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Darstellungen von ${\cal{P}}$ : Fall $m\,=\,0$

Fr masseloses System: $\vec{p}^{\,2}\,=\,0$ , d. h. Viererimpuls $\overline{p}$ ,,lichtartig``; dann o. B. d. A.

$\displaystyle \{\overline{p}^{\,\sigma}\}\,=\,\{p,\,0,\,0,\,p\}\,\,;\quad \{\overline{p}_{\sigma}\}\,=\,\{p,\,0,\,0,\,-p\}$

(5.1)

$\displaystyle W^{\mu}\vert _{\overline{p}}\quad\to\quad\frac{p}{2}\,[ \varepsi... ...silon^{\mu\kappa\lambda 3}]\,M_{\kappa\lambda}\qquad\,\,\,\,\,\,\hspace{3.7cm}$

(5.2)

$\displaystyle W^{0}\vert _{\overline{p}}\quad \to\quad -p\,M_{12}\,=\,-p\,M^{12}\,=\, +p\,J^{3}\hspace{3.75cm}$

(5.3)

$\displaystyle W^{1}\vert _{\overline{p}}\quad \to\quad p\,(\,\underbrace{M_{20... ...o\quad p\,(\,\underbrace{-M_{01}}_{-K^{1}}\,\underbrace{-\,M_{31}}_{+J^{2}}\,)$

(5.4)

$\displaystyle W^{3}\vert _{\overline{p}}\quad \to\quad -p\,M_{12}\,=\,+p\,J^{3} \hspace{5.7cm}$

(5.5)

Man prft nach:

$\displaystyle W^{\mu}\,P_{\mu}\vert _{\overline{p}}\,=\, p\,(W^{0}\,-\,W^{3})\vert _{\overline{p}}\,=\, p^{2}\,(J^{3}\,-\,J^{3})\,=\,0\,\,.$

Insgesamt:

$\displaystyle n_{\mu}\,W^{\mu}\vert _{\overline{p}}$	$\displaystyle = (pn^{0})\,J^{3}\,-\,(pn^{1})\,(J^{1}\,+\,K^{2})\,-\,(pn^{2})\,(J^{2}\,-\,K^{1})\,-\,( pn^{3})\,J^{3}$
	$\displaystyle = (pn^{0}\,\vec{e}_{3})\,\cdot\,\vec{J}\,-\,(p\vec{n}\,)\,\cdot\,(\vec{J}\,-\, \vec{e}_{3}\,\times\,\vec{K})$
	$\displaystyle = [p\,(n^{0}\,\vec{e}_{3}\,-\,\vec{n}\,)]\,\cdot\,\vec{J}\,+\, [p\,(\vec{n}\,\times\,\vec{e}_{3})]\,\cdot\,\vec{K}$	(5.6)

Als Vertauschungsrelation der $W^{\mu}$ auf $\overline{p}$ -Unterraum berechnet man

$\displaystyle [W^{1},\,W^{2}]\vert _{\overline{p}}$	$\displaystyle = p^{2}\,[J^{1}\,+\,K^{2}\,\,,\,J^{2}\,-\,K^{1}]$
	$\displaystyle = p^{2}\,([\,\underbrace{J^{1},\,J^{2}}_{i\,J^{3}}\,]\,+\,[\, \underbrace{K^{1},\,K^{2}}_{-i\,J^{3}}\,])\,=\,0\,\,,$	(5.7)

$\displaystyle [W^{2},\,W^{3}]\vert _{\overline{p}}\,=\,p^{2}\,[J^{2}\,-\,K^{1},\,J^{3}]\,=\, i\,p^{2}\,(J^{1}\,+\,K^{2})\,=\,i\,p\,W^{1}\vert _{\overline{p}}$

(5.8 a)

$\displaystyle [W^{3},\,W^{1}]\vert _{\overline{p}}\,=\,p^{2}\,[J^{3},\,J^{1}\,+\,K^{2}]\,=\, i\,p^{2}\,(J^{2}\,-\,K^{1})\,=\,i\,p\,W^{2}\vert _{\overline{p}}$

(5.8 b)

D. h.: auf masselosem $(\overline{p}^{\,2}\,=\,0$ ) Darstellungsraum sind VR von $W^{\mu}$ (wobei $W^{0}\,=\,W^{3}$ ) die der zweidimensionalen euklidischen Gruppe $E\,(2)$ , mit $W^{1},\,W^{2}$ als kommutierenden ,,Translationsgeneratoren`` und $W^{3}\,\propto\,J^{3}$ als Generator der Drehungen, in Ebene senkrecht zu $\vec{p}$ . Derselbe Schluss auch direkt aus allgemeinen VR registriert auf $\vec{p}$ :

$\displaystyle [W^{\mu},\,W^{\nu}]\vert _{\overline{p}\,=\,\{p,\,0,\,0,\,p\}}\,=... ...p\,(\varepsilon^{\mu\nu\rho 0}\,-\,\varepsilon^{\mu\nu\rho 3})\, W_{\rho}\,\,,$

z. B.:

$\displaystyle [W^{1},\,W^{2}]\vert _{\dots}\,=\,-i\,p\,\varepsilon^{0123}\,(W_{0}\,+\,\underbrace{ W_{3}}_{=-W^{3}}\,)\,=\,0\,\,,$

(5.9)

usw. Konsequenz: $(W^{1})^{2}\,+\,(W^{2})^{2}\vert _{ \overline{p}}$ kann (wie $(P^{1})^{2}+\,(P^{2})^{2}$ in der $E\,(2))$ beliebige positive Eigenwerte haben

$\displaystyle \vec{W}^{\,2}\vert _{\overline{p}}\,\,$ ist ,,nicht quantisiert`` (kein diskretes Spektrum)

(5.10)

Da Zust„nde mit kontinuierlicher Spinbetragsquantenzahl in der Natur nicht beobachtet, Beschr„nkung der physikalischen Zust„nde auf Nullraum von $W^{1,2}$ :

$\displaystyle W^{1}\,\ensuremath{\vert\overline{p},\,\dots\rangle}\,=\,0\,\,,\quad W^{2}\,\ensuremath{\vert\overline{p},\,\dots\rangle}\,=\,0\,\,,$ wenn $\displaystyle \quad \overline{p}\,=\,\{p,\,0,\,0,\,p\}$

(5.11)

(Allgemeiner: $(\hat{\overline{p}}\,\times\,\vec{W})\,\ensuremath{\vert\overline{p},\,\dots\rangle}\,=\,0$ , wenn $\overline{p}\,=\,\{\vert\vec{p}\,\vert,\,\vert\vec{p}\,\vert\,\cdot\,\hat{\overline{p}}\}).$ Dann insgesamt

$\displaystyle W^{\mu}\,\ensuremath{\vert\overline{p},\,\dots\rangle}\,=\,\left(... ...}\,\cdot\,\overline{p}^{\,\mu}\,\ensuremath{\vert \overline{p},\,\dots\rangle}$

(5.12)

$\displaystyle =\,\left(\frac{\vec{p}\,\cdot\,\vec{J}}{\vert\vec{p}\,\vert}\right)\,P^{\mu}\,\ensuremath{\vert \overline{p},\,\dots\rangle}\quad\,\,\,$

(5.13)

fr $\overline{p}^{\,\mu}\,=\,\{p,\,0,\,0,\,p\},\,\overline{p}^{\,2}\,=\,0$ . ,,Helizit„tsoperator`` (Spinkomponente in Impulsrichtung)

$\displaystyle h\,:=\,\hat{p}\,\cdot\,\vec{J}$

(5.14)

Damit allgemein $W^{\mu}\,\ensuremath{\vert\overline{p},\,\dots\rangle}_{\overline{p}^{\,2}=0}\... ...^{\mu}\,h\,\ensuremath{\vert\overline{p},\,\dots\rangle}_{\overline{p}^{\,2}=0}$ ; w„hlt man Zustand zus„tzlich als Eigenzustand dieser Spinkomponente,

$\displaystyle h\,\ensuremath{\vert\overline{p},\,\lambda\rangle}_{\overline{p}^... ...\,\ensuremath{\vert \overline{p},\,\lambda\rangle}_{\overline{p}^{\,2}=0}\,\,,$

(5.15)

dann fr physikalische Zust„nde

$\displaystyle \shadowbox{ $W^{\mu}\,\ensuremath{\vert\overline{p},\,\lambda\ra... ...ine{p},\,\lambda\rangle}\,\,,\quad \text{wenn}\quad \overline{p}^{\,2}\,=\,0$}$

(5.16)

Da alle 4 $W^{\mu}$ diagonal, gibt es keine Verschiebeoperatoren mehr, die $\lambda$ „ndern, ohne den Eigenraum zu $\vec{p}$ zu verlassen, d. h. irreduzible Darstellung hat einen einzigen Helizit„tswert $\lambda$ . ^*) Darstellung der Parit„t bei $P^{2}\,=\,0$ : Da

Pseudoskalar, $T\,(P)\,h\,T\,(P)^{-1}\,=\,-h$ , ist

$\displaystyle T\,(P)\,\ensuremath{\vert\overline{p},\,\lambda\rangle}_{\overlin... ...o\,\ensuremath{\vert\overline{p},\,-\lambda\rangle}_{\overline{p}^{\,2}=0}\,\,,$

(5.17)

eine andere irreduzible Darstellung. Existiert sie als physikalischer Zustand, dann auf direkter Summe ( $\lambda)\,\oplus\,(-\lambda)$ Parit„t darstellbar, wenn nicht, ist ein Drehsinn in der Natur ausgezeichnet (,,die Parit„t gebrochen``).

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Joerg_Lemm 2000-02-04