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Betrachten wir nun die Vermögensbilanz
des Schreibers (Long-Position)
einer
europäischen
Call-Option
mit Ausübungspreis (strike price)
,
![\begin{displaymath}
W_N =
(W_0+C)(1+\rho)^N
-{\rm max} (x_N-x_s,0)
+(1+\rho)^N\sum_{m=0}^{N-1}
\phi_m \Delta\widetilde x_m
,
\end{displaymath}](img98.gif) |
(19) |
wobei wir berücksichtigt haben, daß die Optionsprämie bereits bei Abschluß,
also zur Zeit
fällig wird.
Aus der Bedingung für einen fairen Preis
![\begin{displaymath}
0 = <\Delta_\rho W_N> = <W_N> - W_0 (1+\rho)^N
,
\end{displaymath}](img99.gif) |
(20) |
folgt
für den Optionspreis
(dem in dem realistischen Fall, in dem keine risikofreie
Hedging-Strategie möglich ist,
noch eine Risikozulage zugeschlagen werden muß),
![\begin{displaymath}
C =
(1+\rho)^{-N} <{\rm max} (x_N-x_s,0)>
- <\sum_{k=0}^{N-1} \phi_k \Delta\widetilde x_k>
.
\end{displaymath}](img100.gif) |
(21) |
Hierbei ist
![\begin{displaymath}
\Delta \tilde x_k
= \tilde x_{k+1}-\tilde x_k
= (1+\rho)^{-(k+1)}\Delta_\rho x
\end{displaymath}](img101.gif) |
(22) |
mit
![\begin{displaymath}
\Delta_\rho x_k =
x_{k+1}-(1+\rho)x_k =
\Delta x_k -\rho x_k
\end{displaymath}](img102.gif) |
(23) |
und
=
.
Analog zu den relativen Änderungen
![\begin{displaymath}
\eta_k = \frac{\Delta x_k}{x_k}
,
\end{displaymath}](img105.gif) |
(24) |
definieren wir nun
![\begin{displaymath}
\tilde \eta_k
= \frac{\Delta \tilde x_k}{(1+\rho)\tilde x_k}
= \frac{\Delta_\rho x_k}{x_k}
,
\end{displaymath}](img106.gif) |
(25) |
welches zu
in der Beziehung steht
=
.
Wir nehmen nun an, daß die
bzw.
=
unabhängig normalverteilt sind.
In beiden Fälen können wir die Kurse
durch die unabhängigen Zufallsgrößen
bzw.
ausdrcken.
Für
erhalten wir beispielsweise durch Iteration,
analog zu
=
,
Dies bedeutet,
daß
nur von den
mit
abhängt.
Dasselbe gilt daher für die Zahl der gehaltenen Aktien
,
die nur vom bekannten aktuellen Kurs
,
aber nicht von der noch unbekannten zukünftigen
Kursänderung
abhängt.
Die Unabhängigkeit der
von
,
bedeutet
![\begin{displaymath}
<\phi_n \Delta_\rho x_n>
\;=\;
<\phi_n><\Delta_\rho x_n>
.
\end{displaymath}](img125.gif) |
(27) |
In der Tat, folgt diese Beziehung direkt aus
Gleichung (26) und
der Unabhängigkeit der
, d.h.
einer faktorisierenden gemeinsamen Wahrscheinlichkeit
=
,
Ähnlich wie (26) läßt sich
auch durch
die bis zum Zeitpunkt
bereits aufgetretenen
bzw.
ausdrücken
![\begin{displaymath}
x_n
= x_0 + \sum_{k=0}^{n-1} \eta_k x_k
= x_0 + \sum_{k=0}^{n-1} \left(\tilde\eta_k+\rho\right)x_k
.
\end{displaymath}](img133.gif) |
(29) |
Expliziter erhalten wir durch Iteration,
für
,
und ebenso für die
,
Für den Fall, daß die
als unabhängige Zufallsvariablen aufgefaßt werden
gilt daher,
![\begin{displaymath}
<\phi_n \Delta_\rho x_n>
\;=\;
<\phi_n x_n \tilde\eta_n>
\;=\;
<\phi_n x_n><\tilde\eta_n>
.
\end{displaymath}](img143.gif) |
(32) |
Unter der Annahme
=
=
= 0
bei unabhängigen Zufallsvariablen
,
bzw.
=
=
= 0
bei unabhängigen
,
fällt also der ganze ``Tradingterm''
aus Gl. (21) heraus.
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Joerg_Lemm
2000-02-02