Casimir-Operatoren; Pauli-Lubanski-Vektor

Operator des Viererimpulsquadrats

$$P^{2}\,:=\,P_{\mu}\,P^{\mu}\,=\,\eta_{\mu\nu}\,P^{\mu}\,P^{\nu}$$ (2.1)

kommutiert trivialerweise mit den $P^{\rho}$ und (wie alle Minkowski-Skalare) auch mit den $M^{\rho\sigma}$:

$$[P_{\mu}\,P^{\mu},\,M^{\rho\sigma}] = P_{\mu}\,[P^{\mu},\, M^{\rho\sigma}]\,+\,[P^{\mu},\,M^{\rho\sigma}]\,P_{\mu}$$

$$= i\,P_{\mu}\,(\eta^{\mu\sigma}\,P^{\rho}\,-\,\eta^{\mu\rho}\,P^... ...) \,+\,i\,(\eta^{\mu\sigma}\,P^{\rho}\,-\,\eta^{\mu\rho}\,P^{\sigma})\,P_{\mu}$$

$$= i\,([P^{\sigma},\,P^{\rho}]\,+\,[P^{\rho},\,P^{\sigma}])\,=\,0\,\,.$$ (2.2)

$\Rightarrow$ $P^{2}$ Casimir-Operator von ${\cal{P}}^{\uparrow}_{+}$; Eigenwert $m^{2}\,(\begin{array}{c} >\vspace*{-3mm}\\ =\vspace*{-3mm}\\ <\end{array}\,0$) von $P^{2}$ charakterisiert einen irreduziblen Darstellungsraum als Ganzes. (Physikalisch nur $m^{2}\,>\,0$ oder $m^{2}\,=\,0$). F�r weiteren Casimir-Operator: definiere Pauli-Lubanski-Vektor (relativistischer Spinoperator)

$$\shadowbox{ $\displaystyle{ W^{\mu}\,:=\,\frac{1}{2}\,\varepsilon^{\mu\kappa\lambda\nu}\,M_{\kappa\lambda}\,P_{\nu}}$}\,\,.$$ (2.3)

(bilinear in Generatoren!) Eigenschaften folgen aus Poincar‚-VR und Definition:

$$\shadowbox{ $W^{\mu}\,P_{\mu}\,=\,0\qquad (W^{0}\,P_{0}\,=\,\vec{W}\,\cdot\,\vec{P}\,)$}\,\,;$$ (2.4)

$$\shadowbox{ $[W^{\mu},\,P^{\nu}]\,=\,0\qquad (\text{alle}\,\,\mu,\,\nu)$}\,\,;$$ (2.5)

( $\Rightarrow$ alle Komponenten von $P^{\nu}$ plus 1 Komponente von $W^{\mu}$ gleichzeitig diagonalisierbar!)

$$\shadowbox{ $[M^{\kappa\lambda},\,W^{\mu}]\,=\,i\,(\eta^{\kappa\mu}\,W^{\lambda}\,-\, \eta^{\lambda\mu}\,W^{\kappa}$}\,\,;\quad (W\,\, )$$ (2.6)

$$\shadowbox{ $[W^{\mu},\,W^{\nu}]\,=\,i\,\varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma}\,W_{\rho}\,P_{\sigma}$}\,\,.$$ (2.7)

Folgerung: Operator

$$\shadowbox{ $W^{2}\,:=\,W_{\mu}\,W^{\mu}\,=\,\eta_{\mu\nu}\,W^{\mu}\,W^{\nu}$}$$ (2.8)

kommutiert mit den $P^{\mu}$ (nach (2.5)) und mit allen $M^{\mu\nu}$ (als Skalar). $\Rightarrow\,\,W^{2}$ weiterer Casimir-Operator von ${\cal{P}}^{\uparrow}_{+}$.          (Dies sind im wesentlichen alle Casimir-Operatoren, da alle anderen aus $P^{\mu}$ und $M^{\kappa\lambda}$ konstruierten Skalare entweder nicht mit $P$ïs kommutieren, was insbesondere auf die Bildungen

$$N_{\mu}\,N^{\mu}\,\, \,\, N^{\mu}=M^{\mu\nu}\,P_{\nu}\,,\quad (M^{2})^{\mu}_{\,\,\,\... ...2\,(\vec{K}^{\,2}-\vec{J}^{\,2})\,,\quad (M^{n})^{\mu}_{\,\,\,\mu}\ ,(n\,>\,2)$$

zutrifft, oder sich auf Funktionen von $W^{2}$ und $P^{2}$ reduzieren).          Bedeutung von $W^{\mu}$: da mit allen $P^{\nu}$ kommutierend, betrachte Wirkung von $W^{\mu}$ auf Unterraum zu festen Eigenwerten $p\,=\,\{p^{\mu}\}$ der Viererimpulse $P^{\mu}$:

$$P^{\mu}\,\ensuremath{\vert p,\;\dots\rangle}\,=\,p^{\mu}\,\ensuremath{\vert p,\,\dots\rangle}\,\,;\qquad (\mu\,=\,1,\,2,\,3)$$ (2.9)

(... $\widehat{=}$ weitere, noch zu spezifizierende Quantenzahlen) und darauf Wirkung derjenigen $\Lambda\,=\,\overline{\Lambda}$, die $p$ invariant lassen:

$$\overline{\Lambda}\,\in\,{\cal{L}}^{\uparrow}_{+}\,:\qquad \overline{\Lambda}^{\mu}_{\,\,\,\nu}\,p^{\nu}\,=\,p^{\mu}$$ (2.10)

Bilden die sog. kleine Gruppe von p, Untergruppe von ${\cal{L}}^{\uparrow}_{+}$. Infinitesimal:

$$\overline{\Lambda}^{\mu}_{\,\,\,\nu}\,=\,\delta^{\mu}_{\,\,\,\nu}... ...ega^{2})\,\,,\qquad \overline{\omega}_{\nu\mu}\,=\,-\overline{\omega}_{\mu\nu}$$ (2.11)

$\Rightarrow$

$$\overline{\omega}_{\,\,\,\nu}^{\mu}\,p^{\nu}\,=\,0$$

Allgemeine in ( $\mu,\,\nu)$ antisymmetrische L”sung

$$\overline{\omega}_{\mu\nu}\,=\,\varepsilon_{\mu\nu\rho\sigma}\,n^{\rho}\,p^{\sigma}$$ (2.12)

$$n^{\rho}\,:=\,\, \,\, [n^{\rho}]\,=\,-1$$ (2.13)

Damit Darstellung $T$ der infinitesimalen $\overline{\Lambda}$:

$$T\,(\overline{\Lambda},\,0)\,=\,{\rm 1\!l}_{d}\,-\,\frac{i}{2}\, ... ...\,\varepsilon^{\rho\mu\nu\sigma}\, M_{\mu\nu}\,P_{\sigma}\right]_{P\to p}\,\,,$$ (2.14)

d. h. $W^{\mu}$ = Generatoren der kleinen Gruppe:

$$\shadowbox{ $T\,(\overline{\Lambda},\,0)\,\ensuremath{\vert p,\,... ...math{\mathrm{i}}\,n_{\mu}\,W^{\mu}}\,\ensuremath{\vert p,\,\dots\rangle}$}\,\,.$$ (2.15)

(4 Parameter $n_{\mu}$ reduzieren sich effektiv auf 3, da in (2.12) nur der zu $p$ transversale Anteil, $n_{\bot}^{\,\,\,\rho}\,=\,( \eta_{\,\,\,\sigma}^{\rho}\,-\, \frac{p^{\rho}\,p_{\sigma}}{p^{2}})\,n^{\sigma}$, beitr„gt. Alternative Betrachtung: nach (2.4) $p_{\mu}\,W^{\mu}\,=\,0$ bei Wirkung auf $p$-Unterraum, d. h. 3 von den $W^{\mu}$ linear unabh„ngig).          Genaue Struktur der kleinen Gruppen verschieden f�r F„lle $p^{2}\,>\,0$ (Abschnitt 4) und $p^{2}\,=\,0$ (Abschnitt 5). F�r ersteren Fall: Eigenwerte von $W^{2}$ bei $p^{2}\,>\,0$: sei

$$\shadowbox{$ P^{2}\,\ensuremath{\vert p,\,\dots\rangle}\,=\,m^{2... ...\dots\rangle}\,\,,\quad m^{2}\,\equiv\,p^{\mu}\,p_{\mu}\,>\,0,\,m\,>\,0$}\,\,.$$ (2.16)

Da $W^{2}$ Casimir-Operator, k”nnen seine Eigenwerte durch Anwendung auf besonders einfache Zustands-Prototypen ermittelt werden; gelten dann f�r einen ganzen irreduziblen Darstellungsraum. F�r $m^{2}\,>\,0$ Prototyp ,,Ruhesystem``-Zustand mit

$$\vec{p}\,=\,\vec{0}\,\,, \quad \{p^{\mu}\}\,=\,\{p_{\nu}\}\,=\,\{m,\,0,\,0,\,0\}$$ (2.17)

Jedes $\ensuremath{\vert p,\,\dots\rangle}$ im Unterraum (2.16) kann durch geeigneten Boost $(L_{\vec{p}})^{-1}$ aus ${\cal{L}}^{\uparrow}_{+}$ (genaue Gestalt von $L_{\vec{p}}$ siehe (4.8) unten) auf diese Form transformiert werden. Dort nach (1.55)

$$W^{\mu}\,\,\to\,\,\frac{1}{2}\,\varepsilon^{\mu\kappa\lambda 0}\... ...\\ \mbox{}\\ m\,J^{n} & (\mu\,=\,n\,=\,1,\,2,\,3) \end{array}\right.\,\,;$$ (2.18)

$$T\,(\overline{\Lambda},\,0)\,\,\to\,\ensuremath{\mathrm{e}}^{-\ensuremath{\mathrm{i}}\,\vec{\alpha}\,\cdot\,\vec{S}} \quad \vec{\alpha}\,=\,-m\vec{n}$$ (2.19)

und

$$\vec{S}\,=\,\frac{1}{m}\,\vec{W}\,\vert _{\vec{p}=0}\,=\, \vec{J}\,\vert _{\vec{p}=0}\,\,;$$ (2.20)

$$W^{2}\,=\,(W^{0})^{2}\,-\,\vec{W}^{2}\,\to\,-m^{2}\,\vec{S}^{\,2}\,\,.$$ (2.21)

Drehimpuls im Ruhesystem $\vec{S}\,=$ ,,Spin``. Da $S^{n}$ drehimpulsartige VR erf�llen, sind Eigenwerte von $\vec{S}^{\,2}$ bekannt; damit

$$\shadowbox{ $\displaystyle{ W^{2}\,\ensuremath{\vert p,\,\dots\... ...s\,(s\,+\,1)\,\,;\qquad s\,=\,0,\,\frac{1}{2},\,1,\,\frac{3}{2},\,2,\,\dots}$}$$ (2.22)

$\Rightarrow$ Irreduz. ${\cal{P}}^{\uparrow}_{+}$-Darstellungsraum charakterisiert durch Eigenwertpaar

$$\{m^{2},\,s\,(s\,+\,1)\}$$ (2.23)

von Massen- und Spinquadrat (sowie, genau genommen, durch sgn $p^{0}$ = sgn $m$, wobei physikalisch nur sgn $m\,>\,0$ auftretend!). Beachte: Masse und Spin in nichtrelativist. Hamiltonoperator nur als Parameter auftretend, in relativist. Theorie jedoch als Eigenwerte selbstadj. Operatoren zu geeigneten Observablen definierbar.