht einmal eindeutig. Wir suchen daher Ursachen, die einerseits möglichst gut den Daten entsprechen, andererseits möglichst wahrscheinlich sind. Zu lösen sind daher Optimierungsprobleme der Form $$\arg \min_{\rm Bild\, f} ||Mf-g||+R(f)$$ für einen Messoperator \(M\), eine Messung \(g\) und eine Regularisierungs­funktion \(R\), die angibt, wie wahrscheinlich es ist, dass \(f\) überhaupt auftritt.

In diesem Seminar werden wir uns mit der Analysis und numerischen Behandlung einiger sehr praktischer Beispiele befassen und dabei auch allgemeine Methoden besprechen.

1. Regularisierung mit totaler Variation
   Mueller & Siltanen Kap. 6, mit einem konkreten Beispiel und Realdaten aus der Emissionstomographie
   Ausarbeitung
2. Elektrische Impedanztomographie: Modellierung und numerische Experimente
   Mueller & Siltanen Kap. 12
   Ausarbeitung
3. Calderon's Methode zur Lösung des EIT-Problems: Geometrische Optik
   Mueller & Siltanen Kap. 14
4. D-bar Methoden zu Lösung des EIT-Problems
   Mueller & Siltanen Kap. 15
   Ausarbeitung
5. Numerische Methoden zur Lösung des EIT-Problems.
   diverse, etwa Martin Hanke: A note on the MUSIC algorithm for impedance tomography, pdf
   Ausarbeitung
6. Neuartige Ermittlung von Diffusionskoeffizienten anhand von Partikelpfaden.
   Embacher, Dirr, Zimmer, Reina: Computing diffusivities from particle models out of equilibrium
7. Iterative Methoden für data assimilation / Bayesian inverse Probleme.
   Iglesias, Marco: Iterative regularization for ensemble data assimilation in reservoir models
   Ausarbeitung
8. Bregman-Iterationen.
   Benning, Burger: Modern regularization methods for inverse problems, Kapitel 6, mit Anwendung in der Computertomographie
   Ausarbeitung
9. Total Generalized Variation.
   Bredies, Kunisch, Pock: Total Generalized Variation
   Ausarbeitung
10. Nach der Lösung des inversen Problems möchte man auch Abschätzungen zur Korrektheit.
    Repetti, Pereyra, Wiaux: Scalable Bayesian uncertainty quantification in imaging inverse problems via convex optimization
    Ausarbeitung
11. Geometrische Herleitung von Bayes'scher MAP-Lösung des inversen Problems (welche wir normalerweise machen).
    Pereyra: Revisiting maximum-a-posteriori estimation in log-concave models