Pionierarbeit: Mathematische Grundlagen der Lichtbrechung

Im Physikunterricht lernt jedes Kind: An der Grenzfläche zwischen Luft und Wasser wird Licht gebrochen und reflektiert. Der Grund dafür ist der unterschiedliche Brechungsindex der zwei Medien – eine optische Eigenschaft, die für jedes Material charakteristisch ist. Es gibt auch Materialien mit sogenannten negativen Brechungsindizes. Dabei handelt es sich um besondere optische Materialeigenschaften, die Objekte unsichtbar und unhörbar machen können. „Das mathematische Verständnis dieses Themas steht noch am Anfang“, sagt Dr. Barbara Verfürth vom Institut für Analysis und Numerik der Westfälischen Wilhelms-Universität Münster (WWU). Mit ihrer Dissertation leistet sie Pionierarbeit, indem sie erstmalig den Zusammenhang zwischen den Materialien und ihrer Lichtbrechung berechnet. Ihre mathematische Grundlagenarbeit kann zukünftig unter anderem der Entwicklung von hochauflösenden Mikroskopen oder der Verfeinerung von schall-schluckenden Wänden, die für eine gute Akustik in Konzerthallen oder Tonstudios wichtig sind, dienen.

Von der Simulation zur Anwendung

Bereits 1968 beschrieb der russische Physiker Victor Veselago die Existenz von Materialien mit sogenannten negativen Brechungsindizes und eröffnete damit ein vollkommen neues Forschungsfeld der Metamaterialien. Dabei handelt es sich um künstlich hergestellte Substanzen, deren Durchlässigkeit für elektrische und magnetische Felder von der in der Natur vorhandener Materialien abweichen. Um die ungewöhnliche Wellenausbreitung in Materialien mit negativen Brechungsindizes zu verstehen und zu berechnen, bedarf es einerseits sehr komplexer Materialien, die aus mindestens zwei Einzelmaterialien mit nanofeinen inneren Strukturen bestehen, und andererseits sogenannter numerischer Mehrskalen-Methoden. Dabei handelt es sich um spezielle Methoden, die für Probleme konzipiert sind, in denen Prozesse sowohl über große als auch sehr kleine Bereich ablaufen und diese miteinander gekoppelt sind. Durch den Einsatz dieser Methode werden die nanofeinen Strukturen der Materialien geeignet gemittelt.

Bevor Barbara Verfürth mit ihren Kollegen diese Materialien am Computer mit unterschiedlichen Strahlen- und Wellenoptiken simulierte, hatte sie zuvor wochenlang an Gleichungen und numerischen Methoden getüftelt, um ein bestimmtes mathematisches Problem – in diesem Fall das der negativen Lichtbrechung – zu verstehen. „Ich fand von Anfang an das physikalische Phänomen der negativen Brechung sehr spannend und wollte besser verstehen, wie es dazu kommt. Daher habe ich diesen naturwissenschaftlichen Prozess am Computer simuliert und kann gleichzeitig mathematisch exakte Aussagen über die Qualität dieser Simulationen treffen“, erläutert die 27-jährige Mathematikerin. Die Simulationen bestätigen die Genauigkeit ihrer Berechnungen und verdeutlichen dadurch die Anwendbarkeit der Methode. Anhand dieser Simulation ist erkennbar, dass die ungewöhnlichen Materialeigenschaften auf spezielle Resonanzeffekte zurückzuführen sind. „Das bedeutet, dass an einigen Stellen im Material die Welle stärker ausschlägt als im Rest des Materials. Das führt dazu, dass die Energie der Welle stark auf bestimmte Teilbereiche konzentriert ist“, erklärt Barbara Verfürth.

Grundsätzlich hilft ihre Arbeit anderen Mathematikern, indem ihre erprobte Methode für künftige Forschung im Bereich der Wellenausbreitung in komplexen Materialien angewandt wird. Insbesondere die Struktur der zugrundeliegenden Gleichungen und ihre Lösungen helfen Physikern und anderen Anwendern, die in Experimenten beobachteten Phänomene besser zu verstehen und schon vor einem Experiment anhand von Computersimulationen Ergebnisse vorherzusagen.

Links zu dieser Meldung

• Original Publikation: Verfürth B. 2018. “Numerical multiscale methods for Maxwell's equations in heterogeneous media”; Dissertation, Universität Münster.
• Arbeitsgruppe Numerische Analysis und Wissenschaftliches Rechnen (Prof. Dr. Mario Ohlberger)