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Nachdem wir die -abhängigen Terme,
die zur Varianz
beitragen bestimmt haben, sind wir nun in der Lage
die Stationaritätsgleichung
|
(87) |
(für = 0)
zu lösen.
Aus Gl. (72) folgt direkt
und damit
|
(89) |
Setzen wir Gl. (86), so ergibt sich,
|
(90) |
Nehmen wir nun an,
daß
gut durch eine Gaußverteilung
in
mit Varianz
|
(91) |
approximiert wird,
so gilt
|
(92) |
und damit,
|
(93) |
Aus Vergleich mit
Gl. (42) für = 0
ergibt sich
die ``Delta''-Hedging Regel von
Black-Scholes,
|
(94) |
Vergleich mit Abb. (9) zeigt, daß
die Ableitung des Black-Scholes-Preises
zwischen 0 und 1 schwankt.
Bei Aktienkursen weit unter dem Basispreis
ist die Wahrscheinlichkeit, daß die Option eingelöst wird
sehr gering.
Es ist deshalb für den Halter der Short-Position
nicht hilfreich selbst Underlyinganteile zu halten.
Insbesondere wäre ein Kursverlust des Underlyings nicht durch
die Short-Position einer Call-Option abgefangen.
Daher ist verständlich, daß klein wird für kleine .
Bei hohen Kursen verhält sich eine Option immer mehr wie ein Forwardkontrakt.
Solch ein Kontrakt wird durch = 1 perfect gehedgt.
In der Tat wird dann der Verlust aus der Short-Position
exakt durch das Halten des Underlyings kompensiert.
Genau am Strikepreis ist = 1/2.
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Joerg_Lemm
2000-02-02