Die Spektraltheorie des konformen Laplace Operators auf einer kompakten Fläche ist eng verknüpft mit der unterliegenden Geometrie. Z.B. lassen sich der Integralsatz von Gauß-Bonnet oder der Uniformisierungssatz kohärent durch Analyse der Wärmeleitungsgleichung des Laplace Operators beweisen. In einer spektakulären Arbeit haben Connes und Moscovici diese Resultate auf die konforme Geometrie des nichtkommutativen Torus übertragen. Dabei treten in den Invarianten der Wärmeleitungsgleichung grundsätzlich neue Phänomene auf, die klassisch keine Entsprechung haben. In meinem Vortrag, der sich an ein allgemeines Publikum richtet, werde ich einerseits über die o.g. Arbeit berichten und auch auf laufende Projekte hierzu eingehen.