Neuer Beweis trägt zur Lösung von Gleichungen mit Zufallskomponenten bei
Ob physikalische Phänomene, Aktienkurse oder Klima-Modelle: Viele dynamische Prozesse unserer Welt lassen sich mithilfe von partiellen Differentialgleichungen mathematisch beschreiben. Das ist dank der Stochastik, einem Teilgebiet der Mathematik, das sich mit Wahrscheinlichkeiten beschäftigt, sogar möglich, wenn bei diesen Vorgängen der Zufall eine Rolle spielt. Ein Forschungsgegenstand sind seit einigen Jahrzehnten die sogenannten stochastischen partiellen Differentialgleichungen. Dr. Markus Tempelmayr, Wissenschaftler am Exzellenzcluster Mathematik Münster der Universität Münster, hat mit anderen Forschern einen Ansatz gefunden, der dazu beiträgt, eine bestimmte Klasse solcher Gleichungen zu lösen. Die Ergebnisse sind in der Fachzeitschrift „Inventiones mathematicae“ veröffentlicht worden.
Die Arbeit baut auf einer Theorie auf, die Prof. Dr. Martin Hairer, Träger der Fields-Medaille, 2014 mit internationalen Kollegen entwickelte. Sie gilt als Durchbruch im Forschungsfeld der singulären stochastischen partiellen Differentialgleichungen. „Bis dahin war es eher ein Mysterium, wie man diese Gleichungen löst. Der neue Beweis hat einen ‚Werkzeugkasten‘ bereitgestellt, mit dem man solche Gleichungen behandeln kann“, erläutert Markus Tempelmayr.
Das Problem: Die Theorie sei relativ komplex, sodass die Anwendung der „Werkzeuge“ und deren Adaption auf andere Situationen manchmal schwierig sei. „Wir haben deshalb in unserer Arbeit Aspekte der ‚Toolbox‘ aus einem anderen Blickwinkel betrachtet und einen Zugang gefunden und bewiesen, der einfacher und flexibel anzuwenden ist.“ 2021 ist die Studie, an der Markus Tempelmayr als Doktorand von Prof. Dr. Felix Otto am Max-Planck-Institut für Mathematik in den Naturwissenschaften mitgearbeitet hat, als Vorabveröffentlichung erschienen. Seitdem haben bereits mehrere Forschungsgruppen diesen alternativen Zugang mit Erfolg auf ihre Forschungssettings angewandt.
Mit stochastischen partiellen Differentialgleichungen lassen sich unterschiedliche dynamische Prozesse modellieren, zum Beispiel das Oberflächenwachstum von Bakterien, die Ausbreitung von dünnen Flüssigkeitsfilmen oder interagierende Teilchenmodelle im Magnetismus. Diese konkreten Anwendungsfelder spielen bei der mathematischen Grundlagenforschung allerdings keine Rolle, da es sich unabhängig davon stets um die gleiche Klasse von Gleichungen handelt. Die Mathematikerinnen und Mathematiker konzentrieren sich darauf, die Gleichungen trotz der stochastischen Terme und der daraus resultierenden Herausforderungen, wie überlagernde Frequenzen, die zu Resonanzen führen, zu lösen.
Dafür werden verschiedene Techniken genutzt. In Hairers Theorie kommen Methoden zum Einsatz, die zu anschaulichen Baum-Diagrammen führen. „Dabei werden Werkzeuge aus der stochastischen Analysis, Algebra und Kombinatorik angewandt“, erklärt Markus Tempelmayr. Er und seine Kollegen wählten dagegen einen analytischen Zugang. Dabei habe die Frage im Vordergrund gestanden, wie sich die Lösung der Gleichung verändert, wenn man den zugrundeliegenden stochastischen Prozess verändert.
Ihr Weg war es, nicht direkt die Lösung der komplizierten stochastischen partiellen Differentialgleichung in Angriff zu nehmen, sondern stattdessen viele verschiedene einfachere Gleichungen zu lösen und bestimmte Aussagen über diese zu beweisen. „Die Lösungen der einfachen Gleichungen kann man dann zusammensetzen, also addieren, um eine Lösung der komplizierten Gleichung zu bekommen, an der man interessiert ist.“ Dieses Wissen nutzt auch Forschungsgruppen, die mit anderen Methoden arbeiten.
Originalveröffentlichung
P. Linares, F. Otto, M. Tempelmayr, P. Tsatsoulis (2024): A diagram-free approach to the stochastic estimates in regularity structures. Inventiones mathematicae. 2024, DOI: https://doi.org/10.1007/s00222-024-01275-z