Reguläre Darstellung

Bei der regulären Darstellung handelt es sich um eine besondere Darstellung, die sich bei gegebener (endlicher) Gruppe sehr einfach konstruieren läßt:
Im folgenden bezeichnen $x_\mu$ die in beliebiger, aber fester Reihenfolge durchnummerierten Elemente der Gruppe $\mathcal{G}$, $g$ ein beliebiges Element der Gruppe. Dann definiert man:
$D^{(reg)}_{ij}(g)=\delta (x^{-1}_igx_j), \quad \textrm{mit } \delta(t)=\left\{ \begin{array}{cl} 1, & h=E \\ 0, & \textrm{sonst} \end{array}\right.$
Es gilt offensichtlich: $\textrm{dim}(D^{(reg)})=\textrm{ord}(\mathcal{G})$.
Bei dieser Konstruktion kann man die kanonische Basis des Vektorraumes mit den Gruppenelementen (in der gegebenen Reihenfolge) interpretieren. Dann wirken die dargestellten Gruppenelemente so auf die Basisvektoren, wie es durch die Gruppenmultiplikation in $\mathcal{G}$ induziert wird; d.h., der $i$-te Basisvektor wird unter Anwendung von $\varphi (g)$ zu dem Basisvektor, der $gx_i$ entspricht.