Lagrangeformalismus

Grundlage für die Formulierung des Standardmodells ist der sogenannte Lagrangeformalismus. Hierbei geht man wie in der klassischen Mechanik zunächst von einer Lagrange-Dichte $\Lag$ aus, welche über die Lagrange-Funktion

$$L\;=\;\int d^3x\:\Lag(\phi, \partial_\mu\phi)$$

definiert ist. Die Bewegungsgleichungen erhält man bekanntlich aus dem Variationsprinzip

$$\delta S\;=\;0$$

$$S\;=\;\int dt L\;=\;\int d^4x \Lag$$

Die Bewegungsgleichungen lauten dann:

$$\partd{}{x^\mu}\left(\partd{\Lag}{(\partial_\mu\phi)}\right)-\partd{\Lag}{\phi}=0$$

Als nächstes führt man das kanonisch konjugierte Moment

$$\Pi\;=\;\partd{\Lag}{\dot\phi}\;=\;\partd{\Lag}{(\partial_0\phi)}$$

ein. Ein paar Beispiele für Lagrange-Dichten:

• Elektro-Dynamik: $\Lag=-\frac14F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}-j^\nu A_\nu$ (setze $\phi=A_\nu$ $\ldots$)
• Klein-Gordon Feld $\Lag=\frac12\left((\partial_\mu\phi)(\partial^\mu\phi)-m^2\phi^2\right)$
• Dirac-Feld $\Lag=\bar\psi\left(i\gamma^\mu\partial_\mu-m\right)\psi$ wobei üblicherweise: $\bar\psi=\psi^\dagger\gamma^0, \gamma^0=\left(\begin{array}{cc}1&0\\ 0&-1\end... ...t), \gamma^i=\left(\begin{array}{cc}0&\sigma_i\\ -\sigma_i&0\end{array}\right)$

Der Übergang von der klassischen Feldtheorie zu einer Quantenfeldtheorie wird nun analog wie in der Quantenmechanik durchgeführt, die Felder werden zu Operatoren und die klassischen Felder deren Erwartungswerte.