Die Mengenlehre untersucht die Theorie der Unendlichkeit. Es werden grundlegende Fragen betrachtet und analyisiert, wie zum Beispiel "Wie viele reelle Zahlen gibt es?" oder " Sind alle einfach definierbaren (z.B. projektiven) Mengen von reellen Zahlen Lebesgue messbar?".  Die Standard Axiome der Mengenlehre (ZFC, das Zermelo-Fraenkel Axiomensystem mit dem Auswahlaxiom) zeichnen nur ein unvollständiges Bild: Es gibt mindestens \(\aleph_1\)-viele relle Zaheln (mehr als \(\aleph_0\), die kleinste Unendlichkeit) und alle stetigen Bilder von Borel Mengen sind Lebesgue messbar. Darüber hinaus bleiben viele weitere Fragen unbeantwortet. Mengentheoretiker haben verschiedene natürliche Erweiterungen von ZFC entwickelt, die einige dieser Fragen aufklären.

Unsere Arbeitsgruppe hier in Münster fokussiert sich auf verschiedene Themengebiete in der Mengenlehre, darunter sind große Kardinalzahlen, Innere Modelle und Forcing, sowie unendliche Kombinatorik und deskriptive Mengenlehre.

Große Kardinalzahl Axiome postulieren die Existenz von besonders transzendenten Sorten von unendlichen Mengen (z.B. unerreichbare Kardinalzahlen lassen sich nicht mittels Standard Operationen auf Mengen, wie der Potenzmenge, "von unten erreichen"). Diese Axiome klären nicht die erste Frage oben, aber mittelstarke Instanzen beantworten die Zweite positiv.

Die Innere Modell Theorie, ein Teilgebiet der Mengenlehre, beschäftigt sich mit der Konstruktion und Untersuchung kanonischer innere Modelle der Mengenlehre mit großen Kardinalzahlen (diese sind Teil-Universen des Universums aller Mengen). Daraus resultiert mit das beste Verständnis großer Kardinalzahl Axiome, das wir haben. Mithilfe der Inneren Modell Theorie können häufig auch untere Schranken für die Konstistenzstärke kombinatorischer Prinzipien im Sinne von großen Kardinalzahlen angegeben werden. Diese Vorgehensweise geht auf Gödel und seinen Beweis der relativen Konsistenz der verallgemeinertern Kontinuumshypothese zurück.

Forcing ist eine Methode das Mengenuniversum zu erweitern, analog zur Körpererweiterung in der Algebra zum Beispiel. Es ist eine grundlegende Technik für relative Konstistenzbeweise in der Megenlehre. Forcing Axiome breschreiben ein reichhaltiges Mengenuniversum, eines, das ungefähr so aussieht als wäre schon viel forcing passiert. Die gängigen forcing Axiome klären die erste Frage auf und zwar mit einer erstaunlichen Antwort: Es kann aus ihnen gefolgert werden, dass es genau \(\aleph_2\)-viele reelle Zahlen gibt (im Widerspruch zu der Kontinuumshypothese).

Das Ziel der Deskriptive Mengenlehre ist es, die Teilmengen der reellen Zahlen mittels einer Analyse deren (relativer) Komplexität zu verstehen. Determiniertheits Axiome postulieren, dass bestimmte Spiele mit zwei Spielern und perfekter Information determiniert sind, also, dass einer der SpielerInnen eine Gewinnstrategie besitzt. Diese Axiome führen zu einer reichhaltigen Theorie der Mengen von reellen Zahlen, aber stehen auch im Widerspruch zu dem Auswahlaxiom.

Diese scheinbar grundverschiedenen Axiomensysteme und Prinzipien, sowie noch viele andere, stehen tatsächlich in einer engen Beziehung zueinander, die die Mengenlehre versucht tiefer zu verstehen.