Pendel

Vom harmonischen zum chaotischen Pendel

Das mathematische Pendel, eine Idealisierung des realen Pendels, wird als grundlegendes Modell zum Verständnis von Pendelschwingungen verwendet. Charakteristisch für diese Art von Pendel ist, dass keine Reibung herrscht und die gesamte Masse in einem einzigen Punkt konzentriert ist. Bemerkenswert ist, dass die Schwingungsfrequenz eines mathematischen Pendels nur abhängig ist von der Länge l des Pendels, nicht aber von der anfänglichen Auslenkung oder der angehängten Masse. Die Schwingung ist harmonisch.
Reale Pendel verhalten sich in Wirklichkeit nichtlinear, da sie größere Auslenkungen erfahren. Sie bewegen sich auch nicht reibungsfrei, sodass ihre Amplitude exponentiell mit der Zeit abnimmt (unharmonische Schwingung).

Zweiarmpendel

Das Zweiarmpendel veranschaulicht die Bewegung von zwei gekoppelten Körpern, wie zum Beispiel die Bewegung von zwei kugelförmigen astronomischen Objekten. Unter dem zugehörigen Zweikörperproblem versteht man u.a. die Aufgabe, die Bewegung zweier Himmelskörper genau zu berechnen, wenn sich diese zwei Körper nur durch die Newtonsche Gravitation gegenseitig beeinflussen. Der Großteil der Beschreibung im Bereich der Planeten geht auf Johannes Kepler zurück. Als mögliche (Kepler-)Bahnen kommen Kreise, Ellipsen, Parabeln und Hyperbeln in Frage. Bei Kreisen und Ellipsen sind die Körper aneinander gebunden wie die Planeten an die Sonne. Ist die Bahnform parabolisch oder hyperbolisch, so findet nur eine Begegnung statt. Die Position eines jeden Himmelskörpers ist berechenbar, wenn außer ihm und der Sonne keine weiteren Körper wirksam sind - dies ist allerdings nur eine Idealisierung der Realität und stellt eine Näherung dar. Die genaue Bewegung des Doppelpendels ist im Gegensatz zur Bewegung zweier gekoppelter Körper chaotisch und kann nicht berechnet werden.

Dreiarmpendel

Zum Dreikörperproblem wird die Aufgabe der Bahnberechnung in der Astronomie, wenn die Gravitation eines dritten Körpers berücksichtigt werden soll. Dies wird am "Chaotischen Pendel" durch einen weiteren Arm am Doppelpendel symbolisiert. Die Bewegung dieses Pendels kann ebenfalls nicht exakt vorhergesagt werden, sondern nur genähert werden - es handelt sich um eine chaotische Bewegung.  Das heißt obwohl wir die im System wirkenden Kräfte kennen und mathematisch beschreiben können, kann das zeitliche Verhalten des Pendels nicht vorhergesagt werden. Dies liegt unter anderem daran, dass solche Systeme empfindlich von den Anfangsbedingungen abhängen - wenn man in der Realität versucht zweimal das gleiche Experiment zu starten, ist dies aufgrund unvermeidbarer Messfehler kaum möglich und führt somit bei scheinbar gleichen Bedingungen zu unterschiedlichen Ergebnissen. Dies nennt man in der Chaosforschung als deterministisches Chaos.

Sandpendel

Der schwere Pendelkörper in der Form eines Lots ist bei diesem Experiment an einer langen Schnur befestigt. Diese hat eine ganz besondere Aufhängung: Sie ermöglicht nicht nur das Schwingen des Pendelkörpers in eine Richtung, sondern auch in eine Richtung senkrecht dazu.
Durch einen Stoß wird das Pendel in Bewegung versetzt, es schwingt zunächst ovalförmig und zeichnet dabei Spuren in den Sand. Nach einiger Zeit dreht sich die Schwingungsrichtung und man erkennt Streifen, die die vorherigen schräg durchkreuzen. Das gezeichnete Oval wird immer kleiner, so dass nach und nach ein komplexes Muster entsteht.
Der französische Physiker Jules Antoine Lissajous beschrieb im Jahr 1855 eine Methode zur Darstellung derartiger Schwingungen, für die er 1873 von der Académie des Sciences mit dem Lacaze-Preis ausgezeichnet wurde.

„Störe meine Kreise nicht!“
Nach römischer Überlieferung raunte Archimedes diese letzten Worte dem römischen Soldaten zu, der ihn bei der Eroberung von Syrakus in einem stillen Garten entdeckte und erstach. Archimedes grübelte über geometrische Figuren, die er in den Sand gezeichnet hatte.