Department of Mathematics
Working group Prof. Dr. Raimar Wulkenhaar – Mathematical Physics
Gegenstand der mathematischen Physik sind Fragestellungen und Probleme mathematischer Natur, welche jedoch aus der Physik motiviert sind. In der AG Wulkenhaar stammt jene Motivation aus der theoretischen Elementarteilchenphysik. In dieser werden Präzisionsrechnungen für gewöhnlich näherungsweise mit aufwändigen Methoden durchgeführt. Quantenfeldtheorien, welche unsere Welt beschreiben, müssen nach gegenwärtigem Wissensstand z.B. störungstheoretisch oder auf dem Gitter (wie in der Quantenchromodynamik) gelöst werden.
Die Untersuchung von Spielzeugmodellen (toy models), welche dieses Problem nicht besitzen, ist daher ein erster Schritt, um auf lange Sicht theoretische Physiker von ihren mühsamen Methoden zu befreien. So ist etwa das Grosse-Wulkenhaar-Modell ein solches toy model, genauer eine skalare Quantenfeldtheorie auf nichtkommutativen Geometrien. Solche Geometrien stellten z.B. sich als fruchtbar heraus, Einsteins Allgemeine Relativitätstheorie mit den Gesetzen der Quantenphysik zu vereinbaren. Bemerkenswerterweise lassen sich in gewissen Grenzfällen exakte Lösungen der Korrelationsfunktionen des Grosse-Wulkenhaar-Modells angeben!
Bestimmte Objekte dieses Modells gehorchen nach jüngsten Erkenntnissen sogar einer universellen Struktur, welche in verschiedensten Gebieten der Mathematik auftaucht: die topologische Rekursion. Diese Einsicht verknüpft Quantenfeldtheorien nun mit algebraischer Geometrie und Topologie. Das Hauptwerkzeug der Kollegen der theoretischen Physik, die Störungstheorie, wird in diesem Modell lediglich zur Überprüfung der exakten Lösung angewandt. Dabei reduzieren sich sehr komplexe Strukturen aus der Störungstheorie zu einem äußerst einfachen Resultat.
Eine zentrale Leitfrage dieser Untersuchungen ist somit: was können die theoretischen Physiker aus dem Spielzeugmodell für ihre Theorien lernen, die das Standardmodell und die Welt jenseits davon betreffen? Ließe sich ihre Arbeit maßgeblich vereinfachen? Gleichzeitig weckt die Existenz der topologischen Rekursion im behandelten Modell auch Interesse seitens der Reinen Mathematik.
Thema für eine Masterarbeit:
Automatisieren Sie die universelle Struktur der topologischen Rekursion!
In mühsamer Rechnung konnte die AG erste Lösungen der Dyson-Schwinger-Gleichungen des untersuchten quartischen Matrixmodells berechnen. Diese wurden als Objekte der einfachsten Topologie verstanden, welche sich aus der sogenannten Blobbed Topological Recursion ergeben. Die allgemeinen Strukturen, die sich in den Lösungen verbergen, ermöglichen eine Implementierung in Computer-Algebra zur Erzeugung von Objekten beliebiger höherer Topologien.
Nach Einarbeitung in die mathematischen Grundlagen dieser Theorie, die keinerlei Spezialwissen voraussetzt, soll in einem geeigneten Programm die Rekursion automatisiert werden. Ein derartiges Programm ist für vi ele Bereiche der Mathematik und Mathematischen Physik von Interesse und bislang nicht konstruiert worden. Eine erfolgreiche Bearbeitung Ihres Projektes kann somit auch in eine publizierbare Form für ein geeignetes Journal gebracht werden. Verbleibt Zeit, ist eine Teilhabe an den analytischen Rechnungen anderer Gruppenmitglieder nach Ihren Interessen denkbar.
Bei Interesse an weiterführenden Infos wenden Sie sich gerne an Johannes Branahl (j_bran33@wwu.de).