Vorlesung

Liegruppen

Wintersemester 2018/19

Zur Vorlesung Liegruppen
Eine Liegruppe ist eine Gruppe, die gleichzeitig die Struktur einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit trägt. Die Gruppenmultiplikation und Inversion sollen bezüglich dieser differenzierbaren Struktur glatte Abbildungen sein. Beispiele dafür sind Matrizengruppen wie die aus der linearen Algebra bekannten Gruppen GL(n,R), SL(n,R) oder die orthogonale Gruppe O(n). In der Vorlesung beschäftigen wir uns zunächst mit naheliegenden Konstruktionen wie Homomorphismen, Untergruppen, Quotienten und Überlagerungen.
Ein wichtiges Hilfsmittel ist der Lie-Funktor, der jeder Liegruppe G ihre sogenannte Liealgebra Lie(G) zuordnet. Die Liealgebra kodiert eine infinitesimale Version der Liegruppe. Sie ist Methoden der linearen Algebra zugänglich und erlaubt es, viele Fragen über Liegruppen auf lineare Abbildungen zurückzuführen. Dementsprechend werden wir uns mit der Strukturtheorie der endlichdimensionalen reellen und komplexen Liealgebren beschäftigen. Am Ende der Vorlesung werden wir uns mit der Struktur und Klassifikation der halbeinfachen Liealgebren und Liegruppen beschäftigen.
Liegruppen sind in vielen Bereichen der Mathematik und Physik wichtig. Sie tauchen fast unvermeidlich auf, wenn man in der Geometrie oder Analysis Fragestellungen betrachtet, die Invarianz unter Symmetrien aufweisen.

Zielgruppe der Vorlesung sind Studentinnen und Studenten im Masterstudium Mathematik oder Physik. Die Anrechenbarkeit können Sie direkt mit mir besprechen. Das Thema eignet sich als Einstieg in eine Masterarbeit. Abgesehen davon bietet es aber auch eine gute Grundlage für Arbeiten in anderen Gebieten.

Voraussetzungen sind Interesse und sichere Kenntnisse der Analysis und Algebra sowie des Stoffes der Vorlesung Grundlagen der Analysis, Topologie und Geometrie. Sie sollten idealerweise auch den Begriff einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit kennen. Diesen Punkt werden wir am Anfang der Vorlesung aber auch durchnehmen.

Die Vorlesung findet Montags und Donnerstag 8:25 - 10:00 Uhr im M5 statt. Sie beginnt am Montag 8.10.2018 um 8:15 Uhr.

Begleitend zur Vorlesung finden Übungen statt. Die regelmässige und aktive Teilnahme an den Übungen ist ganz wesentlich. Abgabe Donnerstags vor der Vorlesung im Briefkasten 15. Die Übungen finden ab mittwochs um 10:15 Uhr im M5 statt.

Literatur (diese und weitere Bücher zur Vorlesung finden Sie in der Bibliothek):

Adams, Lectures on Lie groups
Bourbaki, Lie groups and Lie algebras, 1-3
Dugundji, Topology
Helgason, Differentiable manifolds, Lie groups, and symmetric spaces
Hewitt, Ross, Abstract harmonic analysis I
Hilgert, Neeb, Structure and geometry of Lie groups
Hochschild, The structure of Lie groups
Hofmann, Morris, The structure of compact groups
Hofmann, Morris, The Lie theory of connected pro-Lie groups
Serre, Lie algebras and Lie groups
Stroppel, Locally compact groups
Warner, Foundations of differentiable manifolds and Lie groups

Übungsblätter:

Übungsblatt	Abgabe am
Blatt 1	18.10.2018	Lösungshinweise
Blatt 2	25.10.2018	Lösungshinweise
Blatt 3	31.10.2018	Lösungshinweise
Blatt 4	8.11.2018	Lösungshinweise
Blatt 5	15.11.2018	Lösungshinweise
Blatt 6	22.11.2018	Lösungshinweise
Blatt 7	29.11.2018	Lösungshinweise
Blatt 8	06.12.2018	Lösungshinweise
Blatt 9	13.12.2018	Lösungshinweise
Blatt 10	20.12.2018	Lösungshinweise
Blatt 11	17.1.2019	Lösungshinweise

Vorlesungsnotizen:

Zur Nachbereitung der Vorlesung können Sie hier meine eigenen handschriftlichen Notizen einsehen. Es handelt sich dabei aber nicht um ein Vorlesungsskript. Für Hinweise auf Fehler bin ich dankbar.

Weiter entsteht zur Thematik der Vorlesung ein Manuskript. Auch hier bin ich dankbar für Hinweise.