TP2: Dynamische Medizinische Bildgebung unter Verwendung zeitkontinuierlicher Modelle

Teilprojektleiter

Prof. Dr. Martin Burger, Dr. Hendrik Dirks

Projektmitarbeiter

Meike Kinzel

Kontakt

Zielsetzung

Ziel dieses Arbeitspakets ist die Modellierung, Algorithmenentwicklung und Implementierung von Verfahren für Prozesse mit kontinuierlicher Dynamik und (fast) kontinuierlich gemessenen Daten. Die kontinuierliche Dynamik kann dabei einerseits aus der Biochemie entsprechender Tracer, andererseits aus verschiedenen Quellen wie Bewegung durch Atmung, Organbewegung oder die in manchen Siemens–Scannern verwendete kontinuierliche Bettbewegung modelliert werden. Dabei ist ein erster Schritt, das Rekonstruktionsproblem als zeitkontinuierlich, tatsächliche Daten und Rekonstruktion dann als geeignete Zeitdiskretisierung zu betrachten.

Ein wichtiges Beispiel in diesem Projekt sind Listmode PET Daten, bei denen die Zeitdiskretisierung aus einem stochastischen Poisson-Prozess in der Zeit entsteht. Eine weitere Anwendung im Projekt sind unterabgetastete MR–Aufnahmen, bei denen eine Zeitdiskretisierung durch konsekutive Abarbeitung von Schichten entsteht; dies ist genauso bei vierdimensionalen Mikroskopiedaten der Fall. Eine über das Projekt hinausgehende Anwendung, auf die Resultate aber Auswirkungen haben können ist der Fall von dynamischer Röntgen-CT, wobei die kontinuierliche Dynamik in den Daten durch (fast)

kontinuierliche Drehung des Aufnahmegeräts abgebildet wird.

Ein weiteres Ziel dieses Arbeitsprojekts ist die Untersuchung (und Trennung) verschiedener Dynamiken in Bildern aus indirekten Daten, vor allem Organbewegung und Tracer-Dynamik, aber auch: Externe und interne Bewegung (z.B. die Organ- und Bettbewegung), Organbewegung und Strömung

(z.B. die Bewegung von Arterien und den Blutfluss darin). Für diese Probleme sollen in enger Kooperation mit TP1 und TP3 Variationsmethoden sowie Algorithmen für deren Lösung entwickelt werden.

Wir erwarten, daraus Variationsmodelle zu erhalten, die in der Minimierung von Funktionalen der Form

$$\int_0^T L_t(K_t(\rho_1,\ldots,\rho_M),f_t)\,dt+\int_0^T R_{\operatorname{Bild}}(\rho_1,\ldots,\rho_M)\,dt+\int_0^T R_{\operatorname{Bew}}(u_1,\ldots,u_M)\,dt+R_{Kin}(k_1,\ldots,k_P)$$

bezüglich $\rho_i,\,u_k,\,k_j$ bestehen, unter einer allgemeinen Nebenbedingung

$$\partial_t\rho_i+\nabla \cdot (\rho_iu_i)=\sum_{j=1}^M a_{ij}(k_1,\ldots,k_P)\rho_j,\,\,\,i=1,\ldots,M.$$

Die Unbekannten sind ein Vektor aus zeitabhängigen Dichten $\rho_i$ (für verschiedene Zustände eines Tracers), deren Geschwindigkeiten $u_i$, und (zeit-

unabhängige) kinetische Parameter $k_j$ . Dabei ist $L_t$ das Likelihood-Funktional zur Zeit $t$, $K_t$ der

Vorwärtsoperator, und die Funktionale $R_{\operatorname{Bild}/\operatorname{Bew}/\operatorname{Kin}}$ repräsentieren geeignete Regularisierungen für Bilder (totale Variation und Varianten), Bewegungen und kinetische Parameter (Abstand zu gesundem Standardwert). Die Anzahl $M$ der Dichten und $P$ der kinetischen Parameter, sowie die genaue Form der $a_{i,j}$ ergibt sich aus der speziellen Art der Tracerdynamik und seiner Modellierung. Im Fall verschiedener Bewegungen sollen die Geschwindigkeiten $u_i$ in additive Anteile mit unterschiedlicher Regularisierung zerlegt werden. Diese sollen numerisch implementiert, in Kooperation mit TP4 für dynamische PET und MR nutzbar gemacht und dort an spezielle klinische Fragestellungen angepasst

werden.

Input (von Teilprojekten)

Lagrange’sche Methoden für Bewegungskorrektur, Registrierungsmethoden (TP1)

Wahl der Regularisierungsparameter, Uncertainty Quantification (TP3)

Problemstellungen, Rekonstruktionssoftware (TP4)

Output (an Teilprojekte)

Euler’sche Methoden für Bewegungskorrektur, Sparsity Techniken (TP1)

Problemstellung und genaue Form von Modellen, verschiedene Regularisierungsparameter (TP3)

Algorithmen für Listmode PET mit verschiedenen Dynamiken, Algorithmen für dynamisches MR (TP4)

Vorarbeiten

In der Dissertation von H. Dirks und teilweise zuvor in der Dissertation von C. Brune wurden Euler’sche Methoden zur gemeinsamen Rekonstruktion von Bildern und Bewegung entwickelt. Anwendungen auf biomedizinische Daten (insbesondere Mikroskopie) zeigen großes Potential zur Verbesserung sowohl der Bildqualität als auch der Bewegungsschätzung. Darüber hinaus wurden fundamentale Beiträge zur ortsaufgelösten Rekonstruktion kinetischer Parameter in PET (ohne Bewegungskorrektur) durch Lösung nichtlinearer inverser Probleme gemacht.

Ein erster Schritt zur hier vorgeschlagenen gemeinsamen Modellierung von verschiedenen Dynamiken anhand eines einfachen Perfusionsmodells mit Bewegung und Diffusion wurde in der Dissertation von L. Reips gemacht.

Modellierung und Variationsmethoden

Startpunkt der Arbeit ist die Herleitung der genauen Form der Funktionale und Nebenbedingungen für die verschiedenen Problemstellungen der Anwender. In enger Kooperation mit TP 3 werden statistische Modellierungen der zeitkontinuierlichen Daten, insbesondere bei Listmode Daten mit Poisson-Verteilung, untersucht, inklusive Likelihood-Modellen und passender Zeitdiskretisierungen der Unbekannten. Verschiedene Ansätze zur Raum- und Zeitregularisierung der Bilder, Bewegungen und weiterer kinetischer Parameter werden untersucht und insbesondere für die kanonischen Fragestellungen im kardiovaskulären PET (Perfusion) und in nephrologischen MR-Studien angewandt. Die Modelle werden bezüglich mathematischer Eigenschaften, Robustheit und anderen Unsicherheiten analysiert.

Um zügig erste Resultate zu erhalten und verschiedene Modelle früh an praktischen Fragestellungen untersuchen zu können, werden Testimplementierungen numerischer Verfahren basierend auf alternierenden Minimierungen (Bilder, Geschwindigkeiten, Parameter) und Lösung der konvexen Teilprobleme mit primal-dualen Verfahren angefertigt. Dies wird effizient in der von H. Dirks entwickelten FlexBox-Umgebung passieren.

Weiterentwicklung der Modelle und Alternative Ansätze

Basierend auf den entwickelten Modellen sollen weitere methodische Fortschritte erzielt werden. Der erste Schritt hier ist die Wahl von Regularisierungsparametern (Gewichtung der einzelnen $R$-Terme im Vergleich zur Likelihood $L_t$ basierend auf Resultaten aus TP 3. Insbesondere soll die automatische Wahl mehrerer Regularisierungsparameter auch numerisch untersucht werden. Darüber hinaus werden die Methoden zur Quantifizierung von Unsicherheiten auf die spezielle Form der untersuchten Probleme angepasst und die Unsicherheiten bezüglich Datenstörungen, Modellfehler und externen Störungen (z.B. Patientenbewegung) untersucht.

Zur besseren Auflösung von Bewegung wird das Modell auch auf PET/MR Daten erweitert, d.h. mit einem Datensatz, der Bewegung und Dynamik beinhaltet (etwa PET mit entsprechendem Tracer) und einem Datensatz, der nur die Bewegung zeigt (etwa MR ohne Kontrastmittel).

Die Modellierung der Likelihood führt zu einem zweiten Datenterm, der die Unterbestimmtheit der Rekonstruktion reduziert und potentiell zu weiteren Verbesserungen der Parameter- und Bewegungsschätzung führt. Zur Trennung von Organbewegung und Strömungen (wie etwa Blutfluss) soll auch eine Kombination von Euler’schen und Lagrange’schen Methoden untersucht werden. Dabei betrachten wir eine Lagrange’sche Modellierung der Organbewegung wie in TP1 und eine Euler’sche Modellierung der Strömung.

Für die Rekonstruktion von kinetischen Parametern sollen alternativ Techniken basierend auf lokaler Sparsity untersucht werden. Dabei werden die Kompartmentmodelle ohne Bewegung explizit gelöst und man erhält so parametrisierte Basisfunktionen. Für ein geeignetes Sampling dieser Parameter kann man die Lösung als sparse Linearkombination (idealerweise eins-sparse) dieser Funktionen darstellen. Hier soll nun zusätzlich die Bewegung modelliert werden, die zu einer weiteren örtlichen Durchmischung der Basisfunktionen über die Zeit führt. Geeignete Variationsmethoden sollen sowohl basierend auf Euler’scher als auch auf Lagrange’scher Modellierung der Bewegung (in Kooperation mit TP 1) konstruiert und numerisch untersucht werden.

Implementierung und Validierung der Methoden

Für die in Tests erfolgreichen Modelle wird begonnen effiziente numerische Verfahren, basierend auf Kombinationen von Gauss-Newton-Verfahren, konvexem Splitting und primal-dualen Formulierungen, zu entwickeln und zu implementieren. Die Testimplementierungen erlauben eine kontinuierliche Validierung von Ergebnissen in Kooperation mit TP 4. Endgültige Implementierungen der Software für PET werden in Kooperation mit TP 4 in emrecon übernommen und Siemens Healthcare sowie den klinischen Partnern direkt verfügbar gemacht.

Implementierungen für DCE-MR werden mit der von den klinischen Partnern verwendeten Registrierungssoftware zusammengeführt.