Darstellungen von ${\cal{P}}$: Fall $m\,>\,0$

,,Kanonische Basis`` von Zustandsvektoren: gemeinsame Eigenzust„nde von $P^{2},\,W^{2},$
$P^{\mu},\,W^{3}$ mit

$$P^{2}\,\ensuremath{\vert m,\,s;\,\vec{p},\,s_{3}\rangle}\,=\,m^{2}\,\ensuremath{\vert m,\,s;\,\vec{p},\,s_{3}\rangle}\,\,;\qquad m\,\, \,\,>\,0\,\,;$$ (4.1)

$$W^{2}\,\ensuremath{\vert m,\,s;\,\vec{p},\,s_{3}\rangle}\,=\,-m^{2}\,s\,(s\,+\,1)\,\ensuremath{\vert m,\,s;\,\vec{p},\,s_{3}\rangle}\,\,;$$ (4.2)

$$\vec{P}\,\ensuremath{\vert m,\,s;\,\vec{p},\,s_{3}\rangle}\,=\,\vec{p}\,\ensuremath{\vert m,\,s;\,\vec{p},\,s_{3}\rangle}\,\,;$$ (4.3)

$$W^{'3}\,\ensuremath{\vert m,\,s;\,\vec{p},\,s_{3}\rangle}\,=\,m\,... ...math{\vert m,\,s;\,\vec{p},\,s_{3}\rangle}\,\,;\qquad s_{3}\,=\,-s\,\dots\,+s$$ (4.4)

und als Folgerung

$$P^{0}\,\ensuremath{\vert m,\,s;\,\vec{p},\,s_{3}\rangle}\,=\,p^{0... ...\,;\qquad p^{0}\,=\,\varepsilon_{p}\,=\,\sqrt{ m^{2}\,+\,\vec{p}^{\,2}}\,>\,0$$ (4.5)

(Beschr„nkung auf $m\,>\,0$ reell entspricht zus„tzlicher Angabe von sgn $p^{0}\,=\,+$). (Normierung der kanonischen Basis auf Deltafunktion: konventionell

$$\ensuremath{\langle m,\,s;\,\vec{p},\,s^{'}_{3}\vert m,\,s;\,\vec... ...}\,\delta^{3}\,(\vec{p}^{\,'}\,-\,\vec{p}\,)\, \delta_{s^{'}_{3}\,s_{3}})\,\,.$$ (4.6)

Zur $W^{'3}$-Eigenwertgleichung: bisher gezeigt

$$S^{3}\,\ensuremath{\vert m,\,s;\,\vec{p}\,=\,\vec{0},\,s_{3}\rang... ...c{0},\,s_{3}\rangle}\,\,,\qquad S^{3}\,=\,\frac{1}{m}\,W^{3}\vert _{\vec{p}=0}$$ (4.7)

Es sei

$$\begin{array}{l} L_{p}\,:=\,\,\text{Lorentz-Transformation}\... ...{p^{\mu}\,\}_{p^{2}=m^{2}}\,\,\text{abbildet}\,\,. \end{array}$$ (4.8)

Explizite Form:

$$(L_{p})_{\,\,\,\lambda}^{\kappa}\,=\,\left( \begin{tabular}{c\ve... ...u\,=\,\left\{ \begin{array}{c} 1\\ 2\\ 3 \end{array}\right. $ \end{tabular}$$ (4.9)

(beachte $p_{l}\,=\,-p^{l}$). Umgekehrt bildet $(L_{p})^{-1}\,=\,L_{\{\varepsilon_{p},-\vec{p}\}}$ ab:

$$\{\varepsilon_{p},\,\vec{p}\,\}\,\to\,\{m,\,\vec{0}\,\}\,\,.$$ (4.10)

Dementsprechend in Darstellung $T\,(\Lambda,\,a\,=\,0)\,=\,T\,(\Lambda)$:

$$\ensuremath{\vert m,\,s;\,\vec{p},\,\dots\rangle}\,=\,T\,(L_{\vec{p}})\, \ensuremath{\vert m,\,s;\,\vec{0},\,\dots\rangle}$$ (4.11)

$$W^{'3}\,\ensuremath{\vert m,\,s;\,\vec{p},\,s_{3}\rangle}\,:=\,\u... ...\ T\,(L_{p}^{-1})]}_{W^{'3}}\, \ensuremath{\vert m,\,s;\vec{p},\,s_{3}\rangle}$$ (4.12)

$$=\,T\,(L_{\vec{p}})\,(m\,s_{3}\,\cdot\,\ensuremath{\vert m,\,s;\,... ...ngle})\,=\, m\,s_{3}\,\cdot\,\ensuremath{\vert m,\,s;\,\vec{p},\,s_{3}\rangle}$$ (4.13)

(D. h. $m\,S^{3}$-Eigenwert im Ruhesystem = $W^{3}$-Eigenwert im mit $\vec{p}\,/\,m$ bewegten System). Transformiertes $W^{'\mu}$ berechnet sich zu

$$W^{'\mu}\,:=\,T\,(L_{p})\,W^{\mu}\,T\,(L_{p}^{-1})\,=\, (L_{p}^{-1})_{\,\,\,\nu}^{\mu}\,W^{\nu}$$ (4.14)

$$\hspace*{-6cm} W^{'0} = \frac{1}{m}\,(W^{0}\,\varepsilon_{p}\,-\,\vec{W}\,\cdot\,\vec{p}\,)$$ (4.15)

$$= \frac{1}{m}\,(W^{\mu}\,P_{\mu})\,\, \,\,\ensuremath{\vert m;\,\vec{p}\,\rangle}$$

$$= 0\,\,$$

$$\qquad W^{'k} = -W^{0}\,\frac{1}{m}\,p^{k}\,+\,W^{k}\,+\, \frac{(W^{n}\,p^{n})} {m\,+\,\varepsilon_{p}}\,\frac{1}{m}\,p^{k}$$ (4.16)

$$= \, \,\,W^{k}\,-\,W^{0}\,\frac{p^{k}}{m\,+\, \varepsilon_{p}}\,\, \,\,\ensuremath{\vert m;\,\vec{p}\,\rangle}\,\,.$$

Hiermit Vertauschungsrelationen verifizierbar: auf Unterraum $\ensuremath{\vert m;\,\vec{p}\,\rangle}$

$$\left[\frac{1}{m}\,W^{'k},\,\frac{1}{m}\,W^{'l}\right]\,=\, i\,\varepsilon^{kln}\,\left(\frac{1}{m}\,W^{'n}\right)\,\,.$$ (4.17)

Transformation der kanonischen Basis (${\cal{P}}$-Darstellung) Translationen (trivial, da $P^{\mu}$ diagonal):

$$T\,({\rm 1\!l},\,a)\,\ensuremath{\vert m;\,\vec{p}\,\rangle} = \ensuremath{\mathrm{e}}^{-\ensuremath{\mathrm{i}}\,a_{\mu}\,P^{... ...uremath{\mathrm{i}}\,a_{\mu}\,p^{\mu}}\,\ensuremath{\vert m;\,\vec{p}\,\rangle}$$ (4.18)

$$= \ensuremath{\mathrm{e}}^{-\ensuremath{\mathrm{i}}\,(a_{0}\,\var... ...lon_{p}\,-\,\vec{a}\,\cdot\,\vec{p}}\, \ensuremath{\vert m;\,\vec{p}\,\rangle}$$

Beispiel daf�r, dass Darstellungen einer abelschen Gruppe in lauter eindimensionale (hier: Multiplikation mit Phasenfaktoren, da $T$ unit„r) zerfallen. Homogene Lorentz-Transformation $\Lambda$:

$$T\,(\Lambda)\,\ensuremath{\vert m,\,s;\,\vec{p},\,s_{3}\rangle} = T\,(\Lambda)\ T\,(L_{p})\,\ensuremath{\vert m,\,s;\vec{0},\,s_{3}\rangle}$$

$$= T\,(L_{\Lambda p})\ T\,(L_{\Lambda p}^{-1})\, T\,(\Lambda\,L_{p})\, \ensuremath{\vert m,\,s;\,\vec{0},\,s_{3}\rangle}$$

$$= T\,(L_{\Lambda p})\,T\,(L^{-1}_{\Lambda p}\,\cdot\,\Lambda\,\cdot\, L_{p})\,\ensuremath{\vert m,\,s;\,\vec{0},\,s_{3}\rangle}$$ (4.19)

Lorentz-Transformation

$$\shadowbox{ $R\,(\Lambda\,p,\,p)\,:=\,L^{-1}_{\Lambda p}\,\Lambda\,L_{p}$}$$ (4.20)

wirkt auf Ruhesystem-Impulsvektor gem„á

$$\{m,\,\vec{0}\,\}\,\to\,\{p^{\mu}\}_{p^{2}=m^{2}}\,\to\, \{(\Lambda\,p)^{\mu}\}_{(\Lambda p)^{2}=m^{2}}\,\to\, \{m,\,0\}\,\,,$$

d. h. $R_{\,\,\,0}^{0}\,=\,1$, d. h. $R\,=\,$ reine Raumdrehung:

$$\shadowbox{ $R\,(\Lambda\,p,\,p)\,\in\,SO\,(3)\,:\,\,\text{,,Wigner-Drehung\lq\lq }$}$$ (4.21)

Damit

$$T\,(R\,(\Lambda\,p,\,p))\,\ensuremath{\vert m,\,s;\,\vec{0},\,s_{... ..., (R\,(\Lambda\,p,\,p))\,\ensuremath{\vert m,\,s;\,\vec{0},\,s_{3}^{'}\rangle}$$ (4.22)

$$D^{(s)}\,(R) = (2\,s\,+\,1) \,\,R$$

$$= \ensuremath{\langle s,\,s_{3}^{'}\,\vert\,\ensuremath{\mathrm{... ...-\ensuremath{\mathrm{i}}\,\vec{\varphi}\,\cdot\,\vec{J}}\vert s,\,s_{3}\rangle} \qquad R\,=\,R\,(\vec{\varphi}\,)$$ (4.23)

Endresultat:

$$\shadowbox{ $\displaystyle{T\,(\Lambda)\,\ensuremath{\vert m,\,s... ...p,\,p))\,\ensuremath{\vert m,\,s;\, (\vec{\Lambda p}\,),\,s_{3}^{'}\rangle}}$}$$ (4.24)

Wirkung der homogenen Lorentz-Transformation $\Lambda$ also nicht nur auf $\vec{p}$ bzw. $p^{\mu}$, sondern dar�ber hinaus Spindrehung umfassend! Wigner-Drehung im allgemeinen kompliziert. F�r $\Lambda\,=\,L$ (Boost) Grenzf„lle: - nichtrelativistischer Limes:         $\vert\vec{p}\,\vert$ und $\vert(\vec{\Lambda p})\vert\,\ll\,m$

$$\Rightarrow\qquad R\,\approx\,{\rm 1\!l}_{3\times 3}\qquad ( )$$ (4.25)

- hochrelativistischer Limes:         $\vert\vec{p}\,\vert$ und $\vert(\vec{\Lambda p})\vert\,\gg\,m$

$$\Rightarrow\qquad R^{k}_{\,\,\,l}\,\frac{p^{l}}{\varepsilon_{p}}\,\approx\, \frac{p^{'k}}{\varepsilon_{p^{'}}}\,\,,$$ (4.26)

d. h. Spindrehung = Drehung des Geschwindigkeitsvektors (in diesem Grenzfall Spin parallel Impuls ausgerichtet).