Teaching winter term 2023/24
Commutative Algebra
Colloquium of Pure and Applied Mathematics
Colloquium of Pure and Applied Mathematics
Mittagsseminar "Arithmetic"
Time: Tuesday, 10 - 12 h
Place: SRZ 216/217
Learnweb-Link:
A list of the talks can be found here.
Research seminar "p-adic arithmetic"
Research Seminar "p-adic arithmetic"
Time: Monday, 12- 14 h
Place: SRZ 216/217
Topic: Higher Siegel-Weil formula for unitary groups: the non-singular terms
A list of the talks can be found here.
Teaching winter term 2022/23
Seminar über arithmetische Geometrie - Seminar on classical and solid locally analytic representations
In this seminar we will study the classical theory, as well as a condensed development, of lo-cally analytic representations. Locally analytic representations of p-adic Lie groups play vital roles for the p-adic Langlands correspondence and its applications. Schneider and Teitelbaum laid both the functional analytic and algebraic foundations for the theory of locally analytic representations in a series of works (e.g., [4, 5]). However, certain inconveniences still remain in the classical theory (for example when considering cohomologies). Condensed mathematics of Scholze and Clausen provides a new approach to deal with vector spaces, algebras, and modules that carry a topology, which particularly include those in the theory of locally analytic representations. Us-ing condensed mathematics, Rodrigues Jacinto and Rodríguez Camargo rebuilt the foundations of locally analytic representation theory in [2].
The first half of this seminar will focus on the classical aspects. Then we will follow [2] to step in the new (and derived) condensed world.Programm: here
Teaching seminar: Quadratic forms and the theorem of Hasse-Minkowski
Das Grundlegende Problem der algebraischen Zahlentheorie ist es zu verstehen, welche Polynomgleichungen Über den ganzen oder den rationalen Zahlen ganzzahlige (oder rationale) Nullstellen haben. Im Allgemeinen ist diese Frage nicht zu beantworten. Wir werden uns in diesem Seminar aber einer speziellen Klasse von Gleichungen widmen, sogenannten quadratischen Formen, für die es eine sehr schöne geschlossene Antwort gibt, die einen der ersten wichtigen und schönen Sätze der algebraischen Zahlentheorie darstellt.Ziel ist es, das sogenannte Hasse Prinzip für quadratische Formen und die Klassifikation quadratischer Formen über Q zu verstehen. Eine quadratische Form über Q ist beispielsweise ein Ausdruck der Form
A x^2 + b y^2 + cz^2 + d xy +e xz + f yz
Mit rationalen Zahlen alb,c,d,e,f und Unbekannten x,y,z.Über den reellen Zahlen ist es leicht zu entscheiden ob eine solche quadratische Form eine (nicht-triviale) Nullstelle hat. Uber den rationalen Zahlen ist dies sehr viel schwieriger. Wir werden ein sogenanntes lokal-global Prinzip fü quadratische Formen beweisen. Dazu betrachten wir nicht nur die reellen Zahlen sondern auch die Vervollständigungen von Q an den sogenannten p-adischen Absolutbeträgen, wobei p eine beliebige Primzahl ist.
Dies führt zum Begriff des Körpers der p-adischen Zahlen Qp. Wieder stellt es sich heraus, dass es einfacher ist zu beantworten, wann eine quadratische Form q eine nicht-triviale Nullstelle in den p-adischen Zahlen hat. Das lokal-global Prinzip fu ̈r quadratische Formen (= Hasse-Prinzip = Satz von Hasse-Minkowski) besagt nun, dass einee quadratische Form q genau dann eine nicht- triviale Nullstelle in Q hat, wenn q eine nicht-triviale Nullstelle in R und in den Ko ̈rpern Qp fu ̈r jede Primzahl p hat.
Mittagsseminar "Arithmetic"
A list of the talks can be found coming here.
Research seminar "p-adic arithmetic"
Topic: Condensed Mathematics
Speakers: here.
Teaching summer term 2021
Lecture Course Linear Algebra II
Die Vorlesung ist eine Fortsetzung der Linearen Algebra I aus dem vergangenen Wintersemester. Wir werden unser Studium von linearen Strukturen (Vektorräumen und linearen Abbildungen) vertiefen. Dabei beschäftigen wir uns mit Eigenwerten, Eigenräumen und der Klassifikation von Endomorphismen endlich dimensionaler Vektorräume; sowie mit euklidischen und unitären Vektorräumen und mit Bilinearformen.
Learnweb-Link:
https://sso.uni-muenster.de/LearnWeb/learnweb2/course/view.php?id=52841
Literature:
- S. Bosch: Lineare Algebra, Springer Spektrum, 5. Auflage, 2014, elektronisch verfügbar.
- G. Fischer: Lineare Algebra - Eine Einführung für Studienanfänger, Springer Spektrum, 18. Auflage, 2014, elektronisch verfügbar.
- Lorenz: Lineare Algebra II, Springer.
Oberseminar p-adic Arithmetic
Learnweb-Link: https://sso.uni-muenster.de/LearnWeb/learnweb2/course/view.php?id=52659
Topic: Classification of smooth mod-p representations
Speakers: here.
Mittagsseminar zur Arithmetik
LearnWeb-Link: https://sso.uni-muenster.de/LearnWeb/learnweb2/course/view.php?id=52970+
Speakers: here.
Teaching winter term 2020/21
Vorlesung Lineare Algebra I
Die Vorlesung "Lineare Algebra I" behandelt die Theorie der linearen Gleichungen und die zugrunde liegenden mathematischen Strukturen. Sie hat Anwendungen in ausnahmslos allen Teilgebieten der Mathematik und ist eine wichtige Grundlage für fast alle weiteren Vorlesungen. Zentrale Themen sind: Körper, lineare Gleichungssysteme, Vektorräume und lineare Abbildungen, lineare Abhängigkeit, Basen, Dimensionsformeln, Matrizen, Determinanten. Außerdem dient die Vorlesung auch der Einübung in die begriffliche Denkweise der Mathematik.
Literatur:
- S. Bosch: Lineare Algebra, Springer Spektrum, 5. Auflage, 2014, elektronisch verfügbar.
- G. Fischer: Lineare Algebra - Eine Einführung für Studienanfänger, Springer Spektrum, 18. Auflage, 2014, elektronisch verfügbar.Link zum Learnweb-Kurs:
https://sso.uni-muenster.de/LearnWeb/learnweb2/course/view.php?id=47150
kein Einschreibeschlüssel notwendig
Übungen:
Der Übungsbetrieb startet in der zweiten Semesterwoche. Es wird (bis auf Widerruf) Übungsgruppen in Präsenz geben, aber auch einige Übungsgruppen, die per Zoom stattfinden. Näheres entnehmen Sie dem LearnWeb.
Vorlesung Arithmetische Algebraische Geometrie
Die Vorlesung soll eine Einführung in einige aktuelle Entwicklungen im Rahmen des Langlands-Programms geben. Weitere Details werden kurz vor Semesterbeginn bekannt gegeben.
Voraussetzungen:
Gute Kenntnisse in Algebraischer Geometrie und Algebraischer Zahlentheorie. Vorkenntnisse über glatter Darstellungstheorie, rigide Geometrie/adische Räume und p-adische Hodge-Theorie sind hilfreich.Link LearnWeb:
https://sso.uni-muenster.de/LearnWeb/learnweb2/course/view.php?id=48650
Begleitseminar zur Doktorandenvorlesung über Arithmetische Algebraische Geometrie
Innerhalb dieses Seminars sollen einige Themen aus der Vorlesung vertieft, Beispiele diskutiert und falls nötig/gewünscht Hintergrundwissen besprochen werden.
Zeit und Ort:
Dienstag, 12 - 14 h, M5
Link LearnWeb:
https://sso.uni-muenster.de/LearnWeb/learnweb2/course/view.php?id=48651
Teaching winter term 2019/20
Vorlesung: Modulräume elliptischer Kurven
In dieser Vorlesung sollen Modulräume von elliptischen Kurven, die zu den grundlegenden Objekten der arithmetischen Geometrie zählen, eingeführt und studiert werden.
Wir beginnen mit dem Studium von elliptischen Kurven und diskutieren anschließend die Darstellbarkeit des Funktors von Isomorphieklassen elliptischer Kurven mit Zusatzstruktur. Über den komplexen Zahlen kann dieser Funktor durch Quotienten der oberen Halbebene beschrieben werden. Wir interessieren uns aber insbesondere auch für Modelle über den rationalen bzw. den ganzen Zahlen; und die Reduktion dieser Räume modulo einer gegebenen Primzahl.
Voraussetzungen:
Inhalte der Vorlesungen Algebraische Geometrie I + II.
Literatur:
- P. Deligne, M. Rapoport: Les Schemas de modules de courbes elliptiques, in Modular functions of one variable, II, Lecture Notes in Math. 349, Springer
- N. Katz, B. Mazur: Arithmetik moduli of elliptic curves, Annals of Math Studies 108, Princeton University Press
Übungen: Zu dieser Vorlesung gibt es keine Übungen.
Seminar zur Algebraischen Geometrie: Étale Kohomologie
Étale Kohomologie übernimmt in der algebraischen Geometrie die Rolle der singulären Kohomologie in der Topologie.
Da die Zariski-Topologie auf einer algebraischen Varietät extrem grob ist (z.B. sind alle algebraischen Kurven über einem unendlichen Körper homöomorph) liefert die Garbenkohomologie von konstanten Garben keine guten Ergebnisse und wir müssen die Konstruktionen durch geometrische Informationen verfeinern.
Dies führt zur Definition von Grothendieck-Topologien (d.h. der Abstraktion einer Topologie, die es gerade noch erlaubt zu definieren, was eine Garbe ist) und insbesondere der étalen Topologie.
Ziel des Seminars ist es, diese Definitionen und Konstruktionen zu erlernen und die Kohomologie von algebraischen Kurven zu berechnen.
Voraussetzungen: Vorkenntnisse in Algebraischer Geometrie in etwa im Umfang der Vorlesungen aus dem WS 2018/19 und SS 2019
Teaching summer term 2019
Vorlesung: Algebraische Geometrie II
Aufbauend auf die in der algebraischen Geometrie I erarbeiteten Grundlagen werden wir das Studium der algebraischen Geometrie fortsetzen. Zu den Themen der Vorlesung gehören Garben-Kohomologie, Serre Dualität und Anwendungen der erlernten Techniken auf (Familien von) Kurven.
Voraussetzungen:
Algebraische Geometrie im Umfang der Vorlesung ‚Algebraische Geometrie I‘ aus dem vergangenen Wintersemester.
Literatur:
- U. Görtz and T. Wedhorn. Algebraic geometry I. Advanced Lectures in Mathematics. Vieweg + Teubner, Wiesbaden, 2010. Schemes with examples and exercises.
- A. Grothendieck and J. A. Dieudonné. Eléments de géométrie algébrique. I. Le langage des schémas. Inst. Hautes Etudes Sci. Publ. Math., (4):228, 1960.
- R. Hartshorne. Algebraic geometry. Springer-Verlag, New York, 1977. Graduate Texts in Mathematics, No. 52.
- D. Mumford. The red book of varieties and schemes, volume 1358 of Lecture Notes in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 1988.
Seminar zur algebraischen Geometrie: Deformationstheorie und Liften von Kurven
In diesem Seminar werden wir uns mit der Frage beschäftigt, wie man ein gegebenes algebraisches oder geometrisches Objekt in eine "stetige Familie" ausdehnen kann. Diese Deformationstheorie ist heutzutage ein wichtiger Bestandteil der algebraischen und arithmetischen Geometrie.
Zu Beginn des Seminars werden wir uns ganz allgemein mit Deformationsfunktoren auf Artinringen beschäftigen. Diese bilden das lokale Analogon zu den (globalen) Funktoren der algebraischen Geometrie.
Das erste Ziel wird es sein, den Satz von Schlessinger zu beweisen. Dieser liefert uns Kriterien, wann ein Deformationsfunktor pro-darstellbar ist. In der Praxis sind die Schlessinger-Kriterien erfüllt, falls der Deformationsfunktor eine sogenannte Tangential-Obstruktionstheorie besitzt. Letztere Theorie macht auch Aussagen über die Struktur der Menge von Lifts eines vorgegebenen Objekts.
Im zweiten Teil des Seminars werden wir uns mit der Anwendung beschäftigen, warum sich glatte Kurven in Charakteristik p>0 zu glatten Kurven in Charakteristik 0 liften lassen. Dafür benötigen wir zum einen Garbenkohomologie, welche parallel in der Vorlesung "Algebraische Geometrie 2" behandelt wird, zum anderen die Theorie der formalen Schemata und deren Algebraisierung.
Voraussetzung: Kenntnisse einer algebraischen Geometrie Vorlesung im Umfang der Vorlesung, welche im Wintersemester 2018/19 angeboten wurde.
Teaching winter term 2018/2019
Vorlesung: Algebraische Geometrie
Die Vorlesung stellt den ersten Teil einer Einführung in die moderne Algebraische Geometrie dar.
Ziel ist es, die grundlegenden Objekte der Algebraischen Geometrie (Garben, Schemata und Varietäten) einzuführen und zu studieren.
Im Sommersemester wird sich ein zweiter Teil an die Vorlesung anschließen, in dem kohomologische Techniken studiert werden und auf das Studium von (Familien von) Kurven angewendet werden sollen.
Zeit und Ort:
Montags und Donnerstags, 14-16h, M6
Voraussetzungen:
Kenntnisse in kommutativer Algebra (im Umfang der Vorlesung aus dem WS 17/18, oder des Buches von Atiyah-Macdonald).
Literatur:
- U. Görtz and T. Wedhorn. Algebraic geometry I. Advanced Lectures in Mathematics. Vieweg + Teubner, Wiesbaden, 2010. Schemes with examples and
exercises. - A. Grothendieck and J. A. Dieudonné. Eléments de géométrie algébrique. I. Le langage des schémas. Inst. Hautes Etudes Sci. Publ. Math., (4):228, 1960.
- R. Hartshorne. Algebraic geometry. Springer-Verlag, New York, 1977. Graduate Texts in Mathematics, No. 52.
- D. Mumford. The red book of varieties and schemes, volume 1358 of Lecture Notes in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 1988.
Übungen:
Gruppe 1, Mi, 10-12h, Raum N3 (Danial Sanusi)
Gruppe2, Mi 16-18h, SR1C (Shanxiao Huang)
Abgabe der Übungszettel: donnerstags in der Vorlesung.
-
Seminar: Lokale Körper und ihre Galoisgruppen
Lokale Körper sind Objekte der algebraischen Zahlentheorie und entstehen auf natürlich Art und Weise durch Vervollständigen von Zahlkörpern an Absolutbeträgen.
Im ersten Teil des Seminars werden wir uns mit einigen Grundlagen der Arithmetik beschäftigen. Im zweiten Teil untersuchen wir die absolute Galoisgruppe eines lokalen Körpers sowie Darstellungen dieser Gruppe.
Vorkenntnisse:
Kommutative Algebra.
Vorbesprechung:
Donnerstag, 19.7.2018, 13.30 Uhr, Raum: SR 1A.
Zeit und Ort:
Mittwochs, 14-16 Uhr, Raum: SR 1CProgramm:
Literatur:- J. Neukirch, Algebraische Zahlentheorie, Springer
- J.-P. Serre, Local Fields, Springer
Teaching summer term 2018
Vorlesung: Lineare Algebraische Gruppen
In dieser Vorlesung soll die Theorie linearer algebraischer Gruppen über einem algebraisch abgeschlossenen Körper erarbeitet werden. Lineare algebraische Gruppen sind Untergruppen der GL_n, die sich als Nullstellenmenge von Polynomen definieren lassen, und umfassen alle ‚klassischen‘ Matrizen-Gruppen, wie etwa die orthogonale oder die symplektische Gruppe.
Ziel der Vorlesung ist die Klassifikation von reduktiven Gruppen.Literatur:
- A. Borel, Linear Algebraic Groups, Springer
- J.E. Humphreys, Linear Algebraic Groups, Springer
- T.A. Springer, Linear Algebraic Groups, Birkhäuser
Übungen:
Seminar über elliptische Kurven
Elliptische Kurven gehoren zum Schnittgebiet von algebraischer Geometrie und Zahlentheorie und sind faszinierende Objekte der modernen Mathematik. Man kann elliptische Kurven als Nullstellenmenge einer kubischen Gleichung
Y2 = X3 + aX + b
im projektiven Raum de nieren. Eine solche Kurve tragt die Struktur einer kommutativen, algebraischen Gruppe. In der Tat kann man elliptische Kurven aquivalent als glatte, projektive, eindimensionale, algebraische Gruppen (oder auch als glatte Kurven vom Geschlecht 1 mit einem ausgezeichneten Punkt) charakterisieren. Die arithmetische Theorie elliptischer Kurven ist sehr reichhaltig und ist, obwohl elliptische Kurven schon lange bekannt und viel untersucht worden sind, immer noch Gegenstand aktueller Forschung.
Im ersten Teil des Seminars werden wir uns mit algebraischen Varietaten befassen. Insbesondere soll das Riemann-Roch Theorem fur Kurven besprochen werden. Im zweiten Teil werden wir die Theorie elliptischer Kurven untersuchen. Ziel wird es sein, die Struktur der Torsionspunkte sowie die des Endomorphismenrings zu verstehen.
Literatur:
- R. Hartshorne, Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, Springer.
- J. H. Silverman, The Arithmetic of Elliptic Curves, Graduate Texts in Mathematics, Springer.Teaching winter term 2017/18
Vorlesung: Kommutative Algebra
Die Vorlesung ist eine Fortsetzung der Vorlesung 'Einführung in die Algbra' aus dem letzten Sommersemester.
Kommutative Algbra ist das grundlegende Fundament auf dem die moderne Algebraische Geometrie und Algebraische Zahlentheorie aufgebaut sind. In dieser Vorlesung werden wir diese Grundlagen systematisch erarbeiten.
Literatur:
M.F. Atiyah, I.G. MacDonald: Introduction to commutative Algebra.
D. Eisenbud: Commutative Algebra with a view towards Algebraic Geometry, Graduate Texts in Math. 150, Springer.
S. Lang: Algebra, Graduate Texts in Math. 211, Springer.
Seminar Cours d'arithmétique I
In diesem Seminar werden wir den ersten Teil von Serre's Buch Cours d'arithmétique lesen (von dem es auch eine Englische Übersetzung gibt). Diese Buch bildet einen perfekten Einstieg in die Zahlentheorie. Ziel ist es, das Hasseprinzip für quadratische Formen und die Klassifikation quadratischer Formen über Q zu verstehen.
Teaching summer term 2017
Vorlesung Einführung in die Algebra
Die Vorlesung gibt eine Einführung in die Grundlagen der Algebra. Dies umfasst im wesentlichen die Themen Gruppen, Ringe & Moduln und Körpertheorie.
Im ersten Teil der Vorlesung werden wir uns mit Gruppen, ihren Quotienten und mit Gruppenoperationen beschäftigen. Im folgenden werden Ringe und Moduln über Ringen (der analoge Begriff zu Vektorräumen über Körpern) studiert. Dabei werden wir uns insbesondere mit dem Fall von Hauptidealringen (als den Ringen, die nach Körpern die einfachste mögliche algebraische Struktur haben) befassen. Im letzten Teil der Vorlesung widmen wir uns dem systematischen Studium von Körpererweiterungen. Den Abschluß bildet dabei der Hauptsatz der Galoistheorie.
Literatur:
M. Artin: Algebra, Birkhäuser.
S. Bosch: Algebra, Springer.
S. Lang: Algebra, Graduate Texts in Math. 211, Springer.
Teaching Winter term 2016/17
Vorlesung: Deformationstheorie und Deformationen von Galois Darstellungen
Inhalt: allgemeine Begriffe und Methoden der Deformationstheorie, Schlessinger Kriterien, Tangential-Obstruktions-Theorien, Deformationen von Darstellungen pro-endlicher Gruppen, Galoiskohomologie.
Literatur:
B. Fantechi, L. Göttsche, Elementary Deformation Theory, in Fundamental Algebraic Geometry - Grothendieck's FGA explained, Math. Surveys and Monographs 123, AMS, 2005.
A. Grothendieck, Technique de descente et theoremes d'existence en geometrie algebriques. II. Le theoreme d'existence en theorie formelle des modules, Seminaire Bourbaki 1958-1960, exp. no. 195, pp. 369-390, 1960.
B. Mazur, Deforming Galois Representations, in Galois groups over Q, Math. Sci. Res. Inst. Publ. 16, pp. 385-437, 1987.
B. Mazur, An introduction to the deformation theory of Galois representations, in Modular Forms and Fermats Last Theorem, pp. 243-311, Springer, 1997.
M. Schlessinger, Functor on Artin rings, Transactions of the AMS 130 no. 2, pp. 208-222, 1968.
Seminar: Dieudonne-Theorie
Teaching 2011-2016