Nächste Seite: Der Fall = 0
Aufwärts: Der ``faire'' Preis einer
Vorherige Seite: Vermögensbilanz bei Optionsgeschäften
  Inhalt
Da wir im Folgenden spezeill den Fall
= 0 näher diskutieren wollen,
schätzen wir den Einfluß von
auf den Optionspreis ab.
Wir berechnen dazu den Erwartungswert
![\begin{displaymath}
<{\rm max} (x_N-x_s,0)>
=
\int_{x_s}^\infty \!dx \frac{x-x_s}{\sqrt{2\pi DT}}
e^{-\frac{(x-x_0-mT)^2}{2DT}}
,
\end{displaymath}](img149.gif) |
(33) |
für eine ``At the money''-Option, d.h.,
für
=
.
Da eine normale und log-normale Verteilung
in ihrem zentralen Bereich gut übereinstimmen,
wählen wir eine Gaußverteilung für
die Differenz
mit Mittelwert
und Varianz
=
.
(Unter der Annahme
=
gilt
=
).
Wir erhalten für
=
,
mit
=
,
=
.
Hierbei haben wir benutzt, daß
![\begin{displaymath}
\int_a^b \!dz z e^{-\frac{z^2}{2}}
= -e^{-\frac{z^2}{2}}\big\vert _a^b
= -e^{-\frac{a^2}{2}}-e^{-\frac{b^2}{2}}
,
\end{displaymath}](img172.gif) |
(35) |
sowie
![\begin{displaymath}
\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_a^\infty \!dz e^{-\frac{z^2}{2}}
=
\frac{1}{2} \left[1-{\rm erf}(\frac{a}{\sqrt{2}})\right]
.
\end{displaymath}](img173.gif) |
(36) |
Schließlich haben wir bis zur ersten Ordnung in
entwickelt gemäß
und angenommen, daß
![\begin{displaymath}
\frac{mT}{\sqrt{DT}}«1
,
\end{displaymath}](img180.gif) |
(40) |
ist (also
).
Bei
= 100 Tagen,
einer Tagesvolatilität von
= 1%,
einer durchschnittlichen jährlichen Rendite
von
= 5%
und einem Underlyingkurs von
= 100 Punkten,
erhalten wir
![\begin{displaymath}
\sqrt{\frac{DT}{2\pi}} \approx 4 \;\mbox{Punkte},
\quad
\frac{mT}{2} \approx 0.67 \;\mbox{Punkte}
.
\end{displaymath}](img183.gif) |
(41) |
Resultate für
= 0 können also
eine sinnvolle erste Näherung sein.
Insbesondere ist die klassische Black-Scholes-Lösung
-unabhängig.
Nächste Seite: Der Fall = 0
Aufwärts: Der ``faire'' Preis einer
Vorherige Seite: Vermögensbilanz bei Optionsgeschäften
  Inhalt
Joerg_Lemm
2000-02-02