Reduzibilität

Eine Darstellung $D$ heißt reduzibel, wenn es eine Transformation $M\in \textrm{GL}(\textrm{dim}\mathcal{L})$ gibt, so daß:

$$\forall g \in \mathcal{G} : \varphi'(g)=M^{-1}\varphi(g)M= \... ...\cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{array}\right)$$

• ,,anschauliche Bedeutung``: es gibt invariante Teilräume von $\mathcal{L}$, die unter den Gruppenoperationen auf sich selber abgebildet werden (wichtig in der Quantenmechanik: invariante Teilräume von Hilberträumen, ,,Multipletts``).
  $\mathcal{L}$ zerfällt dann in eine Summe orthogonaler Teilräume: $\mathcal{L}=\mathcal{L}^{(1)} \oplus \mathcal{L}^{(2)} \oplus \mathcal{L}^{(3)} \oplus \ldots$
• Da $D'$ eine äquivalente Darstellung ist, gilt offensichtlich, daß jede Teilmatrix $\varphi'^{(i)}$ für sich bereits eine gültige Darstellung der Gruppe repräsentiert
• Schreibweise:
  $D=D^{(1)}+D^{(2)}+D^{(3)}+\ldots$ (manchmal auch $\stackrel{\cdot}{+}$)
  einzelne Bestandteile können mehrfach vorkommen: $D=\sum_\mu a_\mu D^{(\mu)}$,
  $a_\mu = 0,1,2,\ldots$ heißt die Multiplizität von $D^{(\mu)}$ in $D$
• vollständige Reduktion ist erreicht, wenn die einzelnen Teilmatrizen nicht weiter reduziert werden könnnen; die Darstellung ist dann irreduzibel