Ringvorlesung 2019: Michael Joachim: Algebraische Strukturen in der Geometrie: Kobordismustheorie.
Wednesday, 19.06.2019 16:15 im Raum M2
Mannigfaltigkeiten sind topologische R\"aume, die lokal aussehen wie der
$\mathbb{R}^n$. Die Zahl $n$ hei{\ss}t in diesem Fall dann die Dimension
der Mannigfaltigkeit. Typische Beispiele sind etwa die Einheitssph\"are
in $\mathbb{R}^n$, oder der Torus, und insbesondere auch der Raum
$\mathbb{R}^n$ selbst. Mannigfaltigkeiten hei{\ss}en glatt, wenn wir sie
uns "ohne Ecken" in einen euklidischen Raum veranschaulischen k/"onnen.
Zwei kompakte glatte $n$-dimensionale Mannigfaltigkeiten $M_1$ und $M_2$
hei{\ss}en bordant, falls eine kompakte glatte $n+1$-dimensionale
Mannigfaltigkeit $W$ mit Rand existiert, deren Rand die disjunkte
Vereinigung von $M_1$ und $M_2$ ist. Dies liefert eine
\"Aquivalenzrelation f\"ur glatte, geschlossene Mannigfaltigkeiten, und
viele Invarianten von solchen Mannigfaltigkeiten h\"angen nur von der
zugeh\"origen Bordismusklasse ab. Die Menge der \"Aquivalenzrelationen
besitzt zudem, zun\"achst v\"ollig unerwartet, eine erstaunlich reiche
algebraische Struktur: sie ist ein Polynomring! Ren\'{e} Thom, der dies
als erster erkannte und bewies, erhielt daf\"ur 1958 die Fieldsmedaille.
Desweiteren f\"uhrt die Bordismusrelation aber auch zur Definition einer
ganzen Reihe von sogenannten verallgemeinerten Kohomologietheorien, die
in vielen Aspekten der algebraischen Topologie und angrenzenden Gebieten
Anwendung finden und auch heute noch Gegenstand einer Vielzahl von
aktuellen Forschungsarbeiten sind.
Angelegt am 21.12.2018 von Elke Enning
Geändert am 19.06.2019 von Elke Enning
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