Bachelorseminar: Empirische Maße und Transportmetriken

Termin: Donnerstag, 14 - 16 Uhr, im Orléans-Ring 12 - SRZ 117

Dozent:

 Prof. Dr. Matthias Löwe, Prof. Dr. Martin Huesmann
Betreuung:
KommVV:

Eintrag der Veranstaltung im kommentierten Vorlesungsverzeichnis
Vorbesprechung: 10. Oktober 2019, 14 Uhr, im Orléans-Ring 12 - SRZ 117
Inhalte:

Eine wichtige Basis für die Simulation von komplexen Modellen oder auch der Konstruktion von Schätzern in der Statistik ist der Satz von Glivenko Cantelli. Er besagt, dass das empirische Maß einer gegebenen Verteilung μ eine gute Approximation von μ ist. Genauer gesagt, seien X_1,\dots,X_n u.i.v. Zufallsvariablen mit Verteilung μ. Das empirische Maß von X1,...,Xn ist gegeben durch

$\mu_N:=\frac 1 N\sum\limits_{i=1}^N \delta_{X_i}$ ,

wobei \delta_x das Dirac-Maß in x bezeichnet. Dann besagt der Satz von Glivenko-Cantelli, dass die Verteilungsfunktion F_N von \mu_n fast sicher in der sup-Norm gegen die Verteilungsfunktion F von μ konvergiert.

Für potentielle Anwendungen in der Statistik, Numerik oder auch der Wahrscheinlichkeitstheorie ist es häufig essentiell zu verstehen, wie schnell \mu_n  gegen μ konvergiert. In diesem Seminar wollen wir diese Frage anhand von Transportmetriken, sogenannten Kantorovich-Wasserstein Metriken studieren. Nach einer Einführung dieser Metriken werden wir obere und untere Schranken für die Konvergenz der empirischen Maße ins Gleichgewicht herleiten.
Literatur: Wir werden uns in diesem Seminar an dem Buch One-dimensional empirical measures, order statistics, and Kantorovich transport distances von Sergey Bobkov und Michel Ledoux orientieren.
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Organisation

Vorabgabe:

Die Ausarbeitung des Vortrags muss bis spätestens zwei Wochen vor dem Vortrag in Form einer pdf-Datei abgegeben werden.

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