Eine approximative Untergruppe einer Gruppe G ist eine endliche Teilmenge X von G, so dass die Menge {xy | x,y in X} der Produkte nicht viel größer ist als X selbst (in einem zu präzisierenden Sinne). In G = \Z sind lange arithmetische Progressionen Beispiele für approximative Untergruppen. In den 60er Jahren hat Freimann gezeigt, dass approximative Untergruppen von \Z "im Wesentlichen" immer Produkte von arithmetischen Progressionen sind. Später wurde eine Variante des Resultats für beliebige abelsche Gruppen gezeigt, und 2011 haben Breuillard-Green-Tao schließlich eine Variante für beliebige Gruppen G bewiesen. Ich werde diese Resultate vorstellen und einen Einblick in den Beweis von Breuillard-Green-Tao geben, in dem Hilberts fünftes Problem eine wichtige Rolle spielt.