Glatte Hyperflächen von genügend kleinem Grad im projektiven Raum sind Fanovarietäten, insbesondere existiert eine Zerlegung der Diagonale. Damit ist die Existenz einer kleinsten positiven natürlichen Zahl, genannt Zerlegungsindex, gemeint, so dass das Vielfache von Zerlegungsindex und Diagonale als Element der Chowgruppe Träger in einem Divisor hat. Der Zerlegungsindex ist eine Invariante, die eine zentrale Rolle in neuen Gegenbeispielen zur Rationalität von Hyperflächen spielt. Ich werde gemeinsame Resultate mit Marc Levine zum Zerlegungsindex vorstellen.