Bachelorseminar:

Optimierung und Variationsmethoden in der Bildverarbeitung und den Naturwissenschaften

WS 2017/18

Dozent:   Prof. Dr. Benedikt Wirth

Informationen zum Seminar

Zeit, Ort: Do. 12:00-14:00, SRZ 117
Beginn: tba
Inhalt: Viele Probleme aus Anwendungen lassen sich als Variationsproblem bzw. Optimierungsproblem formulieren. Häufig treten dabei auch partielle Differentialgleichungen als Nebenbedingung auf, z. B. bei der optimalen Steuerung von biologischen/chemischen/physikalischen/ökonomischen Prozessen, bei dem Design von optimalen Bauteilen für Ingenieuranwendungen, bei inversen Problemen der Medizin und Biologie oder auch bei der Beschreibung des Verhaltens bestimmter Materialien wie z. B. während plastischer Verformung. Wir werden uns mit der Analysis socher Probleme und ihrer numerischen Behandlung befassen, sowie mit allgemeinen Optimierungsmethoden für diesen Kontext.
Voraussetzungen:  Analysis I-III, partielle Differentialgleichungen und/oder mathematische Modellierung und/oder Numerik partieller Differentialgleichungen. Vorkenntnisse in Optimierung können hilfreich sein, sind aber nicht notwendig.
Vorbesprechung: Do., 20.7.2017, 11:00-12:00, Raum 120.029/030 Angewandte Mathematik
Leistungsnachweis: 45- bis 60-minütiger Seminarvortrag und didaktisch aufbereitete Ausarbeitung (ca. 10-seitiges Handout)
Vortrags-Themen:  Wir werden nach dem Buch „Absil, Mahony, Sepulchre: Optimization Algorithms on Matrix Manifolds“ vorgehen (dieses ist online verfügbar und wird ebenfalls in unserer Bibliothek im Semesterapparat stehen). Das Buch führt ein in ein recht neues Thema der Optimierung, nämlich Optimierung auf Mannigfaltigkeiten. Als Beispiele betrachtet es Probleme der numerischen linearen Algebra, daher ist es sowohl für ein Bachelor- wie auch ein Masterseminar didaktisch sinnvoll. Zusätzlich zum Buch werden wir einige Forschungsartikel besprechen.

Zur Motivation des Themas sind alle Seminarteilnehmer angehalten, die Einleitungs-/Motivationskapitel 1-2 eigenständig zu lesen. Vorkenntnisse in der Optimierung oder Differentialgeometrie sind nicht nötig; im Seminar werden alle nötigen Werkzeuge bereitgestellt. Wenn Sie bereits Vorkenntnisse in Differentialgeometrie besitzen, sollten Sie am besten für Ihren Vortrag nicht die einleitenden Themen wählen.

Folgende Seminarthemen werden vergeben:
  1. Benötigte Grundlagen zu Mannigfaltigkeiten (eine Art Crash-Kurs in der benötigten Differentialgeometrie).
    Buch Kap. 3.1-3.5 (S. 17-44)
  2. Einführung in die für Optimierungsanwendungen wichtige Riemannsche Geometrie (Crash-Kurs in Riemannscher Geometrie).
    Buch Kap. 3.6 und 5.1-5.3 (S. 45-50 und 91-109)
  3. Linesearch-Methoden auf Riemannschen Mannigfaltigkeiten.
    Buch Kap. 4.1-4.6 (S. 54-79)
  4. Newton(-artige) Verfahren auf Riemannschen Mannigfaltigkeiten.
    Buch Kap. 6.1-6.3 und 8.1-8.2 (S. 111-117 und 168-179); zusätzlich je nach Vorliebe entweder Kap. 6.4-6.5 oder 8.3-8.4 (S. 118-130 oder 180-187)
  5. Trust-Region-Methoden.
    Buch Kap. 7 (S. 136-1165)
  6. Anwendung auf Matrix-Vervollständigung.
    „Low-rank matrix completion by Riemannian optimization“
  7. Stochastische Effektivitätsaussagen zur Matrix-Vervollständigung.
    „Guarantees of Riemannian Optimization for Low Rank Matrix Completion“
  8. Mittelung von Diffusionstensoren mittels Riemannscher Optimierung.
    „A Riemannian quasi-Newton method for computing the Karcher mean of symmetric positive definite matrices“
  9. Untersuchung von Konvergenzraten für Riemannsche Optimierung.
    „Global rates of convergence for nonconvex opitmization on manifolds“
  10. 2D-Konturen/shapes als Riemannsche Objekte.
    „Riemannian Optimization for Registration of Curves in Elastic Shape Analysis“
  11. Interpolation von Shapes mittels Riemannscher Optimierung
    „Differentiable piecewise-Bezier surfaces on Riemannian manifolds“
  12. Bildrestauration mittels Riemannscher Optimierung.
    „A second order non-smooth variational model for restoring manifold-valued images“
Wenn Sie am Seminar teilnehmen möchten, tragen Sie bitte bis zum 20.8.2017 bis zu drei Präferenzen unter dieser Umfrage ein. Gibt es zu viele Anwärter für ein Thema oder haben Sie Spezialwünsche, können noch ähnliche/weitere Artikel gefunden werden (bei der Themenvergabe wird auch berücksichtigt, wer sich zuerst für ein Thema interessiert hat).
Vortragsübersicht: