Darstellung

Unter der Darstellung einer Gruppe $\mathcal{G}$ versteht man nun die homomorphe Abbildung von dieser Gruppe in eine Gruppe nichtsingulärer, linearer Operatoren auf einem Vektorraum $\mathcal{L}$. Das heißt, im Falle eines endlich-dimensionalen Vektorraums $\mathcal{L}$ bietet sich insbesondere eine Darstellung ín Form von quadratischen, invertierbaren (nichtsingulären) Matrizen an (durch die sich ja lineare Transformationen - bezüglich einer Basis - in solchen Räumen darstellen lassen).
Es gelten folgende Begriffsvereinbarungen:

• Immer möglich ist die triviale Darstellung: alle Elemente aus $\mathcal{G}$ werden auf $1$ abgebildet
• Ist die Abbildung isomorph, so spricht man von einer getreuen Darstellung
• Die Dimension der Darstellung wird definiert als die Dimension des Vektorraumes $\mathcal{L}$
• Im Falle von Matrizen hängt deren Gestalt von der Wahl der Basis von $\mathcal{L}$ ab. Daher bezeichnet man zwei Darstellungen $D=(\varphi,\mathcal{L})$ und $D'=(\varphi',\mathcal{L}')$ als äquivalent, wenn eine Basiswechsel-Matrix $M$ existiert, so daß gilt: $\quad \forall g \in \mathcal{G}: \varphi'(g)=M^{-1}\varphi(g)M$
• Sind die linearen Operatoren $\varphi$ in $\mathcal{L}$ unitär (normerhaltend), gilt also $\varphi^{-1}=(\varphi^ \ast)^t=\varphi^+$, spricht man von einer unitären Darstellung
  Man kann zeigen, daß in jeder Folge äquivalenter Darstellungen einer endlichen Gruppe oder kompakten Lie-Gruppe mindestens eine unitäre Darstellung vorhanden ist. Daher beschränkt man sich in Anwendungen der Physik häufig auf unitäre Darstellungen.