Einleitung

Die Problemstellung

In der vorliegenden Arbeit beschäftigen wir uns mit einer Fragestellung, die in einem von W. Pohlers entwickelten Zweig der imprädikativen Beweistheorie auftritt, nämlich mit der Konstruktion von totalen Kollabierungsfunktionen.

Diese spielen bei der beweistheoretischen Analyse von Mengensystemen, Teilsystemen der Zahlentheorie der zweiten Stufe bzw. Theorien induktiver Definitionen mit dem von W. Pohlers entwickelten Schnitteliminationsverfahren der lokalen Prädikativität eine zentrale Rolle. Denn ist es gelungen, zu einem vorgegebenen imprädikativen System S das zugehörige Ordinalzahlbezeichnungssystem OT (S) zu konstruieren und hat man auf OT (S) totale Kollabierungsfunktionen definiert, die eine für S spezifische Kollabierungsaxiomatik erfüllen, so liefert das Pohlerssche Verfahren, zumindest in den bisher bekannten Fällen, eine durchsichtige beweistheoretische Analyse von S.

Dieser Sachverhalt wird in [Pohlers 1989b] umfassend dargestellt. Hier findet man ferner eine ausführliche Einführung in die Thematik der Kollabierungsfunktionen, die an dieser Stelle nicht wiederholt werden soll. Wir wollen hier auch nicht erläutern, wie man zu einem vorgegebenen formalen System S das charakteristische Ordinalzahlbezeichnungssystem OT (S) entwickelt, da dies nicht der Gegenstand unserer Untersuchung ist. Trotzdem wollen wir betonen, daß mit der Konstruktion von OT (S) der wohl wichtigste Teil der beweistheoretischen Analyse von S erbracht ist. Ist aber erst einmal OT (S) konstruiert, so besteht die verbleibende Aufgabe darin, nachzuweisen, daß OT (S) eine Ordinalzahlanalyse von S ermöglicht. Dies ist leider nicht so einfach, wie man es sich wünschen könnte. Insbesondere benötigt man für die Anwendung des Pohlersschen Verfahrens die zu OT (S) gehörenden Kollabierungsfunktionen.

Mit unserer Arbeit wollen wir diesem technischen Problem zu Leibe rücken. Dies erscheint uns eine wichtige Aufgabe zu sein, da die bislang in der Literatur zu findenden Darstellungen über Kollabierungsfunktionen (siehe [Buchholz, Schütte 1983] oder [Pohlers 1981]) wohl technisch nachvollziehbar sind, aber kaum verstandesmäßig durchdrungen werden können. Dementsprechend findet man in [Pohlers 1981], p. 274:

≫The collapsing functions, however, are still mysterious and the worst understood part of local predicativity.^{≪}

Ein Hauptanliegen der vorliegenden Arbeit besteht darin, diese verwickelten Sachverhalte vollständig aufzuklären. Ein weiteres Ziel unserer Arbeit sehen wir darin, unseren Untersuchungen ein möglichst umfassendes Bezeichnungssystem zugrundezulegen, um eine größtmögliche Allgemeinheit der erhaltenen Ergebnisse zu gewährleisten. Das weitestreichende Ordinalzahlbezeichnungssystem, für das bislang Kollabierungsfunktionen definiert wurden, ist das in [Buchholz, Schütte 1983] dargestellte Bezeichnungssystem T (I), mit dessen Hilfe die Theorie KPi beweistheoretisch analysiert werden konnte. Für das von G. Jäger in [Jäger 1984] entwickelte stärkere Bezeichnungssystem T, war die Definition von Kollabierungsfunktionen bislang ein offenes Problem. Das ursprüngliche Ziel unserer Arbeit bestand darin, Kollabierungsfunktionen für das zuletztgenannte System T zu definieren. Im Jahre 1989 entwickelte M. Rathjen das zur Zeit weitestreichende Bezeichnungssystem T (M) (vgl. [Rathjen 1990]). Hiermit gelang es ihm (siehe [Rathjen 1989]), vermöge einer von ihm verfeinerten Buchholzschen Analysemethode, die keine totalen Kollabierungsfunktionen verwendet, die Theorie KPM, die ein rekursives Mahlo-Universum formalisiert, zu analysieren. In dieser Arbeit definieren wir jetzt totale Kollabierungsfunktionen für T (M) und zeigen, daß diese eine für KPM spezifische Kollabierungsaxiomatik erfüllen. Insbesondere erhalten wir damit auch Kollabierungsfunktionen für das Jägersche System T und für die anderen bislang bekannten Bezeichnungssysteme.

Als unmittelbare beweistheoretische Anwendung unserer Arbeit ergibt sich ein alternativer Beweis der in [Rathjen 1989] erhaltenen Resultate mit der Pohlersschen Methode. Unsere Arbeit erhebt bezüglich dieser Resultate natürlich keinerlei Ansprüche auf Originalität. Wir zeigen lediglich, daß das Pohlerssche Verfahren bezüglich der Theorie T (M) das gleiche leistet wie das Buchholz-Rathjensche Verfahren.

Organisation der Arbeit

Im ersten Kapitel stellen wir das Bezeichnungssystem T (M) und die Theorie KPM vor. Hierbei übernehmen wir die in [Rathjen 1989, Rathjen 1990] gegebenen Darstellungen.

Im zweiten Kapitel skizzieren wir die beweistheoretische Analyse von KPM. Hierzu stellen wir zunächst in Abschnitt 2.1 eine geeignete Axiomatik für die totalen Kollabierungsfunktionen zusammen. Im zweiten Abschnitt formulieren wir das zu KPM gehörige halbformale System RS(M). Im letzten Abschnitt skizzieren wir die Schnittelimination für RS(M), die dann die beweistheoretische Analyse von KPM erlaubt. Da sich diese Vorgehensweise völlig kanonisch aus den in der Literatur vorhandenen Vorbildern ergibt, haben wir hier auf detaillierte Ausführungen verzichtet.

Im dritten Kapitel beschäftigen wir uns mit der Konstruktion eines Modells für die im zweiten Kapitel formulierte Kollabierungsaxiomatik. Im ersten Abschnitt geben wir zunächst eine kurze Beschreibung der Mahlo-Kollabierungsfunktion, deren Definition keinerlei Probleme bereitet. Der darauffolgende Teil beinhaltet nun den eigentlichen Kern der Arbeit. Zunächst werden in Abschnitt 3.2 die Hilfsfunktionen für die Kollabierung konstruiert. Mit den in 3.2.12 definierten Hilfsfunktionen verläuft die Definition der Kollabierungsfunktionen und der ≪_{τ}-Relation analog zu dem von uns in [Weiermann 1989] vorgeschlagenen Konzept. Im anschließenden Abschnitt weisen wir elementare Eigenschaften dieser Relation nach. Der darauffolgende Abschnitt ist der nichttrivialen Kollabierungsliftungseigenschaft der ≪_{τ}-Relation gewidmet. Hier wird unsere Konstruktion ihrem eigentlichen Härtetest unterzogen. Insbesondere zeigt sich hier die fundamentale Bedeutung der in 3.4.1 definierten R-Mengen. Im Abschnitt 3.6 behandeln wir die ≪-Relation für Funktionen. Dies erweist sich als leicht.

In Kapitel 4 verallgemeinern wir die Kollabierungsfunktionen aus [Buchholz, Schütte 1983] auf T (M) und zeigen, daß auch diese ein Modell für die in Abschnitt 3.2 aufgestellte Axiomatik sind. Hier wird dem Leser deutlich vor Augen geführt, warum die Konstruktion von Kollabierungsfunktionen bislang ein dunkles Kapitel in der Geschichte der Beweistheorie war. Im Anschluß daran vergleichen wir die beiden Ansätze. Hier wird insbesondere die mysteriöse Definition der Funktionen h_{μ} aus [Buchholz, Schütte 1983] bzw. [Pohlers 1981] nachträglich motiviert. Wir beweisen ferner, daß die ≪_{τ}- Relation primitiv rekursiv ist. Zum Schluß dieses Kapitels zeigen wir, daß die ≪_{τ}-Relation nicht eindeutig durch die Kollabierungsaxiomatik festgelegt wird.

Es sei abschließend noch einmal bemerkt, daß unsere Darstellung alle bislang bekannten Konzepte von totalen Kollabierungsfunktionen umfaßt. Insbesondere läßt sich unser Ansatz auch auf Bezeichnungssysteme anwenden, die anstelle der ψ- die bekannten θ̄- Funktionen (siehe [Buchholz 1974], [Pohlers 1981], [Weiermann 1987] bzw. [Weiermann 1990c]) verwenden.

Danksagungen

Ich danke Herrn Prof. Dr. W. Pohlers für die Anregung zu dieser Arbeit und das lebhafte persönliche Interesse, mit dem er ihr Entstehen verfolgt hat. Ferner bedanke ich mich bei Herrn Dr. M. Rathjen für dessen umfangreiche Vorarbeiten, die das Entstehen dieser Arbeit in der vorliegenden Form ermöglicht haben. Mein Dank gebührt weiterhin Herrn Th. Glaß für die Erstellung umfangreicher Teile des vorliegenden LaTEX-Dokuments. Zum Abschluß möchte ich mich bei dem gesamten Institut für mathematische Logik und Grundlagenforschung für die Förderung meiner wissenschaftlichen Arbeit bedanken.

Inhaltsverzeichnis

1 Präliminarien 1 1.1 Das Bezeichnungssystem T(M) . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Das formale System KPM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Eine Anwendung der Theorie der Kollabierungsfunktionen 16 2.1 Die Axiomatik der totalen Kollabierungsfunktionen . . . . . . 16 2.2 Das halbformale System RS(M) . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.3 Beweistheoretische Analyse von KPM . . . . . . . . . . . . . . 23

3 Die Konstruktion der Kollabierungsfunktionen 26 3.1 Die Mahlo-Kollabierung und die ≪_{M}-Relation . . . . . . . . 26 3.2 Hilfsfunktionen für die restliche Kollabierung . . . . . . . . . . 28

3.2.1 Die Mengen K_{μ}^{⋆}α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.2.2 Die Funktionen h_{μ}^{⋆} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.2.3 Definition der ≪_{τ}-Relation und der Kollabierungsfunk-

tionen D_{μ} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.3 Semantische Charakterisierung der ≪_{τ}-Relation . . . . . . . . 37 3.4 Syntaktische Charakterisierung der ≪_{τ}-Relation . . . . . . . . 43

3.4.1 Die R-Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.4.2 Die SC_{μ}-Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.5 Die Kollabierungsliftungseigenschaft der ≪_{τ}-Relation . . . . . 64 3.5.1 Fundamentale Eigenschaften der R-Mengen . . . . . . 64 3.5.2 Nichtiterierte Liftung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 3.5.3 Allgemeine Liftung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.6 Die ≪-Relation für Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 4 Der klassische Zugang zur ≪_{τ}-Relation 84

4.1 Die Funktionen h_{μ}^{⋆} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 4.2 Weitere Charakterisierungen der ≪_{τ}-Relation . . . . . . . . . . 97 4.3 Semantische Charakterisierung der Funktion h_{μ}^{⋆} . . . . . . . . 102 4.4 Rekursionstheoretische Eigenschaften der ≪_{τ}-Relation …. 112 4.5 Kollabierung entlang der R^{+}-Mengen . . . . . . . . . . . . . . 113

Kapitel 1

Präliminarien

1.1 Das Bezeichnungssystem T(M)

In diesem Abschnitt stellen wir alle von uns verwendeten Definitionen und aus [Rathjen 1989, Rathjen 1990] übernommenen Definitionen, Lemmata und Sätze zusammen. Für Beweise der hier zitierten Aussagen verweisen wir auf die Vorlage.

Wir legen in diesem Abschnitt die Zermelo-Fraenkel Mengenlehre mit Auswahlaxiom zugrunde und nehmen die Existenz einer schwachen Mahlo-Kardinalzahl an. Mit M bezeichnen wir die kleinste solche. Zudem treffen wir die folgenden Konventionen.

Mit kleinen griechischen Buchstaben bezeichnen wir wie üblich Ordinalzahlen. Für die Klasse der Ordinal- bzw. Kardinalzahlen schreiben wir ON bzw. CARD. Die griechischen Buchstaben κ, μ, ν, π, ϱ, σ, τ benutzen wir ausschließlich zur Bezeichnung von regulären, überabzählbaren Kardinalzahlen unterhalb von M.

Für X ⊆ ON seien definiert

cl(X) := X ∪ {λ : λ = sup(X ∩ λ)}
cl_{M}(X) := X ∪ {λ < M : λ = sup(X ∩ λ)}

Zudem sei Enum(X) die eindeutig bestimmte streng monoton wachsende Funktion F, die auf einer Ordinalzahl oder ganz ON definiert ist und deren Bild X ist. Weiterhin gelte für X, Y ⊆ ON

X ≤ Y :⟺ ∀ξ ∈ X∃η ∈ Y (ξ ≤ η)

X < α :⟺ ∀ξ ∈ X(ξ < α)
X ≤ α :⟺ ∀ξ ∈ X(ξ ≤ α)

Zudem sei

AP := {α : 0 < α ∧ ∀ξ, η < α(ξ + η < α)}

die Klasse der additiven Hauptzahlen. Definition 1.1.1

(a) φ_{α} := Enum({ξ ∈ AP : ∀η < α(φ_{η}(ξ) = ξ)}) und φαβ := φ_{α}(β)

(b) Φ_{α} := Enum({λ ∈ CARD : ∀η < α(Φ_{η}(λ) = λ)}) und Φαβ := Φ_{α}(β)

Lemma 1.1.2

(a) φαβ ∈ AP ∧ Φαβ ∈ CARD

(b) β < γ ⟹ φαβ < φαγ ∧ Φαβ < Φαγ

(c) α ≤ φα0 ∧ α ≤ Φα0

Lemma 1.1.3 Sei f eine der Funktionen φ oder Φ. Es gilt genau dann fαβ < fγδ, wenn einer der folgenden Fälle vorliegt:

(a) α < γ ∧ β < fγδ

(b) α = γ ∧ β < δ

(c) γ < α ∧ fαβ < δ Definition 1.1.4

(a) SC := {α : φα0 = α}

(b) SK := {α : Φα0 = α} Die Elemente von SC bezeichnen wir als starkkritische Ordinalzahlen.

Lemma 1.1.5

(a) Zu jedem α ∉ AP ∪ {0} gibt es eindeutig bestimmte α_{1}, …, α_{n} ∈ AP mit α = α_{1} + ⋯ + α_{n} und α > α_{1} ≥ … ≥ α_{n}.

(b) Zu jedem γ ∈ AP \ SC gibt es eindeutig bestimmte α, β < γ mit γ = φαβ.

(c) Zu jedem λ ∈ CARD \ SK gibt es eindeutig bestimmte α, β < λ mit λ = Φαβ.

Definition 1.1.6

(a) α =_{NF} α_{1} + ⋯ + α_{n} :⟺ α = α_{1} + ⋯ + α_{n} ∧ α_{1}, …, α_{n} ∈ AP ∧
α > α_{1} ≥ … ≥ α_{n}

(b) γ =_{NF} φαβ :⟺ γ = φαβ ∧ α, β < γ

(c) λ =_{NF} Φαβ :⟺ λ = Φαβ ∧ α, β < λ

Definition 1.1.7 M^{Γ} := min{α > M : α ∈ SC}

Definition 1.1.8 Für α < M^{Γ} sei SC_{M}(α) wie folgt rekursiv definiert:

(a) SC_{M}(0) := SC_{M}(M) := ∅

(b) SC_{M}(α) := {α}, falls α < M ∧ α ∈ SC (c) SC_{M}(α) := SC_{M}(α_{1}) ∪ … ∪ SC_{M}(α_{n}), falls α =_{NF} α_{1} + ⋯ + α_{n}

(d) SC_{M}(α) := SC_{M}(γ) ∪ SC_{M}(δ), falls α =_{NF} φγδ Ferner sei α^{∗} := max(SC_{M}(α) ∪ {0}). Wir schreiben auch SC_{M}α anstelle von SC_{M}(α).

Lemma 1.1.9 α^{∗} < M

Definition 1.1.10 Wir definieren induktiv für β < M und α < M^{Γ} die Mengen B(α, β) und die Funktionen χ_{α} : (B1) β ∪ {0, M} ⊆ B^{n}(α, β) (B2) γ =_{NF} γ_{1} + ⋯ + γ_{k} ∧ γ_{1}, …, γ_{k} ∈ B^{n}(α, β) ⟹ γ ∈ B^{n+1}(α, β) (B3) γ =_{NF} φδη ∧ δ, η ∈ B^{n}(α, β) ⟹ γ ∈ B^{n+1}(α, β) (B4) π ∈ B^{n}(α, β) ∩ κ ∧ γ < π ∈ R ⟹ γ ∈ B^{n+1}(α, β) (B5) δ, η ∈ B^{n}(α, β) ∧ δ < α ∧ η ∈ dom(χ_{δ}) ⟹ χ_{δ}(η) ∈ B^{n+1}(α, β) (B6) B(α, β) := ⋃{B^{n}(α, β) : n < ω} (B7) χ_{α} := Enum(cl_{M}({κ : κ ∉ B(α, κ) ∧ α ∈ B(α, κ)})) Wir schreiben χαβ anstelle von χ_{α}(β).

Lemma 1.1.11 Für jedes α < M^{Γ} ist χ_{α} : M ⟶ M eine Normalfunktion mit dom(χ_{α}) = M. Insbesondere folgt aus β < δ < M auch χαβ < χαδ.

Definition 1.1.12 λ =_{NF} χαβ :⟺ λ = χαβ ∧ β < λ Lemma 1.1.13 χαβ = χγδ ∧ β, δ < χαβ ⟹ α = γ ∧ β = δ

Lemma 1.1.14 Seien λ = χαβ und ζ =_{NF} χγδ. Dann gilt λ < ζ genau dann, wenn einer der folgenden Fälle vorliegt:

(a) α < γ ∧ β < ζ ∧ α^{∗} < ζ

(b) α = γ ∧ β < γ

(c) γ < α ∧ (λ ≤ δ ∨ λ ≤ γ^{∗})

Lemma 1.1.15 Es gelte λ =_{NF} Φαβ < M und 0 < α, sowie ζ =_{NF} χγδ. Dann gilt:

(a) λ ≠ ζ

(b) λ < ζ ⟺ (γ = 0 ∧ λ < δ) ∨ (0 < γ ∧ α, β < ζ)

Definition 1.1.16

(a) R := {χα0 : α < M^{Γ}} ∪ {χα(β + 1) : α < M^{Γ} ∧ β < M}

(b) Für κ ∈ R sei κ^{−} := \{ \begin{matrix}χαβ & falls κ = χα(β + 1) \\ α^{∗} & falls κ = χα0 \end{matrix} .

Konvention Von nun an bezeichnen wir mit κ, μ, ν, π, ϱ, σ, τ (auch mit Indizes) ausschließlich Elemente von R.

Lemma 1.1.17

(a) κ^{−} < κ

(b) κ =_{NF} χαβ ⟹ α^{∗} ≤ κ^{−} Definition 1.1.18 Wir definieren induktiv C_{κ}(α) und ψ_{κ}(α) für α < M^{Γ} durch Rekursion nach α : (C1) κ^{−} ∪ {κ^{−}, M} ⊆ C_{κ}^{n}(α) (C2) γ =_{NF} γ_{1} + ⋯ + γ_{k} ∧ γ_{1}, …, γ_{k} ∈ C_{κ}^{n}(α) ⟹ γ ∈ C_{κ}^{n+1}(α) (C3) γ =_{NF} φδη ∧ δ, η ∈ C_{κ}^{n}(α) ⟹ γ ∈ C_{κ}^{n+1}(α) (C4) γ =_{NF} Φδη ∧ δ, η ∈ C_{κ}^{n}(α) ∧ 0 < δ ∧ δ, η < M ⟹ γ ∈ C_{κ}^{n+1}(α) (C5) π ∈ C_{κ}^{n}(α) ∩ κ ∧ γ < π ∈ R ⟹ γ ∈ C_{κ}^{n+1}(α) (C6) γ =_{NF} χδη ∧ δ, η ∈ C_{κ}^{n}(α) ⟹ γ ∈ C_{κ}^{n+1}(α) (C7) β < α ∧ π, β ∈ C_{κ}^{n}(α) ∧ β ∈ C_{π}(β) ⟹ ψ_{π}(β) ∈ C_{κ}^{n+1}(α) (C8) C_{κ}(α) := ⋃{C_{κ}^{n}(α) : n < ω} (C9) ψ_{κ}(α) := min{ξ : ξ ∉ C_{κ}(α)} Wir schreiben ψκα anstelle von ψ_{κ}(α).

Lemma 1.1.19 κ^{−} < ψκα < κ

Lemma 1.1.20

(a) α < β ∧ α ∈ C_{κ}(α) ⟹ ψκα < ψκβ

(b) ψκα ∈ SC

(c) ζ =_{NF} χξη ⟹ ζ ≠ ψκα

(d) λ =_{NF} Φξη ⟹ λ ≠ ψκα

Lemma 1.1.21 ψκα = ψπβ ∧ α ∈ C_{κ}(α) ∧ β ∈ C_{π}(β) ⟹ κ = π ∧ α = β Lemma 1.1.22 Seien α ∈ C_{κ}(α) und β ∈ C_{π}(β). Dann gilt ψπβ < ψκα genau dann, wenn einer der folgenden Fälle vorliegt:

(a) π < κ ∧ π < ψκα

(b) π = κ ∧ β < α

(c) κ < π ∧ ψπβ < κ

Definition 1.1.23 γ =_{NF} ψκα :⟺ γ = ψκα ∧ α ∈ C_{κ}(α)

Lemma 1.1.24

(a) Für β < χαβ gilt: χαβ < ψκξ ⟺ χαβ < κ ∧ χαβ ∈ C_{κ}(ξ).

(b) Es sei λ =_{NF} Φαβ. Dann gilt: λ < ψκξ ⟺ α, β < ψκξ ∧ λ < κ.

Lemma 1.1.25 Es sei β < M. Dann gelten:

(a) β ∉ SC ⟹ β < χαβ

(b) β =_{NF} χγδ ⟹ (β < χαβ ⟺ γ ≤ α ∨ β ≤ α^{∗})

(c) β =_{NF} ψζξ ∧ ζ =_{NF} χγδ ⟹ (β < χαβ ⟺ γ ≤ α ∨ ζ < α^{∗} ∨ α ∉ C_{ζ}(ξ))

(d) β =_{NF} Φγδ ∧ 0 < γ ⟹ (β < χαβ ⟺ 0 < α)

Definition 1.1.26 Wir definieren induktiv die Menge T(M) und Gγ < ω für γ ∈ T (M) :

(T1) 0, M ∈ T (M) ∧ G0 := GM := 0 (T2) γ =_{NF} γ_{1} + ⋯ + γ_{n} ∧ γ_{1}, …, γ_{n} ∈ T (M) ⟹ γ ∈ T (M) ∧ Gγ :=

max{Gγ_{1}, …, Gγ_{n}} + 1

(T3) γ =_{NF} φδη < M ∧ δ, η ∈ T (M) ⟹ γ ∈ T (M) ∧ Gγ :=

max{Gδ, Gη} + 1

(T4) γ =_{NF} φ0η ∧ M < η ∈ T (M) ⟹ γ ∈ T (M) ∧ Gγ := Gη + 1 (T5) γ =_{NF} χδη ∧ δ, γ ∈ T (M) ⟹ γ ∈ T (M) ∧ Gγ := max{Gδ, Gη} + 1 (T6) γ =_{NF} Φδη < M ∧ 0 < δ ∧ δ, η ∈ T (M) ⟹ γ ∈ T (M) ∧ Gγ :=

max{Gδ, Gη} + 1

(T7) γ =_{NF} ψκα ∧ κ, α ∈ T (M) ∧ α < M ⟹ γ ∈ T (M) ∧ Gγ := max{Gκ, Gα} + 1

Jede Ordinalzahl γ ∈ T (M) besitzt nach den vorhergehenden Lemmata eine eindeutig bestimmte Entstehungsgeschichte. Der Grad Gγ von γ ist somit wohldefiniert. Konvention Von nun an bezeichnen wir mit kleinen griechischen Buchstaben ausschließlich Elemente aus T(M). Lemma 1.1.27 Es seien α, β ∈ T (M) und γ, δ, κ ∈ T (M) ∩ M. Dann gelten:

(a) α + β, α#β, φ0α ∈ T (M)

(b) φγδ, χαγ, Φγδ ∈ T (M)

(c) α^{∗} ∈ T (M) ∧ Gα^{∗} ≤ Gα (d) κ^{−} ∈ T (M) ∧ Gκ^{−} ≤ Gκ

Hierbei bedeute in (a) α#β die natürliche Summe von α und β, wie sie etwa in [Pohlers 1989a] definiert wird.

Definition 1.1.28 Wir definieren induktiv K_{κ}γ für γ ∈ T (M) :

(K1) K_{κ}0 := K_{κ}M := ∅

(K2) K_{κ}γ := K_{κ}γ_{1} ∪ … ∪ K_{κ}γ_{n}, falls γ =_{NF} γ_{1} + ⋯ + γ_{n}

(K3) K_{κ}γ := K_{κ}δ ∪ K_{κ}η, falls γ =_{NF} φδη ∨ γ =_{NF} χδη ∨ γ =_{NF} Φδη

(K4) K_{κ}γ := \{ \begin{matrix}∅ & falls γ ≤ κ^{−} \\ K_{κ}π & falls κ^{−} < γ ∧ π < κ \\ \{β\} ∪ K_{κ}π ∪ K_{κ}β & falls κ^{−} < γ ∧ κ ≤ π \end{matrix} ,

falls γ =_{NF} ψπβ

Konvention Wir wollen (wie bereits in (K3) und (K4) getan) von nun an voraussetzen, daß die Schreibweisen γ =_{NF} φδη, γ =_{NF} χδη , γ =_{NF} Φδη bzw. γ =_{NF} ψκα implizieren, daß γ vermöge (T3)-(T7) ein Element von T(M) ist, d. h. daß die eventuell vorhandenen Nebenbedingungen für δ, η, κ, α immer erfüllt sind. Ebenso setzen wir bei der Bildung der Terme φαβ, Φαβ, und χαβ für α, β ∈ T (M) voraus, daß diese Objekte gemäß Lemma 1.1.27 Elemente von T(M) sind, d. h. α und β den dort formulierten Bedingungen genügen.

Lemma 1.1.29 γ ∈ C_{κ}(ξ) ⟺ K_{κ}γ < ξ

Satz 1.1.30 T (M) und < ∩T (M) × T (M) sind primitiv rekursiv.

Definition 1.1.31 Ĉ_{κ}(ξ) := {η ∈ T (M) : K_{κ}η < ξ} Lemma 1.1.32 Ĉ_{κ}(ξ) = T (M) ∩ C_{κ}(ξ)

Lemma 1.1.33 γ ∈ T (M) ⟹ K_{κ}γ ∈ T (M) ∩ M

Zum Abschluß stellen wir noch einige an späterer Stelle benötigte Definitionen zusammen.

Definition 1.1.34 Sei α < M.

(a) α^{+} := min{π ∈ R : π > α}

(b) Sβ := \{ \begin{matrix}(β^{+})^{−} & falls β < M \\ M & sonst \end{matrix}

(c) Ω := 0^{+} = χ00

(d) Ω_{1+α} := χ0α

(e) Λ_{0} := ψ(χM0)0

(f) ω^{ξ} := φ0ξ

Lemma 1.1.35 Die Abbildung + : T (M) ∩ M ⟶ T (M), +(α) := α^{+} ist primitiv rekursiv.

Definition 1.1.36 Für Abbildungen P, Q : ON ⟶ {S : S ⊆ ON ∧ S endlich } sei

P Q(α) := ⋃{P (β) : β ∈ Q(α)}.

Definition 1.1.37 Mit κ⃗, π⃗, σ⃗ bezeichnen wir im folgenden endliche Sequenzen von Elementen aus R. Für κ⃗ = (κ_{0}, …, κ_{n}) definieren wir

μ < κ⃗ :⟺ ∀i ≤ n (μ < κ_{i})

und

κ⃗ ≤ β :⟺ ∀i ≤ n(κ_{i} ≤ β).

Für P ⊆ ON gelte:

κ⃗ ∈ P :⟺ ∀i ≤ n(κ_{i} ∈ P).

1.2 Das formale System KPM

KPM ist eine Theorie der Mengenlehre, die ein rekursives Mahlo-Universum beschreibt. Wir erhalten sie im wesentlichen aus der Theorie KP (siehe [Barwise 1975]), indem wir zusätzlich fordern, daß sich jede Π_{2}^{0}-Formel an einer zulässigen Menge reflektiert. Die für beweistheoretische Anwendungen optimale Formulierung entnehmen wir aus [Rathjen 1989]. Die Theorie KPM wird in der Sprache L_{Ad} formuliert, die neben den freien Variablen a_{0}, a_{1}, …, den gebundenen Variablen x_{0}, x_{1}, …, dem Prädikatszeichen ∈ und den logischen Symbolen ¬, ∧, ∨, ∀, ∃ auch das Prädikatszeichen Ad für zulässige Mengen beinhaltet.

Auf das Gleichheitszeichen wird zunächst verzichtet. Wie in der Literatur üblich, verwenden wir a, b, c, … x, y, z, … A, B, C, F, G, … als Metavariablen für freie Variablen, gebundene Variablen bzw. Formeln.

Als atomare Formeln bezeichnen wir Ausdrücke der Gestalt (a ∈ b) und Ad(a). Die Formeln von L_{Ad} werden nun wie folgt definiert.

• Ist A eine atomare Formel, so sind A und ¬A Formeln.

• Sind A, B Formeln, so auch (A ∧ B) und (A ∨ B).

• Ist A(b) eine Formel, so sind ∀x A(x), ∃x A(x), (∀x ∈ a) A(x) und (∃x ∈ a) A(x) Formeln.

Die Quantoren ∀x, ∃x heißen im Gegensatz zu ∀x ∈ a, ∃x ∈ a nicht-be-schränkte Quantoren.

Die Negation ¬A einer Formel A wird wie üblich unter Beachtung der de Morganschen Regeln definiert. Zudem wird A → B als Abkürzung für ¬A ∨ B verwendet.

Wir verwenden die Schreibweise a⃗, b⃗, c⃗ und x⃗, y⃗, z⃗ um endliche Folgen von freien und gebundenen Variablen mitzuteilen und schreiben demgemäß ∀z⃗ − −− anstelle von ∀z_{1} … ∀z_{n} − −−, wenn z⃗ = (z_{1}, …, z_{n}) ist.

Wir schreiben F [a_{1}, …, a_{n}] (im Gegensatz zu F (a_{1}, …, a_{n})) für eine Formel, deren freie Variablen in {a_{1}, …, a_{n}} enthalten sind. Die Formel

(∀x ∈ a) (x ∈ b ∧ G(x)) ∧ (∀x ∈ b)(G(x) → x ∈ a)

kürzen wir durch a = {x ∈ b : G(x)} ab.

Für jede Formel A sei die auf a beschränkte Formel A^{a} dadurch definiert, daß die in A auftretenden nicht beschränkten Quantoren ∀x und ∃x durch die beschränkten Quantoren ∀x ∈ a und ∃x ∈ a ersetzt werden.

Die Klasse der Δ_{0}-Formeln von L_{Ad} enthält sämtliche Formeln, die keine unbeschränkten Quantoren enthalten. Die Σ-Formeln von L_{Ad} sind die Formeln, die keine unbeschränkten Allquantoren enthalten.

Weiterhin benutzen wir die folgenden Abkürzungnen.

a = b :≡ (∀x ∈ a) (x ∈ b) ∧ (∀x ∈ b) (x ∈ a)
a ≠ b :≡ ¬(a = b)
a = ⋃ b :≡ (∀x ∈ b)(∀y ∈ x) (y ∈ a) ∧ (∀y ∈ a)(∃x ∈ b) (y ∈ x)
T ran(a) :≡ (∀x ∈ a)(∀y ∈ x) (y ∈ a)

Zudem bezeichne (T C) die Formel

∀x∀y∃z (T ran(z) ∧ x ∈ z ∧ y ∈ z)

und (Inf) bezeichne

∃x (∃z (z ∈ x) ∧ (∀y ∈ x)(∃z ∈ x) (y ∈ z)).

Wir betrachten also die Gleichheit als ein über die Extensionalität definiertes Prädikatszeichen. Als vorläufige Axiomenschemata definieren wir

Extensionalität a = b → (F (a) → F (b))

für alle Formeln F (a)

Fundierung  ∀x [(∀y ∈ x) G(y) → G(x)] → ∀x G(x)

für alle Formeln G(a)

Δ_{0}-Separation ∀x∃y (y = {u ∈ x : F (u)})

für alle Δ_{0}-Formeln F (a)

Δ_{0}-Kollektion ∀x [(∀u ∈ x)∃y G(u, y) → ∃w(∀u ∈ x)(∃y ∈ w) G(u, y)]

für alle Δ_{0}-Formeln G(a, b)

Zur Formulierung der Theorie KPM verwenden wir einen Tait-Kalkül. KPM leitet also endliche Formelmengen, bezeichnet durch Γ, Δ, Λ, Θ, Ξ, … her. Wir schreiben Γ, A anstelle von Γ ∪ {A} und Γ, Δ für Γ ∪ Δ.

Es sei

Ax(KPM ) := {A : A ist Instanz von Extensionalität}
∪ {A : A ist Instanz von Fundierung}
∪ {Ad(a) ∧ Ad(b) → a ∈ b ∨ a = b ∨ b ∈ a}
∪ {Ad(a) → A^{a} : A ≡ T ran(a) oder A ≡ (Inf)}
∪ {Ad(a) → A^{a} : A ≡ (T C)}
∪ {Ad(a) → A^{a} : A ist Instanz von Δ_{0}-Separation}
∪ {Ad(a) → A^{a} : A ist Instanz von Δ_{0}-Kollektion}

Die Axiome von KPM haben definitionsgemäß die Gestalt Γ, ¬B, B bzw. Γ, A, wobei A ∈ Ax(KPM ). Die Schlußregeln von KPM sind die folgenden.

(∧) \frac{Γ, A_{0} Γ, A_{1}}{Γ, A_{0} ∧ A_{1}}  (∨) \frac{Γ, A_{i}}{Γ, A_{0} ∨ A_{1}} falls i ∈ \{0, 1\}

(b∀) \frac{Γ, a ∈ b → F (a)}{Γ, (∀x ∈ b) F (x)}  (b∃) \frac{Γ, a ∈ b ∧ F (a)}{Γ, (∃x ∈ b) F (x)}

(∀) \frac{Γ, F (a)}{Γ, ∀x F (x)}  (∃) \frac{Γ, F (a)}{Γ, ∃x F (x)}

(Mahlo) \frac{Γ, ∃y G(a, y)}{Γ, ∃z (Ad(z) ∧ (∀x ∈ z)(∃y ∈ z) G(x, y))}

falls G(a, b) eine Δ_{0}-Formel ist

(cut) \frac{Γ, A Γ, ¬A}{Γ}

Hierbei gelte, daß in den Regeln (b∀), (∀) und (Mahlo) die freie Variable a nicht in der Konklusion auftritt. Herleitungen in KPM werden wie üblich definiert. Gibt es eine KPM-Herleitung von Γ, so schreiben wir KP M ⊢ Γ.

Lemma 1.2.1 KP M ⊢ ∀x∃y(Ad(y) ∧ x ∈ y)

Beweis: Die Behauptung folgt leicht aus einer Anwendung der (Mahlo)-Regel. □

Eine Anwendung der Theorie der Kollabierungsfunktionen

2.1 Die Axiomatik der totalen Kollabierungsfunktionen

Eine ausführliche Einführung in die Thematik der totalen Kollabierungsfunktionen, auch wenn sich diese nur auf das zu KPi gehörige halbformale System RS bezieht, wird, wie bereits in der Einleitung erwähnt, in [Pohlers 1989b] gegeben. Insbesondere wird dort die Axiomatik dieser Funktionen ausführlich motiviert. Die in der Folge angegebene Axiomatik ergibt sich in natürlicher Weise aus den in [Pohlers 1989b] und [Rathjen 1989] gegebenen Darstellungen.

Axiome für die Mahlo-Kollabierungsfunktion

(a) D_{M} : T (M) ⟶ T (M) ∩ M

(b) D_{M} | T (M) ∩ M = id_{T (M)∩M}

(c) α ≥ M ⟹ D_{M}α ∈ R

Axiome für die restlichen Kollabierungsfunktionen

(a) D_{μ} : T (M) ⟶ T (M) ∩ μ (b) D_{μ} = D_{μ} ∘ D_{M}

(c) D_{μ} | μ = id_{μ}

(d) D_{M}α ≥ μ ⟹ D_{μ}α ∈ SC

(e) α < ε_{M+1} ⟹ D_{Ω}α < ψΩ(ψ(χε_{M+1}0)0)

Axiome für die ≪_{τ}-Relation

Ordnungstheoretische Axiome

(a) α ≪_{τ} β ⟹ α < β

(b) α ≪_{τ} β ≪_{τ} γ ⟹ α ≪_{τ} γ

(c) α ≪_{τ} β ∧ π ≥ τ ⟹ α ≪_{π} β Intrinsische Eigenschaften

(a) α ≪_{τ} β ⟹ D_{M}α ≪_{τ} D_{M}β

(b) α ≪_{τ} β ⟹ ∀κ⃗ ≥ τ (Dκ⃗α ≪_{τ} Dκ⃗β)

(c) α ≪_{Ω} β ∧ μ ≪_{Ω} β ⟹ ∃κ⃗ > μ (D_{μ}Dκ⃗α ≪_{Ω} β) (Kollabierungsliftungseigenschaft)

(d) ∃κ⃗ > μ (D_{μ}Dκ⃗α ≪_{Ω} α#μ)

Monotonieaxiome der ≪_{τ}-Relation

(a) δ =_{NF} φβα ∨ δ =_{NF} Φβα ∨ δ =_{NF} χβα ⟹ α ≪_{τ} δ (b) β ≠ 0 ⟹ α ≪_{τ} α#β

(c) Sα < α ⟹ Sα ≪_{τ} α

(d) κ ≪_{τ} κ^{+}

(e) Ist α ≪_{τ} β, so gelten (1) α#γ ≪_{τ} β#γ

(2) ω^{α} ≪_{τ} ω^{β}

(3) δ =_{NF} φγβ ⟹ φγα ≪_{τ} δ

(4) δ =_{NF} Φγβ ⟹ Φγα ≪_{τ} δ

(5) δ =_{NF} χγβ ⟹ χγα ≪_{τ} δ

(6) α · n ≪_{τ} β · n

(7) n · α ≪_{τ} n · β

(f) Ist α ≪_{τ} β und α^{+} ≤ ν, so gelten (1) Sα ≪_{τ} β#ν

(2) α^{+} ≪_{τ} β#ν

(3) ω^{D_{M} α+5} ≪_{τ} D_{M}β.

(g) α, β ≪_{τ} γ#ν ∧ S(α#β) < ν ⟹ φα(α#β) ≪_{τ} γ#ν

(h) δ < γ ∧ δ, ε ≪_{τ} φγ(γ#α) ⟹ φδε ≪_{τ} φγ(γ#α)

Axiomatik der ≪-Relation für Funktionen

Ontologische Axiome für die ≪-Relation

(a) ≪⊆ {f : ∃N ⊆ T (M) ∩ M (f : N → T (M))} × T (M)

(b) Es gelten:

(1) λ ∈ LIM ⟹ id_{(λ+1)\LIM} ≪ λ

(2) λ ∉ LIM ⟹ id_{(λ+1)\LIM} ≪ λ + 1.

(c) f ≪ α ⟹ ∀ξ ∈ dom(f) (f(ξ) < α)

Intrinsische Eigenschaften der ≪-Relation

(a) f ≪ α ≥ M ∧ f : T (M) ∩ M ⟶ T (M) ⟹ D_{M}f | T (M) ∩ D_{M}α ≪ D_{M}α In dieser Eigenschaft spiegelt sich offenbar die Mahlo-Eigenschaft von M bzgl. T (M) wider.

(b) Gelten f ≪ α, wobei dom(f) in M∩T (M)beschränkt ist, σ_{f} = min{β :

β ∈ R ∩ M ∧ β > sup dom(f)} und κ⃗ ≥ σ_{f}, so gilt

Dκ⃗f ≪ Dκ⃗α ∧ ∀ξ ∈ dom(f) (f(ξ) ≪_{σ_{f}} α)

Diese Eigenschaft reflektiert die Regularität von σ bzgl. T (M).

(c) f ≪ α ⟹ ∀ξ ∈ dom(f) (f(ξ)#ξ ≪ ξ#α) Dies besagt, daß sich die Bildwerte von f uniform in den Argumenten von f und der Ordinalzahl α wesentlich majorisieren lassen.

Das Monotonieverhalten der ≪-Relation Es sei f ≪ α. Dann gelten:

(a) f#β ≪ α#β

(b) δ =_{NF} φγα ⟹ φγf ≪ δ

(c) δ =_{NF} Φγα ⟹ Φγf ≪ δ

(d) δ =_{NF} χγα ⟹ χγf ≪ δ

(e) n · f ≪ n · α

(f) f · n ≪ α · n

(g) g : dom(f) ⟶ T (M) ∧ ∀ξ ∈ dom(f) (g(ξ) ≪ f(ξ)) ∧ α ≪ β ⟹ g ≪ β

Ein wichtiges Ziel der vorliegenden Arbeit besteht darin, ein Modell für die angegebene Axiomatik zu finden. Hierunter verstehen wir die Konstruktion von Funktionen D_{μ}, D_{M} und Relationen ≪_{τ},≪, die die angegebene Axiomatik erfüllen.

2.2 Das halbformale System RS(M)

Die Sprache von RS(M) umfasse L_{Ad} und beinhalte zusätzlich für jedes α ∈ T (M) ∩ (M + 1) eine Konstante LL_{α}.

Definition 2.2.1 Wir definieren die Terme von RS(M) und deren Schichten.

(a) LL_{α} ist ein Term der Schicht α + 1 für jedes α ∈ T (M) ∩ (M + 1).

(b) Ist F [a, b_{1}, …, b_{n}] eine L_{Ad}-Formel und sind t_{1}, …, t_{n} Terme mit Schichten ≪ α < M, so ist {x ∈ LL_{α} : F [x, t_{1}, …, t_{n}]^{LL_{α}}} ein Term der Schicht α + 1.

Hierbei bezeichne F [x, t⃗]^{LL_{α}} die auf LL_{α} beschränkte Formel F [x, t⃗].

Schreiben wir im folgenden {x ∈ LL_{α} : B(x)}, so setzen wir voraus, daß B(x) die Gestalt F [x, t_{1}, …, t_{n}]^{LL_{α}} hat, wobei F [a, b_{1}, …, b_{n}] eine L_{Ad}-Formel ist und t_{1}, …, t_{n} Terme sind mit Schichten ≪ α < M. Mit sch(t) bezeichnen wir die Schicht eines RS(M)-Termes t.

Die Formeln von RS(M) sind Ausdrücke der Gestalt B[t_{1}, …, t_{n}], wobei B[b_{1}, …, b_{n}] eine Δ_{0}-Formel von L_{Ad} ist und t_{1}, …, t_{n} Terme von RS(M) sind. Die Negation ¬B[t_{1}, …, t_{n}] einer RS(M)-Formel B[t_{1}, …, t_{n}] ist die RS(M)-Formel C[t_{1}, …, t_{n}], wobei C[b_{1}, …, b_{n}] ≡ ¬B[b_{1}, …, b_{n}] gilt.

Eine RS(M) Formel B[t_{1}, …, t_{n}] heiße Δ_{0}(LL_{α})-Formel, falls für 1 ≤ i ≤ n sch(t_{i}) ≤ α gilt. Eine RS(M)-Formel B[t_{1}, …, t_{n}] heiße Σ(LL_{α})-Formel, falls es eine Σ-Formel C[a_{1}, …, a_{n}] gibt, so daß B[t_{1}, …, t_{n}] ≡ C[t_{1}, …, t_{n}]^{LL_{α}} ist und für 1 ≤ i ≤ n sch(t_{i}) ≤ α gilt. Für eine RS(M)-Formel B[t_{1}, …, t_{n}] schreiben wir B[t_{1}, …, t_{n}] ≪ α, falls für 1 ≤ i ≤ n sch(t_{i}) ≪ α gilt.

Aus schreibtechnischen Gründen vereinbaren wir die folgenden Abkürzungen.

∅ :≡ LL_{0}

s ˙∈t :≡ \{ \begin{matrix}B(s) & falls t ≡ \{x ∈ LL_{α} : B(x)\} \\ ∅ = ∅ & falls t ≡ LL_{α} \end{matrix}

Definition 2.2.2 Wir definieren den Rang rn(A) einer RS(M)-Formel A induktiv. Seien sch(s) = α und sch(t) = β.

(a) rn(s ∈ t) := rn(s ∉ t) := ω · max(3α − 1, 3β − 2)

(b) rn(Ad(s)) := ω · (3α − 1)

(c) rn(A ∧ B) := rn(A ∨ B) := max(rn(A), rn(B)) + 1

(d) rn((∀x ∈ LL_{α})F (x)) := rn((∃x ∈ LL_{α})F (x)) := max(ω · 3α, rn(F (∅)) + 1)

(e) rn((∀x ∈ t)F (x)) := rn((∃x ∈ t)F (x)) := rn(∅ ∈ t ∧ F (∅)) + 2, falls t nicht die Gestalt LL_{β} hat.

Definition 2.2.3 Wir definieren nun induktiv RS(M) ^{α}_{ϱ} Δ.

(⋀) • Gelten

RS(M) ^{α_{1}}_{ϱ} Δ, φ und RS(M) ^{α_{2}}_{ϱ} Δ, ψ,
sowie α_{1}, α_{2} ≪ α, so gelte
RS(M) ^{α}_{ϱ} Δ, φ ∧ ψ.
• Gilt für alle Terme s mit sch(s) < sch(t)
RS(M) ^{f(sch(s))}_{ϱ} Δ, s ≠ u ∨ ¬s ˙∈t
für ein f : sch(t) ⟶ T (M) mit f ≪ α, so gelte

RS(M) ^{α}_{ϱ} Δ, u ∉ t.

• Gilt für alle Terme s mit sch(s) < sch(t)
RS(M) ^{f(sch(s))}_{ϱ} Δ, ¬s ˙∈t ∨ φ(s)
für ein f : sch(t) ⟶ T (M) mit f ≪ α, so gelte
RS(M) ^{α}_{ϱ} Δ, (∀x ∈ t) φ(x).

• Gilt für all κ ∈ R ∩ sch(t)

RS(M) ^{f(κ)}_{ϱ} Δ, t ≠ LL_{κ}

für ein f : R ∩ sch(t) ⟶ T (M) mit f ≪ α, so gelte

RS(M) ^{α}_{ϱ} Δ, ¬Ad(t).

• (Mahlo) Gilt für alle Terme s mit sch(s) < M

RS(M) ^{f(sch(s))}_{ϱ} Δ, (∃y ∈ LL_{M}) φ(s, y)

für eine Δ_{0}(LL_{M})-Formel φ(∅, ∅) und für ein f : M ⟶ T (M) mit f ≪ β ≥ M und ∀ξ < M (ξ ≪ f(ξ)), so gilt für alle α mit β ≪ α

RS(M) ^{α}_{ϱ} Δ, (∃z ∈ LL_{M}) (Ad(z) ∧ (∀x ∈ z)(∃y ∈ z) φ(x, y)).

(⋁) • Gilt für ein i ∈ {0, 1}

RS(M) ^{α_{i}}_{ϱ} Δ, φ_{i},

so gilt für alle α mit α_{i} ≪ α

RS(M) ^{α}_{ϱ} Δ, φ_{0} ∨ φ_{1}.

• Gilt für ein s mit sch(s) < sch(t)

RS(M) ^{α_{0}}_{ϱ} Δ, s = v ∧ s ˙∈t,

so gilt für alle α mit sch(s), α_{0} ≪ α

RS(M) ^{α}_{ϱ} , Δ, v ∈ t.

• Gilt für ein s mit sch(s) < sch(t)

RS(M) ^{α_{0}}_{ϱ} Δ, s ˙∈t ∧ φ(s),

so gilt für alle α mit sch(s), α_{0} ≪ α

RS(M) ^{α}_{ϱ} , Δ, (∃x ∈ t) φ(x).

• Gilt für ein κ ∈ R ∩ sch(s)
RS(M) ^{α_{0}}_{ϱ} Δ, s = LL_{κ},
so gilt für alle α mit κ + 1, α_{0} ≪ α
RS(M) ^{α}_{ϱ} Δ, Ad(s).

(Cl_{κ}) Gilt

RS(M) ^{α_{0}}_{ϱ} Δ, (∀x ∈ s)(∃y ∈ LL_{κ}) φ(x, y)
für eine Δ_{0}(LL_{κ})-Formel φ(∅, ∅), so gilt für alle α mit α_{0} ≪ α
RS(M) ^{α}_{ϱ} Δ, (∃z ∈ LL_{κ})(∀y ∈ s)(∃y ∈ z) φ(x, y).

(Cut) Gelten

RS(M) ^{α_{1}}_{ϱ} Δ, φ und RS(M) ^{α_{2}}_{ϱ} Δ, ¬φ,
sowie rn(φ) < ϱ, so gilt für alle α mit φ, ¬φ, α_{1}, α_{2} ≪ α
RS(M) ^{α}_{ϱ} Δ.

Im Unterschied zu [Rathjen 1989] benötigen wir für die beweistheoretische Analyse von KPM lediglich ein halbformales Herleitungssystem.

2.3 Beweistheoretische Analyse von KPM

Die beweistheoretische Analyse von KPM läßt sich nun in bekannter Manier durchführen (vgl. auch dazu [Pohlers 1989b], [Jäger, Pohlers 1982] bzw. [Rathjen 1989]). Im einzelnen zeigt man das folgende.

Satz 2.3.1 (Einbettungssatz) Seien Γ[a_{1}, …, a_{n}] eine Menge von L_{Ad}-Formeln und s_{1}, …, s_{n} RS(M)-Terme mit Schichten < M und es gelte KP M ⊢ Γ[a_{1}, …, a_{n}]. Dann gibt es ein k < ω, derart daß RS(M) ^{M · k#sch(s_{1})# ⋯ #sch(s_{n})}_{M + k} Γ[s_{1}, …, s_{n}]^{LL_{M}} .

Satz 2.3.2 (Beschränkungssatz) Sei λ ∈ R ∪ {M}. Dann folgt aus RS(M) ^{α}_{ϱ} Γ, (∃x ∈ LL_{λ})F (x) und F (∅) ∈ Δ_{0}(LL_{λ}) für α ≤ γ ≤ λ : RS(M) ^{4α}_{ϱ} , Γ, (∃x ∈ LL_{γ})F (x).

Satz 2.3.3 (Kollabierungssatz) Sei λ ∈ R ∪ {M}. Gilt dann RS(M) ^{α}_{ϱ} Γ und Γ ⊆ Σ(LL_{λ}) und ist ϱ ≤ λ, so folgt RS(M) ^{D_{λ}α}_{ϱ} Γ.

Lemma 2.3.4 (Prädikatives Eliminationslemma) Sei ϱ = rn(A) ∉ R ∪ {M} und A ≪ β. Dann folgt aus RS(M) ^{α}_{ϱ} Γ, A und RS(M) ^{β}_{ϱ} Λ, ¬A auch RS(M) ^{α#β}_{ϱ} Γ, Λ.

Satz 2.3.5 (Erster prädikativer Eliminationssatz) Ist ϱ ∉ R ∪ {M}, so folgt aus RS(M) ^{α}_{ϱ + 1} Γ auch RS(M) ^{ω^{α}}_{ϱ} Γ.

Satz 2.3.6 (Zweiter prädikativer Eliminationssatz) Gilt β ∉ R ∪ {M} und β + ω^{ϱ} ≤ β^{+}, so folgt aus RS(M) ^{α}_{β + ω^{ϱ}} Γ auch RS(M) ^{φϱ(ϱ#α)}_{β} Γ.

Lemma 2.3.7 (Imprädikatives Eliminationslemma) Sei λ ∈ R ∪ {M}. Unter den Voraussetzungen

• RS(M) ^{α}_{λ} Γ, {(∀x ∈ LL_{λ})F_{i}(x) : 1 ≤ i ≤ m}, (∃y ∈ LL_{λ})G(y)

• RS(M) ^{β}_{λ} Λ, (∀y ∈ LL_{λ})¬G(y)

• Γ ⊆ Σ(LL_{λ}) und {G(∅), F_{1}(∅), …, F_{m}(∅)} ⊆ Δ_{0}(LL_{λ})

gilt RS(M) ^{α#β#λ · (m + 1)}_{λ} Γ, Λ, {(∀x ∈ LL_{λ})F_{i}(x) : 1 ≤ i ≤ m}.

Satz 2.3.8 (Erster imprädikativer Eliminationssatz) Sei λ ∈ R ∪ {M}. Dann folgt aus RS(M) ^{α}_{λ + 1} Γ und Γ ⊆ Σ(LL_{λ}) schon RS(M) ^{ω^{α}}_{λ} Γ.

Satz 2.3.9 (Zweiter imprädikativer Eliminationssatz) Sei λ ∈ R ∪ {M}. Dann gelten:

(a) Aus RS(M) ^{α}_{λ} Γ und Γ ⊆ Σ(LL_{μ^{+}}) folgt RS(M) ^{α#λ}_{μ + 1} Γ.

(b) Aus RS(M) ^{α}_{λ} Γ und Γ ⊆ Σ(LL_{κ}) folgt RS(M) ^{α#λ}_{D_{κ}α} Γ.

Beweis: Der Beweis von (a) verläuft fast wörtlich wie in [Pohlers 1989b]. Beim Beweis von (b) orientiere man sich an [Rathjen 1989] und beachte, daß für ν ≪ α nicht D_{κ}α ≤ ν < κ gelten kann. □

Korollar 2.3.10 ∥ KP M ∥ ≤ ψΩ(ψ(χε_{M+1}0)0)

Die Konstruktion der Kollabierungsfunktionen

3.1 Die Mahlo-Kollabierung und die ≪_{M}-

Relation

Die Definition der Funktion D_{M} : T (M) ⟶ T (M) ∩ M ist durch [Rathjen 1989] vorgegeben und bereitet keinerlei Probleme. Definition 3.1.1

D_{M}α := \{ \begin{matrix}χα0 & falls M ≤ α \\ α & sonst \end{matrix}

Diese Funktion induziert nun in natürlicher Weise die ≪_{M}-Relation. Definition 3.1.2

(a) α ≪_{M} β :⟺ α < β ∧ D_{M}α < D_{M}β

(b) α ≪_{M} β :⟺ α ≪_{M} β ∨ α = β

Aus [Rathjen 1989] erhält man nun leicht die folgenden Resultate. Folgerung 3.1.3 (a) D_{M}α < M

(b) β < M ⟹ (α < β ⟺ α ≪_{M} β)

(c) α ≪_{M} β ≪_{M} γ ⟹ α ≪_{M} γ

(d) α ≥ M ⟹ D_{M}α ∈ R ∧ SC_{M}α < D_{M}α □

Lemma 3.1.4

(a) D_{M}α = min{α, χα0}

(b) α ≪_{M} β ⟺ α < β ∧ α ∈ B(β, χβ0)

(c) α ≪_{M} β ⟺ α < β ∧ SC_{M}α < D_{M}β

(d) α ≪_{M} β ⟹ χα0 < χβ0 □

Korollar 3.1.5

(a) M < α ⟹ M ≪_{M} α

(b) α ≪_{M} α#β

(c) α ≪_{M} ω^{α}

(d) α ≪_{M} β ⟹ ω^{α} ≪_{M} ω^{β} ∧ α#γ ≪_{M} β#γ (e) β < M ⟹ χ0β ≪_{M} χβ0

(f) α ≪_{M} β < M ⟹ χγα ≪_{M} χγβ

(g) α#D_{M}α ≪_{M} α#M □

3.2 Hilfsfunktionen für die restliche Kollabierung

In diesem Abschnitt wird das für die Definition der Kollabierungsfunktionen

D_{μ} : T (M) ⟶ μ ∩ T (M) (μ ∈ R)

notwendige technische Rüstzeug bereitgestellt.

Heuristische Vorüberlegungen

In [Weiermann 1989] haben wir ein kanonisches Konzept für die Definition von Kollabierungsfunktionen

D_{μ} : T (I) ⟶ μ ∩ T (I) (μ ∈ R ∩ I ∪ {I}, I := χ10)

und der durch diese Funktionen induzierten ≪_{τ} Relationen (τ ∈ R ∩ I) entwickelt, das für eine beweistheoretische Analyse der Theorie KPi mit der von W. Pohlers entwickelten Methode der lokalen Prädikativität geeignet ist. Leider läßt sich dieser Ansatz nicht unmittelbar auf unsere Situation übertragen, da das Bezeichnungssystem T(I) nicht kanonisch in dem Bezeichnungssystem T(M) eingebettet liegt. Dies liegt daran, daß bei der Entwicklung des Bezeichnungssystems T(M) die Funktionen

ψ_{μ} (μ ∈ R ∩ I) und ψ_{I}

simultan und nicht nach Unerreichbarkeitsgraden getrennt definiert werden.

Zu Illustrationszwecken wollen wir untersuchen, welche Effekte man beachten muß, wenn man auf T (M) ∩ I^{+} Kollabierungsfunktionen definieren will, die zumindest eine erneute Analyse von KPi erlauben. Die hieraus resultierenden Erkenntnisse sind zum Verständnis des weiteren Vorgehens sehr nützlich. In Analogie zu [Weiermann 1989] definieren wir zunächst für μ ∈ R ∩ I^{+} und α ∈ T (M) ∩ I^{+}

h_{μ}α := max(K_{μ}α ∪ {0}) + ω^{α}
D_{μ}α := \{ \begin{matrix}α & falls α < μ \\ ψμh_{μ}α & falls α ≥ μ. \end{matrix}

Für beweistheoretische Anwendungen bezüglich KPi benötigt man in jedem Fall eine Aussage der Gestalt

∀μ ∈ R ∩ I ∀α ∈ T (M) ∩ I^{+} (D_{μ}D_{I}α < D_{μ}(I#α)).

Setzt man aber zum Beispiel

μ := (ψI(ω^{I+I+I}))^{+},
α := ψI(ω^{I+I+I})#I,

so gilt

D_{μ}(α#I) = ψμω^{α#I}

und

D_{μ}D_{I}α = ψμ(ω^{I+I+I}#ω^{α}#ω^{D_{I}α}) > D_{μ}(α#I).

Unser Ansatz wäre also schon für eine beweistheoretische Analyse von KPi unzureichend. Es wird jetzt aber ein Detail deutlich, woran unsere Konstruktion scheitert. Die Beziehung

μ ≤ κ ⟹ K_{μ}α ≤ K_{κ}α

gilt nämlich lediglich für κ < I. Zur Sicherstellung der obigen Relation benötigt man in der Definition von h_{μ}α in notwendiger Weise die Koeffizientenmenge K_{I}α. Definiert man etwa

ĥ_{μ}α := max(K_{μ}α ∪ K_{I}α ∪ {0}) + ω^{α}
D̂_{μ}α := \{ \begin{matrix}α & falls α < μ \\ ψμĥ_{μ}α & falls α ≥ μ, \end{matrix}

so läßt sich mit diesen Kollabierungsfunktionen die Analyse von KPi nach bekanntem Muster durchführen. Hierzu sei angemerkt, daß man die Beziehung

D_{μ} = D_{μ} ∘ D_{I},

die in [Weiermann 1989] für T (I) realisiert wird und zum Beispiel in [Jäger, Pohlers 1982] verwendet wird, in keinerlei Form benötigt. Müßte man diese Forderung aus intrinsischen Gründen realisieren, so erwiese sich die Definition der Kollabierungsfunktionen auf T(M) als äußerst kompliziert.

Wir wollen noch am Rande erwähnen, daß die Funktion ĥ_{μ} eine kanonische Einbettung von T(I) in T(M) induziert (siehe [Weiermann 1990b]).

Natürlich reicht für unsere Zwecke die Definition von ĥ_{μ} nicht aus. Es erscheint aber nun zumindest plausibel, daß man bei den noch zu definierenden Funktionen h_{μ} alle Koeffizientenmengen K_{ν}α mit ν ≥ μ berücksichtigen muß. Daß sich diese Idee verwirklichen läßt, wird sich aber erst später nach einiger Rechnung herausstellen.

3.2.1 Die Mengen K_{μ}^{⋆}α

Zunächst bemerken wir das folgende Lemma.

Lemma 3.2.1 K_{ν}α ⊆ K_{Ω}α

Beweis durch Induktion nach dem Grad von α. □

Da K_{Ω}α eine endliche Teilmenge von T(M) ist, dürfen wir daher die folgende Definition treffen.

Definition 3.2.2

(a) K_{μ}^{⋆}α := ⋃{K_{ν}α : ν ≥ μ}

(b) k_{μ}^{⋆}α := max(K_{μ}^{⋆}α ∪ {0})

(c) k_{μ}α := max(K_{μ}α ∪ {0})

Damit erhalten wir als Folgerung das folgende Lemma.

Lemma 3.2.3

(a) k_{μ}^{⋆}α = min{η : ∀ν ≥ μ (α ∈ Ĉ_{ν}(η + 1))}

(b) μ ≤ ν ⟹ K_{μ}^{⋆}α ⊇ K_{ν}^{⋆}α ∧ k_{μ}^{⋆}α ≥ k_{ν}^{⋆}α □

In der Folge werden wir zeigen, daß die Mengen K_{μ}^{⋆}α die wesentlichen Eigenschaften der Mengen G_{μ} aus [Buchholz, Schütte 1983] besitzen.

Lemma 3.2.4 K_{μ}α = K_{μ}SC_{M}α

Beweis durch Induktion nach dem Grad von α. □

Es ist klar, daß ein Ordinalterm ψπα komplizierter als sein Teilterm π strukturiert ist. Dies äußert sich in dem folgenden Lemma.

Lemma 3.2.5 K_{μ}π ⊆ K_{μ}ψπα

Beweis: Man kann den Beweis aus [Rathjen 1990], vgl. etwa Lemma 5.12 (v) und (vi), extrahieren. Trotzdem wollen wir ihn hier ausführen.

1. Fall ψπα ≤ μ^{−} Es sei π = χβγ. Für π ≤ μ^{−} gilt die Behauptung. Es sei also π > μ^{−}.

1.1. Fall γ = δ + 1

Dann gilt mit π^{−} < ψπα ≤ μ^{−}
K_{μ}π = K_{μ}χβγ = K_{μ}χβδ = K_{μ}π^{−} = ∅.

1.2. Fall γ = 0 Hier gilt K_{μ}π = K_{μ}β = K_{μ}SC_{M}β. Nach 1.1.17 und 1.1.19 gilt

SC_{M}β ≤ β^{∗} = π^{−} < ψπα ≤ μ^{−}.
Somit gilt K_{μ}π = ∅.

2. Fall μ^{−} < ψπα < π < μ Nun folgt K_{μ}π = K_{μ}ψπα.

3. Fall μ^{−} < ψπα ∧ μ ≤ π In diesem Fall gilt schließlich K_{μ}π ⊆ K_{μ}ψπα. □

Wir notieren ferner das folgende Lemma.

Lemma 3.2.6 α < β < μ ⟹ K_{μ}α ≤ K_{μ}β Beweis: Aufgrund von k_{μ}β < k_{μ}β + 1 gilt β ∈ Ĉ_{μ}(k_{μ}β + 1) ∩ μ und daher β ⊆ Ĉ_{μ}(k_{μ}β + 1). Somit folgt α ∈ Ĉ_{μ}(k_{μ}β + 1). Dieses liefert k_{μ}α < k_{μ}β + 1, also k_{μ}α ≤ k_{μ}β. □

Die folgenden zwei Lemmata stellen eine Beziehung zwischen den Mengen Ĉ_{π}(β) und Ĉ_{μ}(β) her und sind für das weitere Vorgehen von entscheidender Bedeutung.

Lemma 3.2.7 (Erstes Inklusionslemma) K_{π}α < β ∧ ψπβ ≤ μ^{−} ⟹ K_{μ}α < β

Beweis durch Induktion nach dem Grad von α. Es sei ohne Einschränkung α =_{NF} ψνγ, da sonst die Behauptung trivialerweise oder aus der IV folgt.

1. Fall α < π Mit K_{π}α < β folgt α ∈ Ĉ_{π}(β) ∩ π ⊆ ψπβ ≤ μ^{−} und somit K_{μ}α = ∅ < β.

2. Fall ν > α ≥ π Aufgrund von K_{π}α < β folgt K_{π}ν ∪ K_{π}γ < β sowie γ < β. Nach IV gilt K_{μ}ν ∪ K_{μ}γ < β. Es folgt K_{μ}ψνγ < β. □

Lemma 3.2.8 (Zweites Inklusionslemma) K_{π}α < β ∧ ν^{−} < ψπβ < π < ν ⟹ K_{ν}α ≤ K_{ν}π ∪ {β}

Beweis durch Induktion nach dem Grad von α. Es sei ohne Einschränkung α =_{NF} ψϱγ, da sonst die Behauptung trivialerweise oder aus der IV folgt.

1. Fall α < π < ν Dann gilt K_{ν}α ≤ K_{ν}π ≤ K_{ν}π ∪ {β} aufgrund von Lemma 3.2.6.

2. Fall α > π Dann gilt K_{π}α = K_{π}ϱ ∪ K_{π}γ ∪ {γ} < β. Die IV impliziert nun K_{ν}α ⊆ K_{ν}ϱ ∪ K_{ν}γ ∪ {γ} ≤ {β} ∪ K_{ν}π. □

Lemma 3.2.9 (Fundamentallemma)

(a) ϱ ≤ π ⟹ K_{ϱ}^{⋆}β ≤ K_{ϱ}^{⋆}ψπβ

(b) μ ≤ ν ⟹ K_{μ}^{⋆}K_{ν}α ≤ K_{μ}^{⋆}α

Beweis:

(a) Sei K_{ϱ}^{⋆}β = K_{μ}β für ein μ ≥ ϱ.

1. Fall ψπβ ≤ μ^{−} Aufgrund von K_{π}β < β gilt mit dem ersten Inklusionslemma

K_{μ}β < β ∈ K_{π}ψπβ ⊆ K_{ϱ}^{⋆}ψπβ.

2. Fall μ^{−} < ψπβ < π < μ Wir erhalten mit dem zweiten Inklusionslemma wegen K_{π}β < β

K_{μ}β ≤ {β} ∪ K_{μ}π ⊆ K_{π}ψπβ ∪ K_{μ}ψπβ ⊆ K_{ϱ}^{⋆}ψπβ.

3. Fall μ^{−} < ψπβ und μ ≤ π Hier gilt schließlich K_{μ}β ⊆ K_{μ}α ⊆ K_{ϱ}^{⋆}α.

(b) Wir führen Induktion nach dem Grad von α. Es sei ohne Einschränkung α =_{NF} ψπγ, da sonst die Behauptung trivialerweise oder aus der IV folgt.

1. Fall ψπγ ≤ ν^{−} Dann gilt K_{ν}α = ∅.

2. Fall ν^{−} < ψπγ < π < ν Nach IV gilt hier aufgrund von Lemma 3.2.5

K_{μ}^{⋆}K_{ν}ψπγ = K_{μ}^{⋆}K_{ν}π ≤ K_{μ}^{⋆}π ≤ K_{μ}^{⋆}ψπγ.

3. Fall ν^{−} < ψπγ und ν ≤ π Hier gilt nach (a) und der IV

\begin{aligned}K_{μ}^{⋆}K_{ν}ψπγ & = & K_{μ}^{⋆}K_{ν}γ ∪ K_{μ}^{⋆}K_{ν}π ∪ K_{μ}^{⋆}γ \\ & ≤ & K_{μ}^{⋆}γ ∪ K_{μ}^{⋆}π ≤ K_{μ}^{⋆}ψπγ. □ \end{aligned}

Wir fassen unsere Erkenntnisse in dem folgenden Lemma zusammen und erhalten gemäß der nach 3.2.3 gemachten Bemerkung die folgenden Aussagen.

Satz 3.2.10 (Fundamentale Eigenschaften der K_{μ}^{⋆}-Mengen)

(a) μ ≤ ν ⟹ K_{μ}^{⋆}α ⊇ K_{ν}^{⋆}α

(b) K_{μ}^{⋆}α = K_{μ}^{⋆}SC_{M}α

(c) K_{μ}^{⋆}π ⊆ K_{μ}^{⋆}ψπα

(d) α < β < μ ⟹ k_{μ}^{⋆}α ≤ k_{μ}^{⋆}β

(e) μ ≤ ν ⟹ K_{μ}^{⋆}K_{ν}^{⋆}α ≤ K_{μ}^{⋆}α

(f) ϱ ≤ π ⟹ K_{ϱ}^{⋆}β ≤ K_{ϱ}^{⋆}ψπβ

(g) K_{μ}^{⋆}α = K_{μ}^{⋆}D_{M}α

Beweis : Die Behauptung folgt unmittelbar aus 3.2.3, 3.2.4, 3.2.5, 3.2.6 und 3.2.9. □

Zunächst sei bemerkt, daß die Aussagen 3.2.10(e) und 3.2.10(f) für die K_{μ}- Mengen i. a. falsch sind. Andererseits stellt sich heraus, daß gerade diese Aussagen bei der späteren Betrachtung iterierter Kollabierungen von enormer Bedeutung sind, da sie die Kontrolle von K_{μ}^{⋆}-Mengen von gewissen Subtermen eines betrachteten Termes durch dessen K_{μ}^{⋆}-Menge ermöglicht.

3.2.2 Die Funktionen h_{μ}^{⋆}

Wir wollen uns nun der Konstruktion der Kollabierungsfunktionen zuwenden. Als geeignete Kandidaten bieten sich natürlich die Funktionen

ψ_{μ} : T (M) ∩ M ⟶ μ ∩ T (M)

an. Da diese Funktionen leider nicht überall definiert sind, vergrößern wir daher ein vorgegebenes α < M zu einem h_{μ}^{⋆}α < M derart, daß insbesondere ψμh_{μ}^{⋆}α definiert ist und h_{μ}^{⋆}α die in den Subtermen von α enthaltene Informationsstruktur nur marginal verändert.

Für den ein wenig mit Kollabierungsfunktionen vertrauten Leser ist aufgrund von Satz 3.2.10 klar, wie die Hilfsfunktionen für die Kollabierung anzusetzen sind.

Definition 3.2.11 (Definition der Funktionen h_{μ}^{⋆}) h_{μ}^{⋆}α := k_{μ}^{⋆}α + ω^{α}

Daß diese Definition für unsere Zwecke sinnvoll ist, ergibt sich aus dem folgenden Lemma.

Lemma 3.2.12 k_{μ}^{⋆}h_{μ}^{⋆}α < h_{μ}^{⋆}α

Beweis : Es gelte k_{μ}^{⋆}α = k_{π}α für ein π ≥ μ. Dann gilt nach Teil (b) des Fundamentallemmas

k_{μ}^{⋆}h_{μ}^{⋆}α = k_{μ}^{⋆}(k_{π}α + ω^{α}) ≤ {k_{μ}^{⋆}α} < h_{μ}^{⋆}α. □

Definition 3.2.11 ist eine Verallgemeinerung der ursprünglich auf T(I) bezogenen Definition von h_{μ}^{⋆}α. Aus Lemma 3.2.12 folgen nun unmittelbar:

Lemma 3.2.13 μ ≤ ν ⟹ k_{ν}α < h_{μ}^{⋆}α ∧ h_{ν}^{⋆}α ≤ h_{μ}^{⋆}α □

Lemma 3.2.14 α < β < μ ⟹ h_{μ}^{⋆}α < h_{μ}^{⋆}β

Beweis : Die Behauptung folgt aus 3.2.10(d). □

Lemma 3.2.15 α < M ⟹ h_{μ}^{⋆}α < M ∧ ψμh_{μ}^{⋆}α↓ □

3.2.3 Definition der ≪_{τ}-Relation und der Kollabierungsfunktionen D_{μ}

Die Definition der Funktionen D_{μ} und der Relation ≪_{τ} verläuft nun analog zu [Weiermann 1989].

Definition 3.2.16

(a) h_{μ}α := h_{μ}^{⋆}D_{M}α

(b) D_{μ}α := \{ \begin{matrix}D_{M}α & falls D_{M}α < μ \\ ψμh_{μ}α & sonst \end{matrix}

(c) \begin{aligned}α ≪_{τ} β :⟺ & α ≪_{M} β ∧ \\ & ∀n∀μ_{1} ≥ τ … ∀μ_{n} ≥ τ (D_{μ_{1}} ⋯ D_{μ_{n}}α < D_{μ_{1}} ⋯ D_{μ_{n}}β) \end{aligned}

(d) α ≪_{τ} β :⟺ α = β ∨ α ≪_{τ} β

(e) α ≪ β :⟺ α ≪_{Ω} β

Definition 3.2.17 Für κ⃗ = (κ_{1}, …, κ_{n}) definieren wir lh(κ⃗) := n und Dκ⃗α := D_{κ_{1}} ⋯ D_{κ_{n}}α. Ferner sei D_{<>}α := α. Für P ⊆ ON definieren wir

P ≪_{τ} α :⟺ ∀ξ ∈ P (ξ ≪_{τ} α).

Folgerung 3.2.18

(a) α ≪_{τ} β ⟺ D_{M}α ≪_{τ} D_{M}β ∧ α < β

(b) α ≪_{τ} β ⟹ ∀μ ≥ τ (D_{μ}α ≪_{τ} D_{μ}β)

(c) D_{μ} = D_{μ} ∘ D_{M} □

Die Definition 3.2.16 ist so angelegt, daß 3.2.18(b) trivialerweise gilt. Die Erfüllung dieser Aussage stellte bislang ein Hauptproblem dar. Desweiteren erscheinen die in der Kollabierungsaxiomatik angegebenen Eigenschaften (bis auf die Liftungseigenschaft) zumindest sehr plausibel.

3.3 Semantische Charakterisierung der ≪_{τ}- Relation

In der Folge leiten wir unabhängig voneinander zwei vollständige Charakterisierungen der ≪_{τ}-Relation her, die eine bequeme Handhabung der ≪_{τ}- Relation ermöglichen. Im Gegensatz zu der später betrachteten, klassischen Vorbildern entsprechenden, syntaktischen Charakterisierung benötigt die zunächst entwickelte, semantisch orientierte Charakterisierung keine neuen Konzepte.

Lemma 3.3.1 (Iteriertes Fundamentallemma 1) μ < κ_{n+1} < … < κ_{m} ⟹ K_{μ}^{⋆}α ≤ K_{μ}^{⋆}D_{κ_{n+1}} ⋯ D_{κ_{m}}α

Beweis durch Induktion nach m − n. Für m − n = 0 ist die Behauptung klar. Sei also n − m > 0. Nach IV gilt dann

K_{μ}^{⋆}D_{M}α = K_{μ}^{⋆}α ≤ K_{μ}^{⋆}D_{κ_{n+2}} ⋯ D_{κ_{m}}α.

Mit μ < κ_{n+1} gilt in jedem Fall nach dem Fundamentallemma 3.2.9(a) die Behauptung. □

Lemma 3.3.2 (Iteriertes Fundamentallemma 2) Für μ < κ_{n+1} < … < κ_{m} gilt

\begin{aligned}K_{μ}^{⋆}D_{κ_{n+1}} ⋯ D_{κ_{m}}α ≤ K_{μ}^{⋆}κ_{n+1} & ∪ & … ∪ K_{μ}^{⋆}κ_{m} ∪ K_{μ}^{⋆}α \\ & ∪ & \{h_{κ_{n+1}}D_{κ_{n+2}} ⋯ D_{κ_{m}}α\} ∪ … ∪ \{h_{κ_{m}}α\}. \end{aligned}

Beweis durch Induktion nach m − n. Ist m − n = 0, so ist die Behauptung richtig. Sei also m − n > 0. Im Fall

D_{M}D_{κ_{n+2}} ⋯ D_{κ_{m}}α < κ_{n+1}

folgt die Behauptung aus der IV. Sei also

D_{κ_{n+1}} ⋯ D_{κ_{m}}α = ψκ_{n+1}h_{κ_{n+1}}D_{κ_{n+2}} ⋯ D_{κ_{m}}α.

Sei weiterhin

K_{μ}^{⋆}D_{κ_{n+1}} ⋯ D_{κ_{m}}α = K_{ϱ}D_{κ_{n+1}} ⋯ D_{κ_{m}}α

für ein ϱ ≥ μ. Dann folgt im Fall D_{κ_{n+1}} ⋯ D_{κ_{m}}α < ϱ die Behauptung. Ansonsten gilt

K_{μ}^{⋆}D_{κ_{n+1}} ⋯ D_{κ_{m}}α = K_{ϱ}κ_{n+1} ∪ K_{ϱ}(k_{κ_{n+1}}^{⋆}(D_{κ_{n+2}} ⋯ D_{κ_{m}}α)
+ω^{D_{κ_{n+2}}···D_{κm}α})
∪ {h_{κ_{n+1}}D_{κ_{n+2}} ⋯ D_{κ_{m}}α}
≤ K_{μ}^{⋆}κ_{n+1} ∪ … ∪ {h_{κ_{m}}D_{κ_{m}}α}

nach IV und 3.2.10(e). □

Definition 3.3.3

r(α) := \{ \begin{matrix}α_{n} & falls α =_{NF} α_{1} + ⋯ + α_{n} und α ∉ AP \\ α & falls α ∈ AP \end{matrix}

Folgerung 3.3.4

(a) α < β ∧ γ < r(β) ⟹ α + γ < β

(b) r(h_{μ}^{⋆}α) = ω^{α} □

Lemma 3.3.5 (Semantisches One-Step-Lemma 1) ∀μ ≥ τ (D_{μ}α < D_{μ}β) ⟹ ∀μ ≥ τ (k_{μ}^{⋆}α < h_{μ}α < h_{μ}β)

Beweis: Sei k_{μ}^{⋆}α = k_{ν}α für ein ν ≥ μ ≥ τ. Dann gilt

h_{μ}α = k_{μ}^{⋆}D_{M}α + ω^{D_{M} α} = k_{ν}α + ω^{D_{M} α} = h_{ν}α > k_{μ}^{⋆}α.

1. Fall ν > D_{M}β Für D_{M}α < ν folgt nach Voraussetzung D_{M}α = D_{ν}α < D_{ν}β = D_{M}β. Mit 3.2.14 folgt hier die Behauptung. Für D_{M}α ≥ ν folgt nach Voraussetzung

ψνh_{ν}^{⋆}D_{M}α = D_{ν}α < D_{ν}β = D_{M}β < ν.

Mit 3.2.4 folgt h_{ν}α ∈ K_{ν}D_{ν}α ≤ K_{ν}D_{M}β < h_{ν}β ≤ h_{μ}β.

2. Fall ν ≤ D_{M}β

2.1. Fall D_{M}α ≥ ν Dann folgt nach der Voraussetzung

ψνh_{ν}^{⋆}D_{M}α = D_{ν}α < D_{ν}β = ψνh_{ν}^{⋆}D_{M}β.

Also gilt k_{ν}α < h_{μ}α = h_{ν}^{⋆}D_{M}α < h_{ν}^{⋆}D_{M}β = h_{ν}β ≤ h_{μ}β.

2.2. Fall D_{M}α < ν ≤ D_{M}β

Hier gilt nach Voraussetzung

D_{M}α = D_{ν}α < D_{ν}β = ψνh_{ν}^{⋆}D_{M}β ⊆ C_{ν}(h_{ν}^{⋆}D_{M}β).

Also gilt k_{ν}α = k_{μ}^{⋆}D_{M}α < h_{ν}^{⋆}D_{M}β ≤ h_{μ}β und damit h_{μ}α < h_{μ}β nach 3.3.4(a). □

Korollar 3.3.6 α ≪_{τ} β ⟹ ∀μ ≥ τ∀κ⃗ > μ (h_{μ}Dκ⃗α < h_{μ}Dκ⃗β) □

Lemma 3.3.7 (Semantisches One-Step-Lemma 2) α ≪_{M} β ∧ ∀μ ≥ τ (k_{μ}α < h_{μ}β) ⟹ ∀μ ≥ τ (D_{μ}α < D_{μ}β) Beweis: Sei μ ≥ τ.

1. Fall D_{M}β < μ Dieser Fall ist elementar.

2. Fall D_{M}α < μ < D_{M}β Dann ist K_{μ}D_{M}α = k_{μ}α < h_{μ}^{⋆}D_{M}β und somit

D_{μ}D_{M}α = D_{M}α ∈ Ĉ_{μ}(h^{⋆}D_{M}β) ∩ μ ≤ ψμh_{μ}^{⋆}D_{M}β = D_{μ}D_{M}β.

3. Fall μ ≤ D_{M}α Dann gilt h_{μ}α = h_{μ}^{⋆}D_{M}α = k_{μ}^{⋆}D_{M}α + ω^{D_{M} α}. Es ist für ein ν ≥ μ

k_{μ}^{⋆}D_{M}α = k_{ν}D_{M}α = k_{ν}α < h_{ν}β ≤ h_{μ}β

und ω^{D_{M} α} < ω^{D_{M} β} = r(h_{μ}β). Also gelten h_{μ}α < h_{μ}β und D_{μ}D_{M}α < D_{μ}D_{M}β. □

Damit haben wir eine vorläufige Charakterisierung der ≪_{τ}-Relation.

α ≪_{τ} β ⟺ α ≪_{M} β ∧ ∀μ ≥ τ∀κ⃗ ≥ τ (K_{μ}Dκ⃗D_{M}α < h_{μ}Dκ⃗D_{M}β).

Diese Charakterisierung bringen wir in dem folgenden Satz auf die endgültige Gestalt.

Satz 3.3.8 (Semantische Charakterisierung der ≪_{τ}-Relation)

α ≪_{τ} β ⟺ α < β ∧ SC_{M}α < D_{M}β ∧ ∀μ ≥ τ∀κ⃗ > μ (Dκ⃗β ≥ μ ⟹ k_{μ}α < h_{μ}Dκ⃗β)

Beweis:

” ⇒ “ Es gelte α ≪_{τ} β. Dann gelten zunächst α < β und SC_{M}α < D_{M}β. Für κ⃗ ≥ τ gilt ferner Dκ⃗α ≪_{τ} Dκ⃗β. Also gilt

∀μ ≥ τ (D_{μ}Dκ⃗α < D_{μ}Dκ⃗β)

und damit nach dem ersten semantischen One-Step-Lemma und dem ersten iterierten Fundamentallemma

k_{μ}α ≤ k_{μ}^{⋆}α ≤ k_{μ}^{⋆}Dκ⃗α < h_{μ}Dκ⃗β.

” ⇐ “ Zunächst gilt nach Voraussetzung D_{M}α < D_{M}β. Wir zeigen durch vollständige Induktion

∀m ≥ 0 ∀μ ≥ τ∀κ⃗ ≥ τ (lh(κ⃗) = m ⟹ K_{μ}^{⋆}Dκ⃗α < h_{μ}Dκ⃗β).

Mit dem zweiten semantischen One-Step-Lemma folgt dann die Behauptung. Sei κ⃗ = (κ_{1}, …, κ_{m}) und κ_{1} < … < κ_{m}.

1. Fall lh(κ⃗) = 0 Dann folgt die Behauptung direkt aus der Voraussetzung bzw. nach Lemma 3.2.6.

2. Fall lh(κ⃗) > 0 Nach dem zweiten One-Step-Lemma folgt mit der IV für 1 ≤ i ≤ m und alle σ⃗ = (σ_{1}, …, σ_{m}) ≥ τ

D_{σ_{i}} ⋯ D_{σ_{m}}D_{M}α < D_{σ_{i}} ⋯ D_{σ_{m}}D_{M}β.  (3.1)

Insbesondere folgt Dκ⃗α < Dκ⃗β. Im Fall Dκ⃗β < μ folgt nach 3.2.10(d) K_{μ}^{⋆}Dκ⃗α ≤ K_{μ}^{⋆}Dκ⃗β und damit die Behauptung. Es sei also Dκ⃗β ≥ μ. Ohne Einschränkung der Allgemeinheit sei nach IV

D_{κ_{1}} ⋯ D_{κ_{m}}D_{M}β = ψκ_{1}h_{κ_{1}} … ψκ_{m}h_{κ_{m}}D_{M}β

angenommen, da für D_{κ_{i+1}} ⋯ D_{κ_{m}}D_{M}β < κ_{i} auch D_{κ_{i+1}} ⋯ D_{κ_{m}}D_{M}α < κ_{i} folgt. Aufgrund von Dκ⃗β ≥ μ gilt μ < κ_{1}. Mit κ_{1} < … < κ_{m} folgt für 1 ≤ i ≤ m

K_{μ}^{⋆}κ_{i} ≤ K_{μ}^{⋆}Dκ⃗D_{M}β < h_{μ}Dκ⃗β.

Sei ferner K_{μ}^{⋆}α ≤ K_{ν}α für ein ν ≥ μ. Dann gilt nach Voraussetzung

K_{μ}^{⋆}α = K_{ν}α < h_{ν}Dκ⃗β ≤ h_{μ}Dκ⃗β.

Desweiteren gilt für 1 ≤ i ≤ m nach (3.1), dem ersten iterierten Fundamentallemma und dem ersten semantischen One-Step-Lemma

h_{κ_{i}}D_{κ_{i+1}} ⋯ D_{κ_{m}}α < h_{κ_{i}}D_{κ_{i+1}} ⋯ D_{κ_{m}}β
∈ K_{μ}^{⋆}ψκ_{i}h_{κ_{i}}D_{κ_{i+1}} ⋯ D_{κ_{m}}β
≤ K_{μ}^{⋆}Dκ⃗D_{M}β < h_{μ}Dκ⃗β.

Mit dem zweiten iterierten Fundamentallemma folgt die Behauptung. □

Korollar 3.3.9 α ≪_{M} β ∧ ∀μ ≥ τ (K_{μ}α ≤ K_{μ}^{⋆}β) ⟹ α ≪_{τ} β □

Korollar 3.3.10

(a) α ≪_{τ} α#β

(b) α ≪_{τ} ω^{α}

(c) γ < M ⟹ γ ≪_{τ} φβγ, Φβγ, χβγ (d) γ =_{NF} φαβ ⟹ α ≪_{τ} γ

(e) γ =_{NF} Φαβ ⟹ α ≪_{τ} γ

(f) γ =_{NF} χαβ ∧ α < Λ_{0} ⟹ α ≪_{τ} γ Beweis mit Korollar 3.3.9. □

Satz 3.3.11 Es gelte α ≪_{τ} β. Dann gelten:

(a) α#γ ≪_{τ} β#γ

(b) ω^{α} ≪_{τ} ω^{β}

(c) n · α ≪_{τ} n · β ∧ α · n ≪_{τ} β · n

(d) δ =_{NF} φγβ ⟹ φγα ≪_{τ} δ

(e) δ =_{NF} Φγβ ⟹ Φγα ≪_{τ} δ

(f) β < M ∧ δ =_{NF} χγβ ⟹ χγα ≪_{τ} δ

(g) β < Λ_{0} ∧ δ =_{NF} χβγ ⟹ χαγ ≪_{τ} χβγ Beweis:

(a) Sei γ ≠ 0. Aus α ≪_{M} β folgt zunächst nach Korollar 3.1.5 α#γ ≪_{M}

β#γ. Wegen β ≠ 0 gilt nach Korollar 3.3.10

α ≪_{τ} β ≪_{τ} β#γ und γ ≪_{τ} β#γ.  (3.2)

Es seien nun μ ≥ τ und κ⃗ > μ beliebig gewählt. Dann gilt mit (3.2) k_{μ}(α#γ) ≤ max({k_{μ}α, k_{μ}γ} < h_{μ}Dκ⃗(β#γ).

Also folgt nach 3.3.8 die Behauptung. Die restlichen Behauptungen folgen analog. □

Satz 3.3.12 (a) π ≪ π^{+}

(b) Sα ≪ α

(c) α ≪ β ∧ α^{+} ≤ ν ⟹ Sα ≪ β#ν ∧ α^{+} ≪ β#ν ∧ ω^{D_{M} α+5} ≪ D_{M}β

(d) α, β ≪ γ#ν ∧ S(α#β) < ν ⟹ φα(α#β) ≪ γ#ν

(e) δ < ϱ ∧ δ, ε ≪ φϱ(ϱ#α) ⟹ φδε ≪ φϱ(ϱ#α) □

Die Aussagen von 3.3.10, 3.3.11 und 3.3.12 entsprechen der folgenden, vereinfachten ^{≫}Philosophie der ≪_{τ}-Relation^{≪}:

α ≪_{τ} β ⟺ α < β und die in β enthaltene Terminformation überdeckt die Terminformation von α.

3.4 Syntaktische Charakterisierung der ≪_{τ}- Relation

Obwohl die in 3.3 gegebene Charakterisierung der ≪_{τ}-Relation völlig zufriedenstellend ist, wollen wir hier eine davon unabhängige, syntaktische Darstellung herleiten. Zum einen ermöglicht diese Konstruktion ein vertieftes Verständnis der ≪_{τ}-Relation, zum anderen wird eine erste Beziehung zu den klassischen Konstruktionen hergestellt. Diese ist für das Verständnis der im nächsten Kapitel gegebenen Darstellung von Nutzen. Schließlich sei erwähnt, daß man bei der Behandlung von Ordinalzahlbezeichnungssystemen, die im Gegensatz zu den ψ-Funktionen auf sogenannte θ̄-Funktionen aufbauen, auf den syntaktischen Zugang zurückgreifen muß. Dies liegt insbesondere daran, daß bei solchen Bezeichnungssystemen die <-Relation unter Bezugnahme auf Koeffizientenmengen von starkkritischen Subtermen der betrachteten Ordinalzahlen definiert ist (siehe [Buchholz 1974], [Pohlers 1981] und [Weiermann 1987]).

Vorüberlegungen

Wir wenden uns nun der syntaktischen Charakterisierung der ≪_{τ}- Relation zu. Als Orientierungshilfe dient uns dabei die in [Weiermann 1989] gegebene Darstellung. Wie dort untersuchen wir zunächst die Beziehung

α < β ∧ D_{M}α < D_{M}β ∧ ∀μ (D_{μ}α < D_{μ}β).

Ein neues, effektives Kriterium für diese Relation liefert uns dann die angestrebte Charakterisierung. Für das Ordinalzahlbezeichnungssystem T(I) aus [Buchholz, Schütte 1983] hatte man für α, β ∈ T (I) mit D_{I}α < D_{I}β und α < β

∀μ ≥ τ (D_{μ}α < D_{μ}β) ⟺ ∀μ ≥ τ (SC_{μ}α < D_{μ}β).

Hierbei bezeichnete die Menge SC_{μ}α die Menge der für α relevanten starkkritischen Teilterme von α einer Stufe < μ. (Ursprünglich wurde diese Menge mit K_{μ}α bezeichnet.)

Wir wollen den in [Weiermann 1989] gegebenen Beweis zu Illustrationszwecken kurz rekapitulieren.

Mit Y α sei die (endliche) Menge der für den Aufbau von α als Ordinalterm wichtigen kardinalen Teilterme von α bezeichnet. Ferner sei

μ^{+}(α) := \{ \begin{matrix}min\{ν ∈ Y α : ν ≥ μ\} & falls ∃ν ≥ μ (ν ∈ Y α) \\ μ & sonst \end{matrix}

Desweiteren seien D_{μ} und h_{μ} wie in [Weiermann 1989] definiert. Es ist leicht zu sehen, daß gilt

∀μ ≥ τ (D_{μ}α < D_{μ}β) ⟹ ∀μ ≥ τ (SC_{μ}α < D_{μ}β).

Für die andere Richtung haben wir zu zeigen, daß gilt

∀μ ≥ τ (SC_{μ}α < D_{μ}β) ⟹ ∀μ ≥ τ (h_{μ}α < h_{μ}β).

Es sei nun μ ≥ τ beliebig. Wir führen Induktion nach der Anzahl der Elemente in Y α \ (μ + 1). Für π := μ^{+}(α) gilt im Fall μ < π, den wir ohne Einschränkung annehmen, aufgrund der IV h_{π}α < h_{π}β. Aus SC_{μ}α < D_{μ}β folgt für den nichttrivialen Fall β ≥ μ: K_{μ}SC_{μ}α < h_{μ}β. Für die K_{μ}-Mengen gelten nun die folgenden wichtigen Eigenschaften.

K_{μ}α = K_{μ^{+}}α ∪ K_{μ}SC_{μ}α  (3.3)

K_{μ^{+}}α = K_{μ^{+}(α)}α  (3.4)

Aus K_{π}α < h_{π}α < h_{π}β ≤ h_{μ}β folgt nach (3.3) und (3.4) h_{μ}α < h_{μ}β und damit D_{μ}α < D_{μ}β.

Dieser Beweis läßt sich mit einigem Aufwand auf die jetzt vorliegende Situation übertragen, obwohl das Bezeichnungssystem T(I) nicht kanonisch in T(M) eingebettet liegt. Die erste Hauptschwierigkeit besteht darin ein Analogon für die Beziehung (3.4) zu finden, da die Beziehung (3.4) für die K_{μ}-Mengen in unserer Situation nicht uneingeschränkt richtig ist.

3.4.1 Die R-Mengen

Wir definieren nun die Menge Rα, die die für den Aufbau von α als Ordinalterm wesentlichen regulären Teilterme enthält. Die Begriffsbildung entspricht der in der Literatur (siehe [Pohlers 1981] und [Weiermann 1989]) verwendeten Definition der Y-Menge von α.

Definition 3.4.1 (Induktive Definition von Rα) (R1) R0 := RM := ∅

(R2) α =_{NF} α_{1} + ⋯ + α_{n} ⟹ Rα := Rα_{1} ∪ … ∪ Rα_{n}

(R3) α =_{NF} φβγ ⟹ Rα := Rβ ∪ Rγ

(R4) α =_{NF} Φβγ ⟹ Rα := Rβ ∪ Rγ

(R5) α =_{NF} χβγ ∈ R ⟹ Rα := Rβ ∪ Rγ ∪ {α}

α =_{NF} χβγ ∉ R ⟹ Rα := Rβ ∪ Rγ

(R6) α =_{NF} ψπβ ⟹ Rα := Rπ ∪ (Rβ ∩ π)

Würde man in (R6) definieren Rα := Rπ ∪ Rβ, so würde die Menge Rα alle regulären Teilterme von α beinhalten. Dies wäre aber für unsere Zwecke ungünstig, da sich dann die in K_{μ}^{⋆}Rα enthaltene Information nicht mehr durch K_{μ}^{⋆}α überdecken ließe, was sich später beim Beweis der Liftungseigenschaft als sehr wesentlich erweisen wird (siehe auch 3.5.1(a)).

Folgerung 3.4.2

(a) Rα ⊆ R

(b) π ∈ R ⟹ π ∈ Rπ

(c) π ∈ Rψπβ □

Die Begiffsbildung Rα ist durch 3.4.2(a) motiviert. Ein erstes Indiz der Bedeutung der Menge Rα für die Struktur von α findet man in dem folgenden Lemma.

Lemma 3.4.3 Rα < ν ⟹ K_{ν}α = ∅

Beweis durch Induktion nach dem Grad von α. Es sei ohne Einschränkung α =_{NF} ψπβ, da sonst die Behauptung trivialerweise oder aus der IV folgt. In diesem Fall gilt Rα = Rπ ∪ (Rβ ∩ π). Nach IV gilt K_{ν}π = ∅.

1. Fall α ≤ ν^{−} Hier gilt K_{ν}α = ∅.

2. Fall ν^{−} < ψπβ < π < ν Sodann folgt K_{ν}α = K_{ν}π = ∅.

3. Fall ν^{−} < ψπβ ∧ ν ≤ π Aufgrund von π ∈ Rα < ν tritt dieser Fall nicht auf. □

Definition 3.4.4

μ^{+}(α) := \{ \begin{matrix}min\{ν ∈ Rα : ν ≥ μ\} & falls ∃ν ≥ μ (ν ∈ Rα) \\ μ & sonst \end{matrix}

In dem folgenden Lemma tritt die fundamentale Bedeutung der Mengen Rα für unsere Konstruktion überaus deutlich zutage. Wir erhalten nämlich für beliebiges ν eine effektive Majorisierung der Menge K_{ν}α durch Mengen der Gestalt K_{π}α mit π ∈ Rα. Dies bedeutet, daß in gewissen Sinne die Menge Rα, die für den Aufbau von α charakteristischen regulären Teilterme enthält.

Lemma 3.4.5 (Majorisierungslemma)

(a) K_{μ^{+}}α ⊆ K_{μ}α

(b) K_{μ}α ≤ ⋃{K_{ν}α : ν ∈ Rα ∧ ν ≥ μ}

(c) μ < ν ≤ μ^{+}(α) ⟹ k_{ν}^{⋆}α = k_{μ^{+}(α)}^{⋆}α

Der Beweis erfolgt in allen Fällen durch Induktion nach dem Grad von α.

(a) Es sei ohne Einschränkung α =_{NF} ψπβ, da sonst die Behauptung trivialerweise oder aus der IV folgt.

1. Fall ψπβ ≤ μ Hier gilt offenbar K_{μ^{+}}α = ∅.

2. Fall μ < ψπβ In diesem Fall gilt nach IV

K_{μ^{+}}α = K_{μ^{+}}β ∪ K_{μ^{+}}π ∪ {β} ⊆ K_{μ}β ∪ K_{μ}π ∪ {β} = K_{μ}β.

(b) Es sei ohne Einschränkung α =_{NF} ψπβ, da sonst die Behauptung trivialerweise oder aus der IV folgt. Dann ist Rα = Rπ ∪ (Rβ ∩ π). Sei V := ⋃{K_{ν}α : ν ∈ Rα ∧ ν ≥ μ}.

1. Fall α ≤ μ^{−} In diesem Fall ist die Behauptung klar.

2. Fall μ^{−} < α < π < μ Dann gilt nach Lemma 3.2.5 und der IV

\begin{aligned}K_{μ}α & = & K_{μ}π ≤ ⋃\{K_{ν}π : ν ∈ Rπ ∧ ν ≥ μ\} \\ & ⊆ & ⋃\{K_{ν}ψπβ : ν ∈ Rπ ∧ ν ≥ μ\} ⊆ V. \end{aligned}

3. Fall μ^{−} < α ∧ μ ≤ π Dann ist K_{μ}α = K_{μ}π ∪ K_{μ}β ∪ {β}. Es ist π ∈ Rα und β ∈ K_{π}α, sowie π ≥ μ. Also ist β ∈ V. Ferner ergibt sich nun nach IV und 3.2.5

\begin{aligned}K_{μ}π & ≤ & ⋃\{K_{ν}π : ν ∈ Rπ ∧ ν ≥ μ\} \\ & ⊆ & ⋃\{K_{ν}ψπβ : ν ∈ Rα ∧ ν ≥ μ\} = V. \end{aligned}

Schließlich gilt nach IV K_{μ}β ≤ ⋃{K_{ν}β : ν ∈ Rβ ∧ ν ≥ μ}. Sei ν ∈ Rβ und ν ≥ μ.

3.1. Fall α ≤ ν^{−}

Es gilt K_{π}β < β und somit nach dem ersten Inklusionslemma K_{ν}β < β ∈ K_{π}α ≤ V.

3.2. Fall ν^{−} < α < π < ν

Nach IV und 3.2.5 gilt dann

\begin{aligned}K_{ν}π & ≤ & ⋃\{K_{σ}π : σ ∈ Rπ ∧ σ ≥ ν\} \\ & ≤ & ⋃\{K_{σ}π : σ ∈ Rα ∧ σ ≥ μ\} ≤ V. \end{aligned}

Aufgrund des zweiten Inklusionslemmas gilt mit K_{π}β < β

K_{ν}β ≤ {β} ∪ K_{ν}π ≤ V.

3.3. Fall ν^{−} < α ∧ ν ≤ π Hier gilt schließlich K_{ν}β ≤ K_{ν}α ⊆ V. Denn es ist ν = π ∈ Rπ ⊆ Rα oder ν < π und ν ∈ Rβ ∩ π ⊆ Rα.

(c) Folgt leicht aus (b). □

Wir erhalten somit unmittelbar das folgende Korollar.

Korollar 3.4.6 μ < μ^{+}(α) ⟹ k_{μ^{+}}^{⋆}α = k_{μ^{+}(α)}^{⋆}α □

Faßt man μ^{+} als semantische Nachfolgerkardinalzahl von μ auf, so läßt sich im Fall μ < μ^{+}(α) μ^{+}(α) als syntaktische, durch das Termmaterial von α gegebene Nachfolgerkardinalzahl von μ bzgl. α auffassen. Korollar 3.4.6 stellt eine wichtige Beziehung zwischen diesen Konzepten her und ist das in 3.4 angestrebte Analogon zu (3.4).

Aus dem Beweis von 3.4.5 wird deutlich, weshalb die entsprechende Aussage für die K_{μ}-Mengen nicht zutrifft. I.a. hat nämlich μ^{+}(α) einen anderen Unerreichbarkeitstypus als μ^{+}.

3.4.2 Die SC_{μ}-Mengen

In diesem Abschnitt beschäftigen wir uns mit den SC_{μ}-Mengen. Zunächst definieren wir diese und zeigen dann das Analogon zu (3.4). Weiterhin stellen wir die in der Folge benötigten Eigenschaften dieser Mengen zusammen.

Definition 3.4.7 (Induktive Definition von SC_{μ}α)

(SC_{μ}1) SC_{μ}0 := SC_{μ}M := ∅

(SC_{μ}2) α ∈ SC ∩ μ ⟹ SC_{μ}α = {α}

(SC_{μ}3) α =_{NF} α_{1} + ⋯ + α_{n} ⟹ SC_{μ}α = SC_{μ}α_{1} ∪ … ∪ SC_{μ}α_{n} (SC_{μ}4) α =_{NF} φβγ ⟹ SC_{μ}α = SC_{μ}β ∪ SC_{μ}γ (SC_{μ}5) α =_{NF} Φβγ ≥ μ ⟹ SC_{μ}α = SC_{μ}β ∪ SC_{μ}γ (SC_{μ}6) α =_{NF} χβγ ≥ μ ⟹ SC_{μ}α = SC_{μ}β ∪ SC_{μ}γ (SC_{μ}7) α =_{NF} ψβγ ≥ μ ⟹ SC_{μ}α = SC_{μ}β ∪ SC_{μ}γ

Die Begriffsbildung ist durch das folgende Lemma motiviert.

Lemma 3.4.8 SC_{μ}α ⊆ T (M) ∩ SC ∩ μ. Beweis durch Induktion nach dem Grad von α. □

Korollar 3.4.9 SC_{μ}α ≤ α □

Definition 3.4.10 Für Mengen P, Q ⊆ T (M) sei definiert P ∼ Q :⟺ P ≤ Q ∧ Q ≤ P.

Es gilt nun das folgende Lemma.

Lemma 3.4.11 (Erstes Fundamentallemma für die SC_{μ}-Mengen)

(a) K_{μ}α = K_{μ^{+}}α ∪ K_{μ}SC_{μ}α

(b) K_{μ}^{⋆}SC_{μ}α ≤ K_{μ}^{⋆}α

(c) K_{μ}^{⋆}α = K_{μ^{+}}^{⋆}α ∪ K_{μ}SC_{μ}α

(d) K_{μ}^{⋆}α ∼ K_{μ^{+}}^{⋆}α ∪ K_{μ}^{⋆}SC_{μ}α

(e) K_{μ}^{⋆}α ∼ K_{μ^{+}(α)}^{⋆}α ∪ K_{μ}^{⋆}SC_{μ}α ∼ K_{μ^{+}(α)}^{⋆}α ∪ K_{μ}SC_{μ}α Der Beweis von (a) und (b) erfolgt jeweils durch Induktion nach dem Grad von α.

(a) 1. Fall α = 0 ∨ α = M Dieser Fall ist trivial.

2. Fall α ∉ SC In diesem Fall folgt die Behauptung unmittelbar aus der IV.

3. Fall α ∈ SC

3.1. Fall α < μ

Dann gilt mit 3.4.5(a) die Behauptung. 3.2. Fall α ≥ μ

Es sei ohne Einschränkung α =_{NF} ψπβ, da sonst die Behauptung trivialerweise oder aus der IV folgt. Es gelte also α =_{NF} ψπβ > μ = (μ^{+})^{−}. Hier gelten nun

K_{μ}α = K_{μ}π ∪ K_{μ}β ∪ {β}
K_{μ^{+}}α = K_{μ^{+}}π ∪ K_{μ^{+}}β ∪ {β}
K_{μ}SC_{μ}α = K_{μ}SC_{μ}π ∪ K_{μ}SC_{μ}β.

Eine Anwendung der IV impliziert die Behauptung.

(b) Wir betrachten den einzig nichttrivialen Fall α =_{NF} ψπβ und α > μ. Hier gilt nach dem Fundamentallemma 3.4.5(b) und der IV

K_{μ}^{⋆}SC_{μ}α = K_{μ}^{⋆}SC_{μ}π ∪ K_{μ}^{⋆}SC_{μ}β ≤ K_{μ}^{⋆}π ∪ K_{μ}^{⋆}β ≤ K_{μ}^{⋆}ψπβ.

(c) Folgt nun einfach aus (a) und K_{μ}^{⋆}α = K_{μ^{+}}^{⋆}α ∪ K_{μ}α.

(d) Folgt aus (b) und (c).

(e) folgt mit dem Majorisierungslemma aus (c) und (d). □

Lemma 3.4.12

(a) μ ≤ π < M ⟹ SC_{μ}α ≤ SC_{π}α ≤ SC_{M}α (b) μ ≤ π ∧ K_{π}β < α ⟹ SC_{μ}β < ψπα

(c) μ ≤ π ⟹ SC_{μ}α < ψπα

(d) μ ≤ π ⟹ SC_{μ}π < ψπα

(e) μ ≤ π ⟹ SC_{μ}π ≤ SC_{μ}ψπα Beweis:

(a) Die Behauptung wird durch Induktion nach α bewiesen. Wir betrachten

die kritischen Fälle: 1. Fall α ∈ SC ∩ π

In diesem Fall gilt SC_{μ}α ≤ {α} = SC_{π}α nach 3.4.9.

2. Fall α =_{NF} ψνβ > π

Aus der IV folgt

SC_{μ}α = SC_{μ}ν ∪ SC_{μ}β ≤ SC_{π}ν ∪ SC_{π}β = SC_{π}α. Schließlich gilt in beiden Fällen SC_{μ}α ≤ {α} = SC_{M}α.

(b) Aus K_{π}SC_{π}β ⊆ K_{π}β < α folgt nach (a) SC_{μ}β ≤ SC_{π}β ⊆ Ĉ_{π}(α) ∩ π ⊆ ψπα.

(c) Folgt aus (a) und (b).

(d) Aus K_{π}SC_{π}π ⊆ K_{π}π = ∅ folgt nach (a) SC_{μ}π ≤ SC_{π}π ⊆ Ĉ_{π}(α) ∩ π ⊆ ψπα.

(e) Folgt aus (d). □ Lemma 3.4.13 (Zweites Fundamentallemma für die SC_{μ}-Mengen)

(a) μ < M ≤ α ⟹ SC_{μ}α < D_{M}α

(b) μ < M ≤ α ⟹ SC_{μ}α ≤ SC_{μ}D_{M}α

(c) μ < M ≤ α ⟹ SC_{μ}α < D_{μ}D_{M}α

(d) μ ≤ α < M ⟹ SC_{μ}α < D_{μ}D_{M}α (e) α < μ < M ⟹ SC_{μ}α = SC_{μ}D_{μ}α = SC_{μ}D_{μ}D_{M}α ≤ α = D_{μ}α

(f) α < μ < M ∧ α ∉ SC ⟹ SC_{μ}α < D_{μ}α

(g) μ < κ ⟹ SC_{μ}α ≤ SC_{μ}D_{κ}α

(h) μ < κ⃗ ⟹ SC_{μ}α ≤ D_{μ}Dκ⃗α

(i) μ < κ⃗ ∧ μ ≤ Dκ⃗α ⟹ SC_{μ}α < D_{μ}Dκ⃗α

(j) μ < κ⃗ ∧ α ∉ SC ⟹ SC_{μ}α < D_{μ}Dκ⃗α Beweis:

(a) Man hat nach 1.1.17 SC_{M}α < D_{M}α = χα0. Mit 3.4.12(a) folgt die Behauptung.

(b) Die Behauptung folgt aus (a).

(c) Für D_{M}α < μ folgt die Behauptung aus (a). Im Fall μ ≤ D_{M}α = χα0

gilt mit 3.4.12(b) und 3.2.12.

SC_{μ}α = SC_{μ}χα0 ⊆ SC_{μ}h_{μ}χα0 < ψμh_{μ}χα0 = D_{μ}D_{M}α.

(d) Mit 3.2.12 und 3.4.12(b) folgt hier SC_{μ}α ⊆ SC_{μ}h_{μ}α < ψμh_{μ}α = D_{μ}D_{M}α.

(e) Die Behauptung folgt aus SC_{μ}α ≤ α.

(f) Mit α ∉ SC folgt SC_{μ}α < α und somit die Behauptung.

(g) Nach (b) dürfen wir D_{M}α ≥ κ annehmen. Mit 3.4.12(a) folgt im Fall

D_{κ}α < μ nach (d)

SC_{μ}α ≤ SC_{κ}α = SC_{κ}D_{M}α ≤ {D_{κ}α} = SC_{μ}D_{κ}α.

Für D_{κ}α ≥ μ folgt aber SC_{μ}α ⊆ SC_{μ}h_{κ}α ⊆ SC_{μ}D_{κ}α.

(h) Mit (c)–(e) und iterierter Anwendung von (g) folgt SC_{μ}α ≤ SC_{μ}Dκ⃗α ≤ D_{μ}Dκ⃗α.

(i) Nach Voraussetzung gilt Dκ⃗α ≥ μ. Mit (c), (d) und (g) folgt

SC_{μ}α ≤ SC_{μ}Dκ⃗α < D_{μ}Dκ⃗α.

(j) Nach (i) dürfen wir Dκ⃗α < μ annehmen. Sei κ⃗ = (κ_{1}, …, κ_{n}) und Dκ⃗α = ψκ_{1}h_{κ_{1}} ⋯ ψκ_{n}h_{κ_{n}}α. Für n = 0 folgt die Behauptung aus (f). Ansonsten folgt nach (i) und 3.4.12(a)

SC_{μ}α ≤ SC_{κ_{1}}α < Dκ⃗α = D_{μ}Dκ⃗α. □

Dieses Fundamentallemma zeigt sehr schön, daß die Menge SC_{μ}α durch alle möglichen iterierten Kollabierungen D_{μ}Dκ⃗D_{M}α mit μ < κ⃗ majorisiert wird. Anschaulich klar wird das Lemma durch die Aussage (b) aus Lemma 3.4.12. Die Tatsache, daß ψπα in Normalform ist, impliziert insbesondere, daß in α keine Subterme auftreten, die komplizierter als ψπα sind.

Lemma 3.4.14 (Syntaktisches One-Step-Lemma 1) ∀μ ≥ τ (SC_{μ}α < D_{μ}β) ⟹ ∀μ ≥ τ (K_{μ}^{⋆}α < h_{μ}β = h_{μ}^{⋆}D_{M}β)

Beweis durch Induktion nach der Anzahl der Elemente in Rα \ (μ + 1). (Diese Induktion bezeichnen wir in der Folge mit R-Induktion.) Sei μ ≥ τ beliebig gewählt.

1. Fall μ^{+}(α) = μ In diesem Fall gilt Rα < μ^{+} und damit K_{μ^{+}}^{⋆}α = ∅. Sodann folgt

K_{μ}^{⋆}α ∼ K_{μ^{+}}^{⋆}α ∪ K_{μ}SC_{μ}α = K_{μ}SC_{μ}α.

1.1. Fall D_{M}β ≥ μ Aus SC_{μ}α ∈ ψμh_{μ}^{⋆}D_{M}β ∩ T (M) ⊆ Ĉ_{μ}(h_{μ}^{⋆}D_{M}β) folgt

K_{μ}SC_{μ}α < h_{μ}^{⋆}D_{M}β. Alsdann folgt K_{μ}^{⋆}α < h_{μ}^{⋆}D_{M}β.

1.2. Fall D_{M}β < μ Es gilt K_{μ}^{⋆}D_{M}β < h_{μ}^{⋆}D_{M}β. Nach Voraussetzung gilt somit

SC_{μ}α < D_{M}β ∈ Ĉ_{μ}(h_{μ}^{⋆}D_{M}β) ∩ μ ⊆ ψh_{μ}^{⋆}D_{M}β
und daher K_{μ}α = K_{μ}SC_{μ}α < h_{μ}^{⋆}(D_{M}β).

2. Fall μ^{+}(α) > μ Nach IV gilt für ν = μ^{+}(α) nun K_{ν}^{⋆}α < h_{ν}^{⋆}(D_{M}β). Weiterhin gilt K_{μ}^{⋆}α ∼ K_{μ^{+}(α)}^{⋆}α ∪ K_{μ}^{⋆}SC_{μ}α nach dem ersten Fundamentallemma für die SC_{μ}-Mengen. Es folgt K_{μ^{+}(α)}^{⋆}α < h_{ν}^{⋆}(D_{M}β) ≤ h_{μ}^{⋆}(D_{M}β).

2.1. Fall D_{M}β ≥ μ Hier gilt nach Voraussetzung

SC_{μ}α < D_{μ}D_{M}β = ψμh_{μ}^{⋆}(D_{M}β).

Also gilt K_{μ}SC_{μ}α < h_{μ}^{⋆}(D_{M}β). Es folgt K_{μ}^{⋆}α < h_{μ}^{⋆}(D_{M}β).

2.2. Fall D_{M}β < μ

Es gilt K_{μ}D_{M}β < h_{μ}^{⋆}(D_{M}β). Aufgrund der Voraussetzung gilt jetzt

SC_{μ}α < D_{μ}D_{M}β = D_{M}β ∈ Ĉ_{μ}(h_{μ}^{⋆}(D_{M}β)).

Wiederum gilt K_{μ}SC_{μ}α < h_{μ}^{⋆}(D_{M}β). Alsdann erhält man K_{μ}^{⋆}α < h_{μ}^{⋆}(D_{M}β). □

Korollar 3.4.15 (Syntaktisches One-Step-Lemma 2) Unter den Voraussetzungen

• α < β

• D_{M}α < D_{M}β

• ∀μ ≥ τ (SC_{μ}α < D_{μ}β)

gilt ∀μ ≥ τ (h_{μ}α < h_{μ}β ∧ D_{μ}α < D_{μ}β)

Beweis : Es sei μ ≥ τ. Wir zeigen zuerst h_{μ}^{⋆}(D_{M}α) < h_{μ}^{⋆}(D_{M}β). Es sei h_{μ}^{⋆}(D_{M}α) = k_{μ}^{⋆}D_{M}α + ω^{D_{M} α}. Mit 3.4.14 erhält man

k_{μ}^{⋆}D_{M}α = k_{μ}^{⋆}α < h_{μ}^{⋆}(D_{M}β) = h_{μ}β.

3.3.4 impliziert nun h_{μ}^{⋆}(D_{M}α) < h_{μ}^{⋆}(D_{M}β). Für die zweite Behauptung haben wir D_{μ}D_{M}α < D_{μ}D_{M}β zu zeigen.

1. Fall D_{M}β < μ Hier gilt die Behauptung trivialerweise.

2. Fall D_{M}α ≥ μ Aus h_{μ}^{⋆}(D_{M}α) < h_{μ}^{⋆}(D_{M}β) folgt

D_{μ}D_{M}α = ψμh_{μ}^{⋆}(D_{M}α) < ψμh_{μ}^{⋆}(D_{M}β) = D_{μ}D_{M}β.

3. Fall D_{M}α < μ ≤ D_{M}β

3.1. Fall α < M Nach dem ersten syntaktischen One-Step-Lemma gilt K_{μ}α < h_{μ}^{⋆}(D_{M}β). Damit gilt

D_{μ}D_{M}α = α ∈ Ĉ_{μ}(h_{μ}^{⋆}(D_{M}β)) ∩ μ ≤ ψμh_{μ}^{⋆}(D_{M}β) = D_{μ}D_{M}β.

3.2. Fall α ≥ M

Jetzt gilt D_{M}α = χα0 < μ. Nach dem ersten syntaktischen One-Step-Lemma gilt K_{μ}α < h_{μ}^{⋆}(D_{M}β). Sodann folgt

D_{μ}D_{M}α = χα0 < ψμh_{μ}^{⋆}D_{M}β = D_{μ}D_{M}β. □

Lemma 3.4.16 μ ≤ π ⟹ SC_{μ}D_{M}α ⊆ SC_{μ}h_{π}α

Der Beweis ist offensichtlich. □

In der Folge zeigen wir, daß in 3.4.16 im wesentlichen auch die umgekehrte Inklusion gilt.

Lemma 3.4.17 π =_{NF} χβγ ⟹ {β^{∗}, γ} ≤ π^{−} + 1

Beweis: Nach Lemma 1.1.17 gilt β^{∗} ≤ π^{−}. Im Fall γ = 0 ist nichts zu zeigen. Sei γ = δ + 1. Da χ_{β} eine Normalfunktion ist, gilt δ ≤ χβδ = π^{−}. Somit gilt die Behauptung. □

Lemma 3.4.18 (Drittes Fundamentallemma für die SC_{μ}-Mengen) μ ≤ π ⟹ SC_{μ}K_{π}α ≤ SC_{μ}α

Beweis durch Induktion nach dem Grad von α.

1. Fall α = 0 ∨ α = M Die Behauptung ist hier offenbar richtig.

2. Fall α ∉ SC Die Behauptung folgt unmittelbar aus der IV.

3. Fall α =_{NF} Φβγ Mit der IV erhält man zunächst

SC_{μ}K_{π}α = SC_{μ}K_{π}β ∪ SC_{μ}K_{π}γ ≤ SC_{μ}β ∪ SC_{μ}γ.

Für α ≥ μ gilt SC_{μ}α = SC_{μ}β ∪ SC_{μ}γ und damit die Behauptung. Im Falle α < μ gilt hingegen

SC_{μ}β ∪ SC_{μ}γ ≤ max{β, γ} ≤ {Φβγ} = SC_{μ}α

und es folgt auch hier die Behauptung.

4. Fall α =_{NF} χβγ Aus der IV erhält man

SC_{μ}K_{π}α = SC_{μ}K_{π}β ∪ SC_{μ}K_{π}γ ≤ SC_{μ}β ∪ SC_{μ}γ.

Gilt nun α ≥ μ, so folgt

SC_{μ}α = SC_{μ}β ∪ SC_{μ}γ

und hiermit die Behauptung. Es sei daher α < μ angenommen. Zunächst gilt dann SC_{μ}γ ≤ γ < {χβγ} = SC_{μ}α. Weiterhin hat man nach 3.4.12(a)

SC_{μ}β ≤ SC_{M}β < {χβγ} = SC_{μ}α.

Die Behauptung gilt daher ebenfalls.

5. Fall α =_{NF} ψνβ Ist α ≤ π^{−}, dann gilt K_{π}α = ∅.

5.1. Fall π^{−} < ψνβ < ν < π

5.1.1. Fall μ ≤ ν In diesem Fall gilt mit 3.4.12 und der IV

SC_{μ}K_{π}α = SC_{μ}K_{π}ν ≤ SC_{μ}ν ≤ SC_{μ}ψνβ = SC_{μ}α.

5.1.2. Fall ν < μ Sodann gilt SC_{μ}α = {ψνβ}. Es sei ν =_{NF} χδγ. Dann gilt nach 3.4.12(a) und 3.4.17, sowie der IV

SC_{μ}K_{π}α = SC_{μ}K_{π}ν = SC_{μ}K_{π}β ∪ SC_{μ}K_{π}γ
≤ SC_{μ}β ∪ SC_{μ}γ
≤ SC_{M}β ∪ {γ} ≤ ν^{−} + 1 < ψνβ.

5.2. Fall π^{−} < ψνβ ∧ π ≤ ν.

5.2.1. Fall α ≥ μ Die IV impliziert hier

\begin{aligned}SC_{μ}K_{π}ψνβ & = & SC_{μ}K_{π}β ∪ SC_{μ}K_{π}ν ∪ SC_{μ}β \\ & ≤ & SC_{μ}β ∪ SC_{μ}ν = SC_{μ}ψνβ. \end{aligned}

5.2.2. Fall α < μ Wir haben μ ≤ π ≤ ν. Aus K_{ν}β < β folgt nach 3.4.12(c) SC_{μ}β < ψνβ. Mit 3.4.12(d) ergibt sich ferner SC_{μ}ν < ψνβ. Also folgt schließlich mit der IV

\begin{aligned}SC_{μ}K_{π}α & = & SC_{μ}K_{π}β ∪ SC_{μ}K_{π}ν ∪ SC_{μ}β \\ & ≤ & SC_{μ}β ∪ SC_{μ}ν < \{ψνβ\} = SC_{μ}α. □ \end{aligned}

Lemma 3.4.19 μ ≤ π ⟹ SC_{μ}h_{π}α ∼ SC_{μ}D_{M}α Beweis : Nach 3.4.16 gilt SC_{μ}D_{M}α ⊆ SC_{μ}h_{π}D_{M}α. Es sei nun h_{π}α = k_{ϱ}D_{M}α + ω^{D_{M} α} für ein ϱ ≥ π. Dann folgt mit dem dritten Fundamentallemma für die SC_{μ}- Mengen

SC_{μ}h_{π}α = SC_{μ}(k_{ϱ}D_{M}α + ω^{D_{M} α}) ≤ SC_{μ}D_{M}α. □

Korollar 3.4.20 D_{M}α ≥ π ∧ D_{π}α ≥ μ ⟹ SC_{μ}D_{π}α ∼ SC_{μ}π ∪ SC_{μ}α

Beweis : Die Behauptung folgt aus Lemma 3.4.19. □

Lemma 3.4.21 (Syntaktisches One-Step-Lemma 3) α ≪_{M} β ⟹ (∀μ ≥ τ (D_{μ}α < D_{μ}β) ⟺ ∀μ ≥ τ (SC_{μ}α < D_{μ}β))

Beweis: Es gelte α ≪_{M} β.

” ⇒ “ Die Behauptung folgt aus dem zweiten syntaktischen One-Step-Lemma.

” ⇐ “ Es sei μ ≥ τ. Mit 3.4.13 erhält man SC_{μ}α ≤ D_{μ}D_{M}α < D_{μ}D_{M}β aufgrund der Voraussetzung. □

Mit dem dritten One-Step-Lemma haben wir bereits eine vollständige Charakterisierung der ≪_{τ}-Relation, denn es gilt das folgende Lemma.

Lemma 3.4.22

α ≪_{τ} β ⟺ (α < β ∧ SC_{M}α < D_{M}β ∧ ∀μ ≥ τ∀κ⃗ ≥ τ(SC_{μ}Dκ⃗α < D_{μ}Dκ⃗β)) □

Diese Charakterisierung läßt sich wie folgt vereinfachen.

Satz 3.4.23

α ≪_{τ} β ⟺ (α < β ∧ SC_{M}α < D_{M}β ∧ ∀μ ≥ τ∀κ⃗ > μ(Dκ⃗β ≥ μ ⟹ SC_{μ}α < D_{μ}Dκ⃗β))

Beweis:

” ⇒ “ Man hat für τ ≤ μ ≤ κ⃗ nach Voraussetzung, 3.4.22 und 3.4.13(h)

SC_{μ}α ≤ D_{μ}D_{κ}α < D_{μ}D_{κ}β.
Weiterhin gelten α < β und SC_{M}α < D_{M}β.

” ⇐ “ Aus SC_{M}α < D_{M}β folgt mit α < β zunächst D_{M}α < D_{M}β. Es seien nun μ ≥ τ und κ⃗ = (κ_{1}, …, κ_{n}) > τ beliebig. Wir zeigen D_{μ}Dκ⃗α < D_{μ}Dκ⃗β durch Induktion nach der Länge von κ⃗. Die Behauptung ist dann offensichtlich gezeigt.

1. Fall lh(κ⃗) = 0 Hier gilt die Behauptung aufgrund des zweiten syntaktischen One-Step-Lemmas, da ∀μ ≥ τ (SC_{μ}α < D_{μ}D_{M}β) gilt.

2. Fall lh(κ⃗) > 0 Nach IV dürfen wir ∀σ⃗ ≥ τ (lh(σ⃗) ≤ lh(κ⃗) ⟹ Dσ⃗α < Dσ⃗β) annehmen. Es sei ohne Einschränkung

Dκ⃗β = ψκ_{1}h_{κ_{1}} ⋯ ψκ_{n}h_{κ_{n}}D_{M}β.

Nach dem dritten syntaktischen One-Step-Lemma genügt es, für σ ≥ τ noch

SC_{σ}Dκ⃗D_{M}α < D_{σ}Dκ⃗D_{M}β

zu zeigen. Da für Dκ⃗D_{M}β < σ nun

SC_{σ}Dκ⃗D_{M}α ≤ Dκ⃗D_{M}α < Dκ⃗D_{M}β

folgt, dürfen wir Dκ⃗D_{M}β ≥ σ und damit κ⃗ > σ annehmen. 2.1. Fall Dκ⃗D_{M}α < σ

Hier gibt es die folgenden drei Fälle. 2.1.1. Fall Dκ⃗D_{M}α = α

Dann gilt nach Voraussetzung

SC_{σ}Dκ⃗D_{M}α = SC_{σ}α < Dκ⃗D_{M}β.

2.1.2. Fall Dκ⃗D_{M}α = χα0 In diesem kritischen Fall kommt uns nun, wie in 3.4.15, das erste syntaktische One-Step-Lemma zu Hilfe. Mit der Voraussetzung folgt nämlich aus 3.4.14

K_{σ}α < h_{σ}Dκ⃗D_{M}β

und damit

SC_{σ}Dκ⃗D_{M}α = {χα0} < D_{σ}Dκ⃗D_{M}β.

2.1.3. Fall Dκ⃗D_{M}α = ψκ_{i}h_{κ_{i}}D_{κ_{i+1}} ⋯ D_{κ_{n}}D_{M}α für ein i mit 1 ≤ i ≤

n
Nach 1.1.22 folgt mit Dκ⃗D_{M}α < σ

SC_{σ}Dκ⃗D_{M}α = {Dκ⃗D_{M}α} < D_{σ}Dκ⃗D_{M}β.

2.2. Fall Dκ⃗D_{M}α ≥ σ Hier gilt nach 3.4.20

SC_{σ}Dκ⃗D_{M}α ∼ SC_{σ}κ_{1} ∪ … ∪ SC_{σ}κ_{n} ∪ SC_{σ}α.

Nach Voraussetzung erhält man SC_{σ}α < D_{σ}Dκ⃗D_{M}β. Deswei-

teren gilt für i ∈ {1, …, n}

\begin{aligned}SC_{σ}κ_{i} & ≤ & SC_{σ}D_{κ_{i}}D_{κ_{i+1}} … D_{κ_{n}}β \\ & ≤ & SC_{σ}Dκ⃗D_{M}β < D_{σ}Dκ⃗D_{M}β \end{aligned}

nach 3.4.12 und 3.4.13. Es folgt die Behauptung. □

Diese Charakterisierung bringen wir auf die endgültige Form.

Satz 3.4.24 (Syntaktische Charakterisierung der ≪_{τ}-Relation) α ≪_{τ} β ⟺ α < β ∧ ∀μ ≥ τ∀κ⃗ > μ (Dκ⃗β ≥ μ ⟹ SC_{μ}α < D_{μ}Dκ⃗β)

Beweis:

” ⇒ “ Diese Richtung folgt aus 3.4.23.

” ⇐ “ Nach 3.4.23 bleibt SC_{M}α < D_{M}β zu zeigen. Offenbar gilt

SC_{M}α ≤ ⋃_{μ<M} ⋂_{μ<π<M} SC_{π}α.

Es sei also SC_{M}α ≤ SC_{π}α für ein π mit π > D_{M}β. Dann gilt

SC_{M}α ≤ SC_{π}α < D_{π}D_{M}β = D_{M}β

und somit die Behauptung. □

Korollar 3.4.25 α ≪_{M} β ∧ ∀μ ≥ τ (SC_{μ}α ≤ SC_{μ}β) ⟹ α ≪_{τ} β Beweis: Es seien μ > 0 und κ⃗ > μ beliebig. Nach 3.4.23 haben wir zu zeigen: SC_{μ}α < D_{μ}Dκ⃗β.

1. Fall Dκ⃗D_{M}β ≥ μ Dann gilt mit 3.4.13(i) und der Voraussetzung SC_{μ}α ≤ SC_{μ}β < D_{μ}Dκ⃗β.

2. Fall Dκ⃗D_{M}β < μ

Sei κ⃗ = (κ_{1}, …, κ_{n}). 2.1. Fall n = 0

Für α ≥ M gilt nach 3.4.13

SC_{μ}α < D_{M}α < D_{M}β = D_{μ}Dκ⃗β.

Im Falle α < M gilt

SC_{μ}α ≤ α ≤ D_{M}α < D_{M}β = D_{μ}Dκ⃗β.
2.2. Fall n > 0

Es gelte ohne Einschränkung

Dκ⃗β = ψκ_{1}h_{κ_{1}}D_{κ_{2}} ⋯ D_{κ_{n}}β.

Es gilt nun nach 3.4.12(a) und 3.4.13(i)

SC_{μ}α ≤ SC_{μ}β ≤ SC_{κ_{1}}β ≤ SC_{κ_{1}}h_{κ_{1}}D_{κ_{2}} ⋯ D_{κ_{n}}β < Dκ⃗β.

□

Dies Kriterium entspricht Korollar 3.3.9 bei der semantischen Charakterisierung. Es gilt sogar

∀μ ≥ τ (SC_{μ}α ≤ SC_{μ}β) ⟹ ∀μ ≥ τ (k_{μ}^{⋆}α ≤ k_{μ}^{⋆}β)  (3.5)

Dieses folgt durch R-Induktion nach Rα.

1. Fall Rα ≤ μ Dann gilt k_{μ}^{⋆}α = k_{μ}^{⋆}SC_{μ}α. Es gilt nach Lemma 3.4.12(b)

SC_{μ}α ≤ SC_{μ}β < ψμ(k_{μ}^{⋆}β + 1)

und somit k_{μ}^{⋆}SC_{μ}α ≤ k_{μ}^{⋆}β.

2. Fall μ < μ^{+}(α) Nach IV gilt k_{μ_{∗}^{+}(α)}^{⋆}α ≤ k_{μ^{+}(α)}^{⋆}β ⊆ k_{μ}^{⋆}β. Ferner gilt wie im ersten Fall k_{μ}SC_{μ}α ≤ k_{μ}^{⋆}β und damit nach 3.4.11 die Behauptung.

Die Umkehrung in (3.5) gilt natürlich nicht. Wir erhalten nun erneut alle bereits bewiesenen Eigenschaften der ≪_{τ}-Relation. Diese listen wir noch einmal auf. Korollar 3.4.26

(a) α ≪_{τ} α#β

(b) α ≪_{τ} ω^{α}

(c) γ ≪_{τ} φβγ, Φβγ, χβγ

(d) γ =_{NF} φαβ ∨ γ =_{NF} Φαβ ⟹ α ≪_{τ} γ

(e) α < Λ_{0} ⟹ α ≪_{τ} χαγ Beweis: Die Behauptung folgt mit 3.4.25. □

Satz 3.4.27 Es gelte α ≪_{τ} β. Dann gelten:

(a) α#γ ≪_{τ} β#γ

(b) ω^{α} ≪_{τ} ω^{β}

(c) n · α ≪_{τ} n · β ∧ α · n ≪_{τ} β · n

(d) δ =_{NF} φγβ ⟹ φγα ≪_{τ} δ

(e) δ =_{NF} Φγβ ⟹ Φγα ≪_{τ} δ

(f) δ =_{NF} χγβ ⟹ χγα ≪_{τ} δ Beweis: Die Behauptung folgt aus 3.4.23. □

Satz 3.4.28

(a) π ≪ π^{+}

(b) Sα ≪ α

(c) α ≪ β ∧ α^{+} ≤ ν ⟹ Sα ≪ β#ν ∧ α^{+} ≪ β#ν ∧ ω^{D_{M} α+5} ≪ D_{M}β (d) α, β ≪ γ#ν ∧ S(α#β) < ν ⟹ φα(α#β) ≪ γ#ν

(e) δ < ϱ ∧ δ, ε ≪ φϱ(ϱ#α) ⟹ φδε ≪ φϱ(ϱ#α) □

Zum Abschluß wollen wir die Gleichwertigkeit der beiden Ansätze erneut beweisen. Lemma 3.4.29 Die semantische Charakterisierung der ≪_{τ}-Relation impliziert die syntaktische. Beweis: Die Behauptung ergibt sich aus κ_{n} < … < κ_{m} ∧ k_{κ_{n}}^{⋆}α < h_{κ_{n}}D_{κ_{n+1}} ⋯ D_{κ_{m}}β ⟹ SC_{κ_{n}}α < D_{κ_{n}} ⋯ D_{κ_{m}}β, was wir mit Induktion nach m − n beweisen.

1. Fall n − m = 0

Aus k_{κ_{m}}^{⋆}α < h_{κ_{m}}β folgt für β ≥ κ_{m}

K_{κ_{m}}^{⋆}SC_{κ_{m}}α ≤ k_{κ_{m}}^{⋆}α < h_{κ_{m}}^{⋆}β

und damit SC_{κ_{m}}α < ψκ_{m}h_{κ_{m}}β = D_{κ_{m}}β. Ist hingegen β < κ_{m}, so gilt SC_{κ_{m}}α ≤ α < β = D_{κ_{m}}β.

2. Fall m − n > 0 Nach IV gilt SC_{κ_{n}}α ≤ SC_{κ_{n+1}}α < D_{κ_{n+1}} ⋯ D_{κ_{m}}β. Im Falle D_{κ_{n+1}} ⋯ D_{κ_{m}}β < κ_{n} folgt also die Behauptung. Es sei daher D_{κ_{n+1}} ⋯ D_{κ_{m}}β ≥ κ_{n}. Mit k_{κ_{n}}^{⋆}α < h_{κ_{n}}^{⋆}D_{κ_{n+1}} ⋯ D_{κ_{m}}β folgt

K_{κ_{n}}^{⋆}SC_{κ_{n}}α ≤ k_{κ_{n}}^{⋆}α < h_{κ_{n}}^{⋆}D_{κ_{n+1}} ⋯ D_{κ_{m}}β.

Also gilt SC_{κ_{n}}α < ψκ_{n}h_{κ_{n}}^{⋆}D_{κ_{n+1}} ⋯ D_{κ_{m}}β. □

Lemma 3.4.30 Die syntaktische Charakterisierung der ≪_{τ}-Relation impliziert die semantische.

Beweis: Die Behauptung folgt aus der syntaktischen Charakterisierung mit Hilfe des ersten syntaktischen One-Step-Lemmas. □

3.5 Die Kollabierungsliftungseigenschaft der ≪_{τ}-Relation

In der Folge beschäftigen wir uns mit der bei der imprädikativen Schnittelimination benötigten Kollabierungsliftungseigenschaft. Die Kollabierungsliftungseigenschaft besagt im wesentlichen, daß man zu vorgegebener Ordinalzahl α und zu vorgegebener Stufe μ eine iterierte Kollabierung unterhalb von μ konstruieren kann, die lediglich durch die in α und μ enthaltene Information wesentlich majorisiert wird. Diese Kollabierung kann also im wesentlichen auf ihre Argumente zurückgeliftet werden. In der Folge geben wir zwei voneinander unabhängige Beweise der Liftungseigenschaft an, die auf den verschiedenen Charakterisierungen der ≪_{τ}-Relation beruhen.

3.5.1 Fundamentale Eigenschaften der R-Mengen

Zunächst müssen wir noch einige technische Voraussetzungen zusammenstellen.

Lemma 3.5.1 (Fundamentallemma für die R-Mengen)

(a) K_{μ}Rα ≤ K_{μ}^{⋆}α

(b) μ < ϱ ∈ Rα ⟹ SC_{μ}ϱ ≤ SC_{μ}α

(c) Rμ^{+} ⊆ Rμ ∪ {μ^{+}}

(d) RK_{μ}α ∩ μ ⊆ Rα

(e) RD_{μ}α ⊆ Rα ∪ Rμ (f) μ < ν ≤ μ^{+}(α) ⟹ k_{ν}^{⋆}α = k_{μ^{+}(α)}^{⋆}α

(g) μ < ν ≤ μ^{+}(α) ⟹ h_{ν}^{⋆}α = h_{μ^{+}(α)}^{⋆}α

(h) Rα < μ ⟹ K_{μ}^{⋆}α = ∅

Beweis:

(a) Wir zeigen die Behauptung durch Induktion nach dem Grad von α. Es sei ohne Einschränkung α =_{NF} ψπβ, da sonst die Behauptung trivialerweise oder aus der IV folgt. Zunächst gilt Rα = Rπ ∪ (Rβ ∩ π).

1. Fall ψπβ ≤ μ^{−}

1.1. Fall π ≤ μ^{−} Dann gilt K_{μ}(Rβ ∩ π) = ∅. Überdies gilt nach IV und 3.2.5 K_{μ}Rπ ≤ K_{μ}^{⋆}π ≤ K_{μ}^{⋆}α. Also gilt in diesem Fall die Behauptung.

1.2. Fall ψπβ ≤ μ^{−} < μ < π Nun gilt K_{μ}Rπ ≤ K_{μ}^{⋆}π ⊆ K_{μ}^{⋆}ψπβ. Weiterhin gilt mit 3.2.9 nach IV

K_{μ}(Rβ ∩ π) ⊆ K_{μ}^{⋆}β ≤ K_{μ}^{⋆}ψπβ.

Somit gilt auch hier die Behauptung.

2. Fall μ^{−} < ψπβ < π < μ Zunächst hat man nach IV

K_{μ}Rπ ⊆ K_{μ}^{⋆}π ⊆ K_{μ}^{⋆}ψπβ.

Ferner gilt für ϱ ∈ Rβ ∩ π wegen ϱ < π < μ nach 3.2.6

K_{μ}ϱ ≤ K_{μ}^{⋆}π ≤ K_{μ}^{⋆}ψπβ.

3. Fall μ^{−} < ψπβ ∧ μ ≤ π Mit der IV ergibt sich aus 3.2.9(b) wegen μ ≤ π

K_{μ}Rα ⊆ K_{μ}^{⋆}β ∪ K_{μ}^{⋆}π ⊆ K_{μ}^{⋆}ψπβ.

(b) Wir führen erneut Induktion nach dem Grad von α.

1. Fall α = 0 ∨ α = M Hier ist die Behauptung klar.

2. Fall α =_{NF} α_{1} + ⋯ + α_{n} ∨ α =_{NF} φβγ Die Behauptung folgt hier unmittelbar aus der IV.

3. Fall α =_{NF} Φβγ

3.1. Fall α ≥ μ Es sei etwa ϱ ∈ Rβ. Dann folgt nach IV SC_{μ}ϱ ≤ SC_{μ}β ⊆ SC_{μ}α. Der Fall ϱ ∈ Rγ wird ebenso behandelt.

3.2. Fall α < μ Nun gilt mit IV

SC_{μ}ϱ ≤ SC_{μ}β ∪ SC_{μ}γ ≤ β ∪ γ ≤ {α} = SC_{μ}α.

4. Fall α =_{NF} χβγ

4.1. Fall ϱ = α

Hier ist nichts mehr zu zeigen. 4.2. Fall ϱ ∈ Rβ

4.2.1. Fall α < μ Jetzt gilt mit IV und Lemma 3.4.13(a)

SC_{μ}ϱ ≤ SC_{μ}β ≤ SC_{M}β < {α} = SC_{μ}α.

4.2.2. Fall α ≥ μ

Die IV impliziert hier SC_{μ}ϱ ≤ SC_{μ}β ⊆ SC_{μ}α.

4.3. Fall ϱ ∈ Rγ

4.3.1. Fall α < μ Dann ist auch γ < μ und es gilt nach IV

SC_{μ}ϱ ≤ SC_{μ}γ ≤ γ < {α} = SC_{μ}α.

4.3.2. Fall α ≥ μ Hier folgt nach IV SC_{μ}ϱ ≤ SC_{μ}γ ⊆ SC_{μ}α.

5. Fall α =_{NF} ψπβ Dies ist der kritische Fall.

5.1. Fall α ≥ μ Eine Anwendung der IV ergibt hier

SC_{μ}ϱ ≤ SC_{μ}π ∪ SC_{μ}β = SC_{μ}α.

5.2. Fall α < μ

5.2.1. Fall π ≥ μ Hier folgt mit Lemma 3.4.12(c), (d) und der IV

SC_{μ}ϱ ≤ SC_{μ}π ∪ SC_{μ}β < {ψπβ} = SC_{μ}α.

5.2.2. Fall π < μ Es gilt nun ϱ ∈ Rπ ∪ (Rβ ∩ π). Wir unterscheiden nun die Fälle 5.2.2.1. ϱ ∈ Rβ ∩ π

Dies widerspricht π < μ < ϱ. 5.2.2.2. ϱ ∈ Rπ

Hier gelte ϱ > μ > π = χγδ.

5.2.2.2.1. ϱ = π Dieser Fall ist ausgeschlossen. 5.2.2.2.2. ϱ ∈ Rδ Hier folgt nach IV SC_{μ}ϱ ≤ SC_{μ}δ ≤ δ ≤ π^{−} < ψπβ. 5.2.2.2.3. μ ∈ Rγ Hier gilt nach IV und 1.1.17

SC_{μ}ϱ ≤ SC_{μ}γ ≤ SC_{M}γ ≤ π^{−} < ψπβ.

(c) Der Beweis ist trivial.

(d) Die Behauptung folgt durch Induktion nach dem Grad von α. Es sei ohne Einschränkung α =_{NF} ψπβ, da sonst die Behauptung trivialerweise oder aus der IV folgt.

1. Fall ψπβ ≤ μ^{−} Hier gilt K_{μ}ψπβ = 0.

2. Fall μ^{−} < ψπβ < π < μ Mit der IV erhält man hier

RK_{μ}ψπβ ∩ μ = RK_{μ}π ∩ μ ⊆ Rπ ⊆ Rψπβ.

3. Fall μ^{−} < ψπβ ∧ π ≥ μ Sodann impliziert die IV

RK_{μ}ψπβ ∩ μ = (RK_{μ}π ∪ RK_{μ}β ∪ Rβ) ∩ μ
⊆ (Rπ ∪ Rβ) ∩ π
⊆ Rπ ∪ (Rβ ∩ π) = Rψπβ.

(e) Der Beweis folgt mit (d).

(f) und (g) sind klar nach dem Majorisierungslemma 3.4.5 und (h) folgt aus 3.4.3. □

Bemerkung 3.5.2 Beim Beweis von 3.5.1(a) wird im 2. Fall die Bedeutung von (R7) offenbar.

Vorüberlegungen

Wir untersuchen vorab die Frage, ob man auf die κ⃗-Tupel in der Formulierung der Liftungseigenschaft verzichten kann.

Dieses ist nicht der Fall, wie das folgende (willkürlich gewählte) Beispiel darlegt.

Es seien

α := ψΩ(χ30)#χ10,
β := ψΩ(χ30)#χ20.

Dann gilt α ≪ β. Es gilt aber weder D_{Ω}α ≪ β, noch gibt es μ ∈ [Ω^{++}, χ10] mit D_{Ω}D_{μ}α ≪ β, denn es gilt für μ ∈ [Ω^{++}, χ10]

D_{Ω}D_{Ω^{+}}β = ψΩ(χ30#D_{Ω^{+}}β) < ψΩ(χ30#D_{μ}α)
= D_{Ω}D_{μ}α < D_{Ω}α = ψΩ(χ30 + ω^{α}).

Glücklicherweise gilt aber D_{Ω}D_{Ω^{+}}α ≪ β.

Um das Verständnis für unser weiteres Vorgehen zu erleichtern, beweisen wir den folgenden Spezialfall der Liftungseigenschaft, der die wesentlichen Schwierigkeiten schon beinhaltet. Im Anschluß daran beweisen wir die Liftungseigenschaft in voller Allgemeinheit.

Lemma Unter den Voraussetzungen

• Ω^{+} ≤ α ≪ β < M

• ∀ν ≥ Ω^{+} (h_{ν}^{⋆}α = h_{Ω^{+}}^{⋆}α) gelten D_{Ω}D_{Ω^{+}}α ≪ β und D_{Ω^{+}}α ≪ β.

Beweis: Es genügt für β ≥ σ⃗ = (σ_{1}, …, σ_{n}) > Ω mit σ_{1} < … < σ_{n}

D_{Ω}D_{Ω^{+}}α < D_{Ω}Dσ⃗β

zu zeigen. Sei zunächst n = 0. Dann gilt D_{Ω^{+}}α ≤ α < β ≤ r(h_{Ω}β). Ferner gilt mit α < β

K_{Ω}^{⋆}D_{Ω^{+}}α = K_{Ω}^{⋆}α ∪ {h_{Ω^{+}}^{⋆}α} ≤ h_{Ω}α < h_{Ω}β.

Also gilt h_{Ω}D_{Ω^{+}}α < h_{Ω}β und damit D_{Ω}D_{Ω^{+}}α < D_{Ω}β. Es sei nun n > 0. Wiederum gilt

K_{Ω}^{⋆}D_{Ω^{+}}α ≤ K_{Ω}^{⋆}α ∪ {h_{Ω^{+}}^{⋆}α}.

Mit α ≪ β gilt K_{Ω}^{⋆}α < h_{Ω}^{⋆}Dσ⃗β. Es gilt nun nach der zweiten Voraussetzung wegen α ≪ β

h_{Ω^{+}}^{⋆}α = h_{σ_{n}}^{⋆}α < h_{σ_{n}}^{⋆}β ∈ K_{Ω}Dσ⃗β < h_{Ω}^{⋆}Dσ⃗β

und damit

K_{Ω}^{⋆}D_{Ω^{+}}α < h_{Ω}^{⋆}Dσ⃗β.

Wir zeigen nun

D_{Ω^{+}}α < Dσ⃗β.  (3.6)

(Man beachte, daß hierbei wegen der zweiten Voraussetzung der im Ausgangsbeispiel beschriebene Defekt nicht auftreten kann.) Für σ_{1} > Ω^{+} ist (3.6) klar. Ansonsten gilt

h_{Ω^{+}}^{⋆}α = h_{σ_{n}}^{⋆}α < h_{σ_{n}}^{⋆}β ≤ h_{σ_{1}}^{⋆}D_{σ_{2}} ⋯ D_{σ_{n}}β

und damit (3.6). Insgesamt folgt h_{Ω}^{⋆}D_{Ω^{+}}α < h_{Ω}^{⋆}(Dσ⃗β) und damit die erste Behauptung. Die zweite Behauptung ist implizit mitgezeigt worden. □

3.5.2 Nichtiterierte Liftung

Definition 3.5.3 α π-homogen :⟺ ∀τ (π ≤ τ ≤ α ⟹ k_{π}^{⋆}α ≤ k_{τ}^{⋆}α)

Lemma 3.5.4 Unter den Voraussetzungen

• α < M

• π < κ_{n+1} < … < κ_{m}

• α π-homogen

folgt h_{π}α ≤ h_{π}D_{κ_{n+1}} ⋯ D_{κ_{m}}α.

Beweis durch Induktion nach m-n. Ist m − n = 0, so gilt die Behauptung. Sei also m − n > 0. Es sei ohne Einschränkung

D_{κ_{n+1}} ⋯ D_{κ_{m}}α = ψκ_{n+1}h_{κ_{n+1}}D_{κ_{n+2}} ⋯ D_{κ_{m}}α.

Da α π-homogen ist, ist α auch κ_{n+1}-homogen und mit der IV folgt

h_{π}D_{κ_{n+1}} ⋯ D_{κ_{m}}α ≥ h_{κ_{n+1}}D_{κ_{n+2}} ⋯ D_{κ_{m}}α ≥ h_{κ_{n+1}}α.

Aufgrund von π < κ_{n+1} ≤ α und der π−Homogenität von α folgt h_{π}α ≤ h_{κ_{n+1}}α. Es folgt die Behauptung. □

Lemma 3.5.5 Unter den Voraussetzungen

• α < M

• α, π ≪ β

• D_{π}α < κ_{n+1} < … < κ_{m}

• α π-homogen

folgt D_{π}α < D_{κ_{n+1}} ⋯ D_{κ_{m}}β.

Beweis: Wegen D_{π}α < κ_{n+1} dürfen wir α ≥ π annehmen. Wir zeigen die Behauptung durch Induktion nach m-n. Ist m − n = 0, so folgt mit α ≪ β sofort die Behauptung. Sei also m − n > 0. Die IV impliziert D_{π}α < D_{κ_{n+2}} ⋯ D_{κ_{m}}β. Es sei κ_{n+1} ≤ D_{κ_{n+2}} ⋯ D_{κ_{m}}β. Wir haben zu zeigen

ψπh_{π}α < ψκ_{n+1}h_{κ_{n+1}}D_{κ_{n+2}} ⋯ D_{κ_{m}}β.

1. Fall π = κ_{n+1} Mit α ≪ β folgt D_{κ_{n+2}} ⋯ D_{κ_{m}}α ≪ D_{κ_{n+2}} ⋯ D_{κ_{m}}β und daraus mit Lemma 3.5.4

h_{π}α ≤ h_{π}D_{κ_{n+2}} ⋯ D_{κ_{m}}α < h_{π}D_{κ_{n+2}} ⋯ D_{κ_{m}}β.

Also gilt hier die Behauptung.

2. Fall π < κ_{n+1} Mit π ≪ β erhält man dann

π = D_{κ_{n+1}} ⋯ D_{κ_{m}}π < D_{κ_{n+1}} ⋯ D_{κ_{m}}β.

Sodann gilt die Behauptung.

3. Fall π > κ_{n+1} Mit D_{π}α < κ_{n+1} ist dann auch

ψπh_{π}α < ψκ_{n+1}h_{κ_{n+1}}D_{κ_{n+2}} ⋯ D_{κ_{m}}β. □

Lemma 3.5.6 Unter den Voraussetzungen

• α < M

• α ≪ β

• μ ≤ π

• μ < κ_{n+1} < … < κ_{m}

• α π-homogen

folgt h_{π}^{⋆}α < h_{μ}D_{κ_{n+1}} ⋯ D_{κ_{m}}β.

Beweis: durch Induktion nach m − n. Ist m − n = 0, so hat man aufgrund von α ≪_{τ} β

h_{π}^{⋆}α ≤ h_{μ}α < h_{μ}β.

Sei also m − n > 0. Nach IV dürfen wir

D_{κ_{n+1}} ⋯ D_{κ_{m}}β = ψκ_{n+1}h_{κ_{n+1}} … ψκ_{m}h_{κ_{m}}β

annehmen.

1. Fall π ≥ κ_{m} Dann gilt

h_{π}^{⋆}α ≤ h_{κ_{m}}^{⋆}α < h_{κ_{m}}β ≤ K_{μ}^{⋆}D_{κ_{n+1}} ⋯ D_{κ_{m}}β < h_{μ}D_{κ_{n+1}} ⋯ D_{κ_{m}}β.

2. Fall π < κ_{n+1} < … < κ_{m} In diesem Fall gilt nach 3.5.4

\begin{aligned}h_{π}^{⋆}α & ≤ & h_{π}D_{κ_{n+1}} ⋯ D_{κ_{m}}α < h_{π}D_{κ_{n+1}} ⋯ D_{κ_{m}}β \\ & ≤ & h_{μ}D_{κ_{n+1}} ⋯ D_{κ_{m}}β. \end{aligned}

3. Fall κ_{n+1} ≤ π < κ_{m} Sei i minimal mit π < κ_{i} und n + 2 ≤ i ≤ m. Alsdann folgt nach 3.5.4, 3.3.6 und dem ersten iterierten Fundamentallemma

h_{π}^{⋆}α ≤ h_{π}D_{κ_{i}} ⋯ D_{κ_{m}}α < h_{π}D_{κ_{i}} ⋯ D_{κ_{m}}β
≤ h_{κ_{i−1}}D_{κ_{i}} ⋯ D_{κ_{m}}β ∈ K_{μ}^{⋆}D_{κ_{i−1}} ⋯ D_{κ_{m}}β
≤ K_{μ}^{⋆}D_{κ_{n+1}} ⋯ D_{κ_{m}}β < h_{μ}D_{κ_{n+1}} ⋯ D_{κ_{m}}β. □

Lemma 3.5.7 (Nichtiterierte Liftung) α < M ∧ α, π ≪ β ∧ α π-homogen ⟹ D_{π}α ≪ β

1. Beweis (semantisch) Wir haben für μ < κ⃗ k_{μ}^{⋆}D_{π}α < h_{μ}Dκ⃗β zu zeigen. Es sei α ≥ π, da sonst die Behauptung trivialerweise gilt. Ferner gelte k_{μ}^{⋆}D_{π}α = k_{ν}D_{π}α für ein ν ≥ μ.

1. Fall D_{π}α ≤ ν^{−} Hier ist nichts zu zeigen.

2. Fall ν^{−} < D_{π}α < π < ν Aufgrund von π ≪ β folgt K_{ν}D_{π}α = K_{ν}π ≤ K_{μ}^{⋆}π < h_{μ}Dκ⃗β.

3. Fall ν^{−} < D_{π}α ∧ π ≥ ν Jetzt gilt K_{ν}D_{π}α = K_{ν}π ∪ K_{ν}h_{π}α ∪ {h_{π}α}. Nach 3.5.6 gilt h_{π}^{⋆}α ≤ h_{μ}Dκ⃗β. Mit α, π ≪ β folgt die Behauptung. □

2. Beweis (syntaktisch) Seien μ > 0 und κ⃗ > μ beliebig. Weiterhin gelte α ≥ π.

1. Fall D_{π}α ≥ μ Dann gilt mit π, α ≪ β nun SC_{μ}D_{π}α ≤ SC_{μ}α ∪ SC_{μ}π < D_{μ}Dκ⃗β.

2. Fall D_{π}α < μ < κ⃗ Hier gilt mit 3.5.5 SC_{μ}D_{π}α = {D_{π}α} < D_{μ}Dκ⃗β. □

Bemerkung 3.5.8 Auf die π-Homogenität von α kann man in 3.5.7 nicht verzichten. Die Philosophie beim Beweis der allgemeinen Liftungseigenschaft besteht nun darin, ein κ⃗ zu finden derart, daß Dκ⃗α π-homogen ist und Dκ⃗α durch β wesentlich majorisiert wird.

3.5.3 Allgemeine Liftung

Lemma 3.5.9 ϱ < α < M ∧ ϱ ∈ Rα ∧ ϱ < κ_{n+1} < … < κ_{m} ⟹ ϱ < D_{κ_{n+1}} ⋯ D_{κ_{m}}α Beweis durch Induktion nach m − n. Ist m − n = 0, dann ist die Behauptung hier klar. Sei also m − n > 0. Nach IV gilt ϱ < D_{κ_{n+2}} ⋯ D_{κ_{m}}α. Wir dürfen

D_{κ_{n+1}} ⋯ D_{κ_{m}}α = ψκ_{n+1}h_{κ_{n+1}}D_{κ_{n+2}} ⋯ D_{κ_{m}}α

annehmen. Es gilt ϱ < κ_{n+1}. Nach Lemma 3.5.1(a) und Lemma 3.3.1 gilt

k_{κ_{n+1}}ϱ ≤ k_{κ_{n+1}}^{⋆}α ≤ k_{κ_{n+1}}^{⋆}D_{κ_{n+2}} ⋯ D_{κ_{m}}α < h_{κ_{n+1}}D_{κ_{n+2}} ⋯ D_{κ_{m}}α.

Also gilt die Behauptung. □

Lemma 3.5.10 α < M ⟹ Rα ∩ α ≪ α

1. Beweis (semantisch) Seien μ, κ⃗ beliebig mit Ω ≤ μ < κ⃗ gewählt. Dann gilt nach 3.5.1

k_{μ}^{⋆}(Rα ∩ α) ≤ k_{μ}^{⋆}Dκ⃗α < h_{μ}Dκ⃗α. □

2. Beweis (syntaktisch) Es seien μ > 0 und κ⃗ > μ. Wir haben für Dκ⃗α ≥ μ zu zeigen SC_{μ}ϱ < D_{μ}Dκ⃗α.

1. Fall μ ≤ ϱ Hier gilt nach Lemma 3.5.1(b) SC_{μ}ϱ ≤ SC_{μ}α < D_{μ}Dκ⃗α.

2. Fall ϱ < μ Die Behauptung folgt hier nach Lemma 3.5.9. □

Definition 3.5.11 R^{+}(α) := {κ^{+} : κ ∈ Rα}

Lemma 3.5.12 α < M ∧ α ≪ β ⟹ R^{+}(α) ∩ (α + 1) ≪ β □ Lemma 3.5.13 (Homogenitätslemma) Unter den Voraussetzungen

• α < M

• μ ≤ ν < κ_{n+1} < … < κ_{m} ∧ κ_{n+1}, …, κ_{m} ∈ R^{+}(α)

• k_{μ}^{⋆}α ≤ k_{ν}^{⋆}α

gilt k_{μ}^{⋆}D_{κ_{n+1}} ⋯ D_{κ_{m}}α ≤ k_{ν}^{⋆}D_{κ_{n+1}} ⋯ D_{κ_{m}}α

Beweis durch Induktion nach m-n. Ist m − n = 0, so ist nichts zu zeigen. Sei also m − n > 0. Es sei ohne Einschränkung D_{κ_{n+1}} ⋯ D_{κ_{m}}α = ψκ_{n+1}h_{κ_{n+1}}D_{κ_{n+2}} ⋯ D_{κ_{m}}α. Hier gilt dann

\begin{aligned}K_{μ}^{⋆}ψκ_{n+1}h_{κ_{n+1}}D_{κ_{n+2}} ⋯ D_{κ_{m}}α ≤ K_{μ}^{⋆}κ_{n+1} & ∪K_{μ}^{⋆}h_{κ_{n+1}}D_{κ_{n+2}} ⋯ D_{κ_{m}}α∪ \\ & \{h_{κ_{n+1}}D_{κ_{n+2}} ⋯ D_{κ_{m}}α\}. \end{aligned}

Mit ν < κ_{n+1} ist h_{κ_{n+1}}D_{κ_{n+2}} ⋯ D_{κ_{m}}α ∈ K_{ν}^{⋆}D_{κ_{n+1}} ⋯ D_{κ_{m}}α. Ferner gilt aufgrund von 3.5.1(a) und κ_{n+1} ∈ R^{+}(α)

K_{μ}^{⋆}κ_{n+1} = K_{μ}^{⋆}κ_{n+1}^{−} ≤ K_{μ}^{⋆}α ≤ k_{ν}^{⋆}α ≤ k_{ν}^{⋆}D_{κ_{n+1}} ⋯ D_{κ_{m}}α.

Schließlich gilt mit 3.2.9 und der IV

K_{μ}^{⋆}h_{κ_{n+1}}D_{κ_{n+2}} ⋯ D_{κ_{m}}α ≤ K_{μ}^{⋆}D_{κ_{n+2}} ⋯ D_{κ_{m}}α ≤
k_{ν}^{⋆}D_{κ_{n+2}} ⋯ D_{κ_{m}}α ≤ k_{ν}^{⋆}D_{κ_{n+1}} ⋯ D_{κ_{m}}α.

Alsdann folgt die Behauptung. □

Lemma 3.5.14 (Iterationslemma) Unter den Voraussetzungen

• α < M

• α ≪ β

• R^{+}(α) ∩ (α + 1) = {κ_{1}, …, κ_{m}} ∧ κ_{1} < … < κ_{m}

gilt D_{κ_{n+1}} ⋯ D_{κ_{m}}α ≪ β Beweis durch Induktion nach m − n. Ist m − n = 0, so ist nichts zu zeigen. Sei also m − n > 0. Nach IV gilt zunächst D_{κ_{n+2}} ⋯ D_{κ_{m}}α ≪ β. Mit κ_{n+1} ∈ R^{+}(α) ∩ α + 1 folgt κ_{n+1} ≪ β. Nach Lemma 3.5.7 haben wir für τ mit κ_{n+1} ≤ τ ≤ D_{κ_{n+2}} ⋯ D_{κ_{m}}α

k_{κ_{n+1}}^{⋆}D_{κ_{n+2}} ⋯ D_{κ_{m}}α ≤ k_{τ}^{⋆}D_{κ_{n+2}} ⋯ D_{κ_{m}}α

zu zeigen. Dazu genügt es nach dem Homogenitätslemma k_{κ_{n+1}}^{⋆}α ≤ k_{τ}^{⋆}α zu zeigen. Es sei nun κ_{n+1} = σ^{+} mit σ ∈ Rα.

1. Fall n + 2 ≤ m Mit τ ≤ D_{κ_{n+2}} ⋯ D_{κ_{m}}α < κ_{n+2} ist τ < κ_{n+2} = (σ^{+}(α))^{+}. Also gilt τ ≤ σ^{+}(α). Mit dem Majorisierungslemma 3.4.5 erhält man k_{κ_{n+1}}^{∗}α ≤ k_{τ}^{⋆}α.

2. Fall σ = max Rα Dann gilt k_{κ_{n+1}}^{⋆}α = 0.

3. Fall n + 1 = m ∧ σ < α < (σ^{+}(α))^{+} Mit τ ≤ α ist τ ≤ σ^{+}(α) und mit dem Majorisierungslemma folgt k_{κ_{n+1}}^{⋆}α ≤ h_{τ}^{⋆}α. □

Lemma 3.5.15 (Allgemeie Liftung) Unter den Voraussetzungen

• α < M

• α, π ≪ β

• R^{+}(α) ∩ (α + 1) = {κ_{1}, …, κ_{m}} ∧ κ_{1} < … < κ_{m}

• (R^{+}(α) ∩ (α + 1)) \ (π + 1) = {κ_{n+1}, …, κ_{m}}

gilt D_{π}D_{κ_{n+1}} ⋯ D_{κ_{m}}α ≪ β.

Beweis: Nach Lemma 3.5.14 gilt D_{κ_{n+1}} ⋯ D_{κ_{m}}α ≪ β. Nach Lemma 3.5.7 haben wir für τ mit π ≤ τ ≤ D_{κ_{n+1}} ⋯ D_{κ_{m}}α nun

k_{π}^{⋆}D_{κ_{n+1}} ⋯ D_{κ_{m}}α ≤ k_{τ}^{⋆}D_{κ_{n+1}} ⋯ D_{κ_{m}}α

zu zeigen. Aufgrund von Lemma 3.5.13 haben wir dazu noch k_{π}^{⋆}α ≤ k_{τ}^{⋆}α zu zeigen. Nach dem Majorisierungslemma gilt nun

k_{π}^{⋆}α ≤ ⋃{K_{ν}α : ν ∈ Rα ∧ ν ≥ π}

Es gebe nun ein ν ∈ Rα mit τ > ν ≥ π. Mit τ ≤ α gilt dann ν^{+} ∈ R^{+}(α) ∩ α + 1. Somit gälte ν^{+} ≤ τ < κ_{n+1}. Dies widerspricht der Definition von n. Es folgt k_{π}^{⋆}α ≤ k_{τ}^{⋆}α und damit die Behauptung. □

Satz 3.5.16 (Kollabierungsliftungseigenschaft) α ≪ β ∧ μ ≪ β ⟹ ∃κ⃗ > μ (D_{μ}Dκ⃗α ≪ β)

Beweis: Aus α ≪ β folgt D_{M}α ≪ β. Mit 3.5.15 folgt dann die Behauptung. □

Korollar 3.5.17 ∃κ⃗ > μ (D_{μ}Dκ⃗α ≪ α#μ) □

3.6 Die ≪-Relation für Funktionen

Die ≪-Relation für Funktionen, deren Definitionsbereich in T (M) ∩ M beschränkt ist, definieren wir analog zu [Jäger, Pohlers 1982].

Definition 3.6.1 Sei f eine Funktion deren Definitionsbereich in T (M)∩M beschränkt ist und σ_{f} := min{ξ : ξ ∈ R ∧ ξ > sup(dom(f))}. In dieser Situation definieren wir f ≪ α :⟺

• ∀ξ ∈ dom(f) (f(ξ) ≪_{σ_{f}} α)

• ∀κ⃗∀β∀ξ ∈ dom(f) (κ⃗ ≥ σ_{f} ∧ ξ ≪ β ∧ Dκ⃗α ≪ β ⟹ Dκ⃗f(ξ) ≪ β)

Folgerung 3.6.2

(a) Es gelte f ≪ α. Dann gelten:

(1) f#γ ≪ α#γ

(2) ω^{f} ≪ ω^{α}

(3) δ =_{NF} φγα ⟹ φγf ≪ δ

(4) δ =_{NF} Φγα ⟹ Φγf ≪ δ

(5) δ =_{NF} χγα ⟹ χγf ≪ δ, falls Bild(f) ⊆ M (6) n · f ≪ n · α

(7) f · n ≪ α · n

(8) Dκ⃗f ≪ Dκ⃗α für κ⃗ ≥ σ_{f}

(9) f(ξ)#ξ ≪ α#ξ

(b) Es gelten:

(1) λ ∈ LIM ⟹ id_{(λ+1)\LIM} ≪ λ

(2) λ ∉ LIM ⟹ id_{(λ+1)\LIM} ≪ λ + 1. Beweis: Die Behauptungen (a) (1)-(5) folgen aus dem folgenden Lemma. Die anderen Behauptungen sind leicht einzusehen. □

Lemma 3.6.3 Sei κ⃗ ≥ σ. Dann gelten:

(a) α#γ ≪_{σ} β#γ ∧ Dκ⃗(β#γ) ≪ δ ∧ Dκ⃗α ≪ δ ⟹ Dκ⃗(α#γ) ≪ δ

(b) ω^{α} ≪_{σ} ω^{β} ∧ Dκ⃗ω^{β} ≪ δ ∧ Dκ⃗α ≪ δ ⟹ Dκ⃗ω^{α} ≪ δ

(c) φγα ≪_{σ} η =_{NF} φγβ ∧ Dκ⃗η ≪ δ ∧ Dκ⃗α ≪ δ ⟹ Dκ⃗φγα ≪ δ

(d) Φγα ≪_{σ} η =_{NF} Φγβ ∧ Dκ⃗η ≪ δ ∧ Dκ⃗α ≪ δ ⟹ Dκ⃗Φγα ≪ δ

(e) χγα ≪_{σ} η =_{NF} χγβ ∧ Dκ⃗η ≪ δ ∧ Dκ⃗α ≪ δ ⟹ Dκ⃗χγα ≪ δ Beweis: Wir zeigen (a). Die Aussagen (b),(c),(d) und (e) folgen analog.

1. Beweis (semantisch) Aufgrund von α#γ ≪_{σ} β#γ gilt Dκ⃗(α#γ) ≪_{σ} Dκ⃗(β#γ). Daher gilt

Dκ⃗(α#γ) < δ und SC_{M}Dκ⃗(α#γ) < D_{M}δ.

Wir haben nach 3.3.8 K_{ϱ}Dκ⃗(α#γ) ≪_{σ} h_{ϱ}Dπ⃗δ zu zeigen. Aufgrund von α#γ ≪_{σ} β#γ dürfen wir

Dκ⃗(β#γ) = ψκ_{1}h_{κ_{1}} ⋯ ψκ_{n}h_{κ_{n}}(β#γ)

annehmen. Im Fall Dκ⃗(β#γ) < ϱ folgt mit Dκ⃗(α#γ) < Dκ⃗(β#γ) ≪ δ

K_{ϱ}Dκ⃗(α#γ) ≤ K_{ϱ}Dκ⃗(β#γ) < h_{ϱ}Dπ⃗δ.

Es gelte daher Dκ⃗(β#γ) ≥ ϱ. Für Dκ⃗(α#γ) = D_{M}(α#γ) folgt die Behauptung aus α#γ < β#γ ≤ δ, α ≪ δ und γ ≪ β#γ ≪ δ. Wir dürfen daher D_{M}(α#γ) ≠ Dκ⃗(α#γ) ≥ ϱ^{−} annehmen. Es gelte

Dκ⃗(α#γ) = ψκ_{j}h_{κ_{j}}D_{κ_{j+1}} ⋯ D_{κ_{n}}α

für ein j mit 1 ≤ j ≤ n. Für ϱ^{−} < Dκ⃗(α#γ) < κ_{j} < ϱ folgt aus Dκ⃗(β#γ) ≪ δ

K_{ϱ}Dκ⃗(α#γ) = K_{ϱ}κ_{j} ⊆ K_{ϱ}^{⋆}Dκ⃗(β#γ) < h_{ϱ}Dπ⃗δ.

Sei also ϱ^{−} < Dκ⃗(α#γ). Dann gilt

\begin{aligned}K_{ϱ}Dκ⃗(α#γ) ≤ K_{ϱ}^{⋆}κ_{1} & ∪ & … ∪ K_{ϱ}^{⋆}κ_{n} ∪ K_{ϱ}^{⋆}α ∪ K_{ϱ}^{⋆}γ \\ & ∪ & \{h_{κ_{i}}D_{κ_{i+1}} ⋯ D_{κ_{n}}(α#γ) : 1 ≤ i ≤ n\}. \end{aligned}

Mit Dκ⃗(β#γ) ≪ δ folgen

K_{ϱ}^{⋆}κ_{i} ⊆ K_{ϱ}^{⋆}Dκ⃗(β#γ) < h_{ϱ}Dπ⃗δ
K_{ϱ}^{⋆}γ ≤ K_{ϱ}^{⋆}Dκ⃗(β#γ) < h_{ϱ}Dπ⃗δ.

Aus Dκ⃗α ≪ δ folgt ferner

K_{ϱ}^{⋆}α ≤ K_{ϱ}^{⋆}Dκ⃗α < h_{ϱ}Dπ⃗δ.

Weiterhin gilt mit α#γ ≪_{σ} β#γ für 1 ≤ i ≤ n nach Korollar 3.3.6

h_{κ_{i}}D_{κ_{i+1}} ⋯ D_{κ_{n}}(α#γ) < h_{κ_{i}}D_{κ_{i+1}} ⋯ D_{κ_{n}}(β#γ).

Aufgrund von Dκ⃗(β#γ) ≪ δ gilt nun Dπ⃗Dκ⃗(β#γ) ≪ Dπ⃗δ und

h_{κ_{i}}D_{κ_{i+1}} ⋯ D_{κ_{n}}(α#γ) < h_{κ_{i}}D_{κ_{i+1}} ⋯ D_{κ_{n}}(β#γ)
∈ K_{ϱ}^{⋆}Dκ⃗(β#γ) ≤ K_{ϱ}^{⋆}Dπ⃗Dκ⃗(β#γ)
≤ h_{ϱ}Dπ⃗Dκ⃗(β#γ) ≤ h_{ϱ}Dπ⃗δ

für alle 1 ≤ i ≤ n und damit die Behauptung. □

2. Beweis (syntaktisch) Es gelte μ < π⃗ und Dπ⃗δ ≥ μ. Wir haben

SC_{μ}Dκ⃗(α#γ) < D_{μ}Dπ⃗δ

zu zeigen. Es sei κ⃗ = (κ_{1}, …, κ_{n}) und ohne Einschränkung γ ≠ 0.

1. Fall D_{M}(α#γ) < κ_{1}

1.1. Fall D_{M}(α#γ) = α#γ ∨ D_{M}(α#γ) = χ(α#γ)0 ≥ μ Dann gilt SC_{μ}Dκ⃗(α#γ) = SC_{μ}α ∪ SC_{μ}γ. Mit D_{M}α < κ_{1} gilt D_{M}α = Dκ⃗α ≪ δ und damit SC_{μ}α < D_{μ}Dπ⃗δ. Mit D_{M}γ < κ_{1} gilt D_{M}γ = Dκ⃗γ ≪ Dκ⃗(β#γ) ≪ δ und deshalb SC_{μ}γ < D_{μ}Dπ⃗δ. Insgesamt folgt hier die Behauptung.

1.2. Fall D_{M}(α#γ) = χ(α#γ)0 < μ Wir haben hier

χ(α#γ)0 < ψμh_{μ}Dπ⃗δ

zu zeigen. Mit D_{M}α < D_{M}(α#γ) < κ_{1} folgt D_{M}α = Dκ⃗α ≪ δ und somit K_{μ}α < h_{μ}Dπ⃗δ. Ebenso folgt K_{μ}γ < h_{μ}Dπ⃗δ und damit insgesamt in diesem Fall SC_{μ}Dκ⃗(α#γ) < D_{μ}Dπ⃗δ.

2. Fall D_{M}(α#γ) ≥ κ_{1}

2.1. Fall Dκ⃗(α#γ) < μ Für μ < κ_{1} gilt dann

SC_{μ}Dκ⃗(α#γ) = {Dκ⃗(α#γ)} < D_{μ}Dπ⃗δ.

Es sei daher μ ≥ κ_{1}. Aufgrund von Dκ⃗(α#γ) ≪ δ und Dκ⃗(α#γ) < Dκ⃗(β#γ) < μ gilt dann

K_{μ}Dκ⃗(α#γ) ≤ K_{μ}Dκ⃗(β#γ) < h_{μ}Dπ⃗δ

und somit

SC_{μ}Dκ⃗(α#γ) = {Dκ⃗(α#γ)} < D_{μ}Dπ⃗δ.

2.2. Fall Dκ⃗(α#γ) ≥ μ Hier erhält man

SC_{μ}Dκ⃗(α#γ) ≤ ⋃{SC_{μ}κ_{i} : D_{κ_{i+1}} ⋯ D_{κ_{n}}α ≥ κ_{i}}

∪SC_{μ}α ∪ SC_{μ}γ.

Es gilt zudem

⋃{SC_{μ}κ_{i} : D_{κ_{i+1}} ⋯ D_{κ_{n}}α ≥ κ_{i}} ⊆

⋃{SC_{μ}κ_{i} : D_{κ_{i+1}} ⋯ D_{κ_{n}}β ≥ κ_{i}} ⊆

SC_{μ}Dκ⃗(β#γ).

Ferner gilt nach 3.4.13(g) mit Dκ⃗α ≪ δ

SC_{μ}α ≤ SC_{μ}Dκ⃗α < D_{μ}Dπ⃗δ.

Nach 3.4.13(j) gilt

SC_{μ}γ ≤ SC_{μ}(β#γ) < D_{μ}Dπ⃗Dκ⃗(β#γ) ≤ D_{μ}Dπ⃗δ. □

Die Definition der ≪-Relation für Funktionen mit Definitionsbereich T (M) ∩ M ist so angelegt, daß sich das nachfolgende Lemma in einfacher Weise beweisen läßt.

Definition 3.6.4 Es sei f : T (M) ∩ M → T (M). Dann sei definiert f ≪ α :⟺

• ∀ξ ∈ dom(f) (f(ξ) < α)

• ∀β∀ξ ∈ dom(f) (α ≪ β ∧ ξ ≪_{M} β ⟹ f(ξ) ≪_{M} β)

• ∀β∀ξ ∈ dom(f) (D_{M}α ≪ β ∧ ξ ≪ β ⟹ D_{M}f(ξ) ≪ β)

Lemma 3.6.5

(a) Sei f wie in 3.6.4 und gelte f ≪ α. Dann gelten:

(1) ω^{f} ≪ ω^{α}

(2) f#γ ≪ α#γ

(3) ∀ξ < M (f(ξ)#ξ ≪ α#ξ)

(b) id_{M} ≪ M

(c) f ≪ α ⟹ D_{M}f | D_{M}α ≪ D_{M}α

Beweis:

(a) (1) Mit f(ξ) < α erhält man zunächst ω^{f(ξ)} < ω^{α}. Seien nun ω^{α} ≪ β und ξ ≪_{M} β. Dann gilt α ≪ β. Also gilt f(ξ) ≪_{M} β. Somit folgt SC_{M}ω^{f(ξ)} = SC_{M}f(ξ) < D_{M}β. Mit ω^{f(ξ)} < ω^{α} ≤ β folgt dann nach 3.1.4(c) ω^{f(ξ)} ≪_{M} β. Insbesondere gilt dann D_{M}ω^{f(ξ)} < D_{M}ω^{α}. Wir zeigen nun die letzte, noch ausstehende Beziehung aus Definition 3.6.4. Seien dazu ξ ≪ β und D_{M}ω^{α} ≪ β. Alsdann folgt D_{M}α ≪ β. Mit f ≪ α folgt D_{M}f(ξ) ≪ β. Also gilt für μ < κ⃗

k_{μ}^{⋆}D_{M}ω^{f(ξ)} = k_{μ}^{⋆}D_{M}f(ξ) < h_{μ}Dκ⃗β.

Mit D_{M}ω^{f(ξ)} < D_{M}ω^{α} ≤ β folgt D_{M}ω^{f(ξ)} ≪ β.

(2) Wegen f(ξ) < α hat man f(ξ)#γ < α#γ. Seien nun α#γ ≪ β und ξ ≪_{M} β. Mit α ≪ β folgt dann f(ξ) ≪_{M} β. Wie in (1) folgt mit f(ξ)#γ < α#γ ≤ β auch f(ξ)#γ ≪_{M} β. Speziell gilt D_{M}(f(ξ)#γ) < D_{M}(α#γ). Seien schließlich D_{M}(α#γ) ≪ β und ξ ≪ β. Dann gilt D_{M}α ≪ β. Somit gilt D_{M}f(ξ) ≪ β. Mit D_{M}(f(ξ)#γ) < D_{M}(α#γ) ≤ β und D_{M}γ ≪ D_{M}(α#γ) ≪ β erhält man D_{M}(f(ξ)#γ) ≪ β.

(3) Für ξ = 0 folgt die Behauptung leicht aus den Bedingungen für f ≪ α. Sei also ξ ≠ 0. Dann gelten D_{M}α ≪ α#ξ und ξ ≪ α#ξ. Somit gilt D_{M}f(ξ) ≪ α#ξ. Mit f(ξ) < α#ξ folgt f(ξ) ≪ α#ξ. Daher gilt f(ξ)#ξ ≪ α#ξ.

(b) Der Beweis ist trivial.

(c) Aus ξ < D_{M}α folgt D_{M}f(ξ) < D_{M}α nach den Bedingungen für f ≪ α. Also gilt D_{M}f(ξ) ≪_{(D_{M} α)^{+}} D_{M}α. Es gelten nun κ⃗ ≥ (D_{M}α)^{+} und Dκ⃗D_{M}α ≪ β ≫ ξ. Dann gilt Dκ⃗D_{M}α = D_{M}α ≪ β ≫ ξ. Also gilt D_{M}f(ξ) ≪ β und damit Dκ⃗D_{M}f(ξ) ≪ β. □

Erst an dieser Stelle stellt sich endgültig heraus, daß unsere zu Anfang getroffenen Defintionen geeignet gewählt wurden. Es sei hier betont, daß in dieser Wahl eine der Hauptschwierigkeiten bei der angegebenen Konstruktion bestand. Die konkrete Verifikation der Kollabierungsaxiomatik erwies sich dann als relativ elementar.

Der klassische Zugang zur ≪_{τ}-Relation

Die nachfolgende Konstruktion ist nicht so einfach zu motivieren wie diejenige im vorangegangenen Kapitel. Dies liegt daran, daß die Definition der Hilfsfunktion h_{μ}^{⋆} für die Kollabierung so angelegt ist, daß neben den elementaren Eigenschaften der ≪_{τ}-Relation auch die Kollabierungsliftungseigenschaft in ihrer schärfstmöglichen Form erzwungen wird. Dieser Ergeiz führt dazu, daß man die verschiedenen Aspekte der ≪_{τ}-Relation nicht mehr trennen kann und zu einer a priori schwer verständlichen, auf die R-Mengen zurückgreifenden, rekursiven Definition gezwungen ist.

Am Schluß dieses Kapitels zeigen wir

h_{μ}^{⋆}α = min{h_{μ}Dκ⃗α : κ⃗ > μ} = min{h_{μ}Dκ⃗α : κ⃗ > μ ∧ κ⃗ ∈ R^{+}(α)}.

Diese a posteriori Einsicht liefert eine anschauliche Motivation für den klassischen Ansatz und ermöglicht dem Leser ein gewisses Verständnis von dem, was nun folgt.

4.1 Die Funktionen h_{μ}^{⋆}

Konvention In diesem Abschnitt bezeichnen wir mit α und β Elemente aus T (M) ∩ M.

Aus schreibtechnischen Gründen vereinbaren wir zunächst zwei Definitionen.

Definition 4.1.1

μ_{∗}^{+}(α) := \{ \begin{matrix}μ^{+}(α) & falls μ < μ^{+}(α) \\ μ^{+} & sonst \end{matrix}

Definition 4.1.2

(a) α <_{R} μ :⟺ α < μ ∨ Rα < μ^{−}

(b) α ≥_{R} μ :⟺ ¬α <_{R} μ

Definition 4.1.3

h_{μ}^{⋆}α :≃ \{ \begin{matrix}k_{μ}^{⋆}α + ω^{α} & falls α <_{R} μ^{+} \\ h_{μ_{∗}^{+}(α)}^{⋆}α & falls h_{μ_{∗}^{+}(α)}^{⋆}α↓ ∧α ≥_{R} μ^{+} ∧ k_{μ}^{⋆}α < h_{μ_{∗}^{+}(α)}^{⋆}α \\ k_{μ}^{⋆}α + ψμ^{+}h_{μ_{∗}^{+}(α)}^{⋆}α & falls h_{μ_{∗}^{+}(α)}^{⋆}α↓ ∧α ≥_{R} μ^{+} ∧ k_{μ}^{⋆}α ≥ h_{μ_{∗}^{+}(α)}^{⋆}α \\ ↑ & sonst \end{matrix}

Die gerade getroffene Definition stellt die dem Bezeichnungssystem angepaßte klassische Definition der Hilfsfunktionen für die Kollabierung (siehe [Buchholz, Schütte 1983]) dar. Die Fallunterscheidung nach den Fällen α <_{R} μ^{+} und α ≥_{R} μ^{+} berücksichtigt hierbei die Tatsache, daß aus α ≥ μ^{+} nicht notwendig Rα ≥ μ folgt.

Im folgenden zeigen wir, daß die Funktion h_{μ}^{⋆} total ist und ein geeigneter Kandidat für eine Kollabierungsfunktion ist, d. h. für α ∈ T (M) ∩ M ist h_{μ}^{⋆}α definiert und es gilt ψμh_{μ}^{⋆}α↓ .

Lemma 4.1.4 Rα ≤ μ ⟹ h_{μ}^{⋆}α↓ ∧ h_{μ_{∗}^{+}(α)}^{⋆}α = ω^{α}

Beweis: Nach Voraussetzung gilt Rα < μ^{+} = μ_{∗}^{+}(α). Also gilt K_{μ^{+}}^{⋆}α = ∅ und h_{μ_{∗}^{+}(α)}^{⋆}α = ω^{α}. Ferner gilt K_{μ^{+}}h_{μ_{∗}^{+}(α)}^{⋆}α < h_{μ_{∗}^{+}(α)}^{⋆}α und damit ist h_{μ}^{⋆}α in jedem Fall definiert. □

Beweis:

Lemma 4.1.5 h_{μ}^{⋆}α↓⟹ k_{μ}^{⋆}α < h_{μ}^{⋆}α 1. Fall α <_{R} μ^{+}

Hier ist die Behauptung klar.

2. Fall α ≥_{R} μ^{+} ∧ k_{μ}^{⋆}α < h_{μ_{∗}^{+}(α)}^{⋆}α Hier gilt h_{μ}^{⋆}α = h_{μ_{∗}^{+}(α)}^{⋆}α und damit die Behauptung.

3. Fall α ≥_{R} μ^{+} ∧ k_{μ}^{⋆}α ≥ h_{μ_{∗}^{+}(α)}^{⋆}α In diesem Fall ist die Behauptung wiederum klar. □

Korollar 4.1.6 h_{μ_{∗}^{+}(α)}^{⋆}α↓ ∧ α ≥_{R} μ^{+} ∧ k_{μ}^{⋆}α ≥ h_{μ_{∗}^{+}(α)}^{⋆}α ⟹ μ ∈ R(α) Beweis: Es gilt k_{μ^{+}}^{⋆}α = k_{μ_{∗}^{+}(α)}^{⋆}α < h_{μ_{∗}^{+}(α)}^{⋆}α nach 4.1.5. Ferner hat man nach dem Majorisierungslemma

k_{μ}α ≤ ⋃{K_{ϱ}α : ϱ ∈ R(α) ∧ ϱ ≥ μ}.

Also gilt die Behauptung. □

Lemma 4.1.7 h_{σ}^{⋆}α↓ ∧ ν ≤ σ ⟹ k_{ν}^{⋆}h_{σ}^{⋆}α ≤ k_{ν}^{⋆}α Beweis durch R-Induktion.

1. Fall α <_{R} σ^{+} Aufgrund von k_{ν}^{⋆}k_{σ}^{⋆}α ≤ k_{ν}^{⋆}α gilt hier die Behauptung.

2. Fall α ≥_{R} σ^{+} ∧ k_{σ}^{⋆}α < h_{σ_{∗}^{+}(α)}^{⋆}α Hier gilt nach IV bzw. 4.1.4

k_{ν}^{⋆}h_{σ}^{⋆}α = k_{ν}^{⋆}h_{σ_{∗}^{+}(α)}^{⋆}α ≤ k_{ν}^{⋆}α.

3. Fall α ≥_{R} σ^{+} ∧ k_{σ}^{⋆}α ≥ h_{σ_{∗}^{+}(α)}^{⋆}α

Jetzt erhält man nach IV bzw. 4.1.4

K_{ν}^{⋆}h_{σ}^{⋆}α = K_{ν}^{⋆}(k_{σ}^{⋆}α + ψσ^{+}h_{σ_{∗}^{+}(α)}^{⋆}α)
≤ K_{ν}^{⋆}α ∪ K_{ν}^{⋆}σ^{+} ∪ k_{ν}^{⋆}h_{σ_{∗}^{+}(α)}^{⋆}α ∪ {h_{σ_{∗}^{+}(α)}^{⋆}α}
≤ K_{ν}^{⋆}α ∪ K_{ν}^{⋆}σ^{+} ∪ K_{ν}^{⋆}α ≤ K_{ν}^{⋆}α ∪ K_{ν}^{⋆}σ^{+}.

Mit K_{ν}^{⋆}Rα ≤ K_{ν}^{⋆}α und Korollar 4.1.6 folgt die Behauptung. □

Lemma 4.1.8 h_{ν}^{⋆}α↓⟹ k_{ν}^{⋆}h_{ν}^{⋆}α ≤ k_{ν}^{⋆}α < h_{ν}^{⋆}α

Beweis: Die Behauptung folgt aus 4.1.5 und 4.1.7. □

Lemma 4.1.9 h_{μ_{∗}^{+}(α)}^{⋆}α↓⟹ h_{μ^{+}}^{⋆}α = h_{μ_{∗}^{+}(α)}^{⋆}α

Beweis: Es gelte μ^{+} < μ_{∗}^{+}(α).

1. Fall α <_{R} μ^{++} Hier gilt h_{μ^{+}}^{⋆}α = k_{μ^{+}}^{⋆}α + ω^{α}. Wegen α <_{R} (μ_{∗}^{+}(α))^{+} gilt ferner h_{μ_{∗}^{+}(α)}^{⋆}α = k_{μ_{∗}^{+}(α)}^{⋆}α+ω^{α}. Die Behauptung folgt mit k_{μ^{+}}^{⋆}α = k_{μ_{∗}^{+}(α)}^{⋆}α.

2. Fall α ≥_{R} μ^{++} ∧ k_{μ^{+}}^{⋆}α < h_{(μ^{+})_{∗}^{+}(α)}α Mit μ^{+} < μ_{∗}^{+}(α) ist (μ^{+})_{∗}^{+}(α) = μ_{∗}^{+}(α) und somit h_{μ^{+}}^{⋆}α = h_{μ_{∗}^{+}(α)}^{⋆}α. Der Fall k_{μ^{+}}^{⋆}α ≥ h_{μ_{∗}^{+}(α)}^{⋆}α ist wegen k_{μ^{+}}^{⋆}α = k_{μ_{∗}^{+}(α)}^{⋆}α < h_{μ_{∗}^{+}(α)}^{⋆}α ausgeschlossen. □

Lemma 4.1.10 h_{μ_{∗}^{+}(α)}^{⋆}α↓⟹ K_{μ^{+}}^{⋆}h_{μ_{∗}^{+}(α)}^{⋆}α < h_{μ_{∗}^{+}(α)}^{⋆}α

Beweis: Die Behauptung folgt aus 4.1.8 und 4.1.9. □

Lemma 4.1.11 h_{σ}^{⋆}α↓ ∧ ν ≤ σ ⟹ k_{ν}^{⋆}α ≤ k_{ν}^{⋆}h_{σ}^{⋆}α

Beweis durch R-Induktion.

1. Fall α <_{R} σ^{+} Hier ist die Behauptung klar.

2. Fall α ≥_{R} σ^{+} ∧ k_{σ}^{⋆}α < h_{σ_{∗}^{+}(α)}^{⋆}α Hier gilt nach IV bzw. Lemma 4.1.4 k_{ν}^{⋆}α ≤ k_{ν}^{⋆}h_{σ_{∗}^{+}(α)}^{⋆}α = k_{ν}^{⋆}h_{σ}^{⋆}α.

3. Fall α ≥_{R} σ^{+} ∧ k_{σ}^{⋆}α ≥ h_{σ_{∗}^{+}(α)}^{⋆}α Nun gilt nach IV, dem Fundamentallemma und Lemma 4.1.4

k_{ν}^{⋆}α ≤ k_{ν}^{⋆}h_{σ_{∗}^{+}(α)}^{⋆}α ≤ k_{ν}^{⋆}ψσ^{+}h_{σ_{∗}^{+}(α)}^{⋆}α ≤ k_{ν}^{⋆}h_{σ}^{⋆}α. □

Lemma 4.1.12 h_{μ}^{⋆}α↓ ∧ h_{μ}^{⋆}α < M

Beweis durch R-Induktion.

1. Fall α <_{R} μ^{+} Hier ist die Behauptung klar.

2. Fall α ≥_{R} μ^{+} ∧ k_{μ}^{⋆}α < h_{μ_{∗}^{+}(α)}^{⋆}α Hier folgt die Behauptung unmittelbar aus der IV bzw.Lemma 4.1.4.

3. Fall α ≥_{R} μ^{+} ∧ k_{μ}^{⋆}α ≥ h_{μ_{∗}^{+}(α)}^{⋆}α Nach Lemma 4.1.4 sei ohne Einschränkung μ^{+}(α) = μ_{∗}^{+}(α). Nach IV gilt h_{μ_{∗}^{+}(α)}^{⋆}α ↓ und h_{μ_{∗}^{+}(α)}^{⋆}α < M. Nach Lemma 4.1.10 gilt k_{μ^{+}}^{⋆}h_{μ_{∗}^{+}(α)}^{⋆}α < h_{μ_{∗}^{+}(α)}^{⋆}α. Damit ist auch h_{μ}^{⋆}α ∈ T (M) ∩ M. □

Somit gelten alle in diesem Kapitel bewiesenen Aussagen ohne die Definiertheitsvoraussetzungen (falls die Argumente von h_{μ}^{⋆} kleiner als M sind).

Der Beweis von 4.1.9 liefert ferner (falls man μ^{+} durch ν ersetzt) das folgende Lemma.

Lemma 4.1.13 ν ∈]μ, μ_{∗}^{+}(α)] ⟹ h_{ν}^{⋆}α = h_{μ_{∗}^{+}(α)}^{⋆}α □

Lemma 4.1.14 ψμh_{μ}^{⋆}α ∈ T (M)

Beweis mit Lemma 4.1.12 und Lemma 4.1.8. □

Damit ist es uns erlaubt, die folgende Definition zu treffen.

Definition 4.1.15

D_{μ}γ = \{ \begin{matrix}D_{M}γ & falls D_{M}γ < μ \\ ψμh_{μ}^{⋆}D_{M}γ & sonst \end{matrix}

Aufgrund von 4.1.8 und 4.1.11 gilt für μ ≤ ν auch k_{μ}^{⋆}h_{ν}^{⋆}α = k_{μ}^{⋆}α. Entsprechend gilt das folgende Lemma.

Lemma 4.1.16 ϱ < μ ⟹ SC_{ϱ}h_{μ}^{⋆}α ∼ SC_{ϱ}α

Beweis durch R-Induktion.

1. Fall α <_{R} μ^{+} Hier ist die Behauptung klar nach dem zweiten Fundamentallemma für die SC_{μ}-Mengen 3.4.18.

2. Fall α ≥_{R} μ^{+} ∧ k_{μ}^{⋆}α < h_{μ_{∗}^{+}(α)}^{⋆}α In diesem Fall folgt die Behauptung unmittelbar aus der IV bzw. Lemma 4.1.4.

3. Fall α ≥_{R} μ^{+} ∧ k_{μ}^{⋆}α ≥ h_{μ_{∗}^{+}(α)}^{⋆}α Mit Korollar 4.1.6 ist μ ∈ Rα. Mit den Lemmata 3.4.18 und 3.5.1 folgt nach IV bzw. Lemma 4.1.4

SC_{ϱ}h_{μ}^{⋆}α = SC_{ϱ}(k_{μ}^{⋆}α + ψμ^{+}h_{μ_{∗}^{+}(α)}^{⋆}α)
≤ SC_{ϱ}α ∪ SC_{ϱ}μ ∪ SC_{ϱ}h_{μ_{∗}^{+}(α)}^{⋆}α < SC_{ϱ}α
≤ SC_{ϱ}ψμ^{+}h_{μ_{∗}^{+}(α)}^{⋆}α ≤ SC_{ϱ}h_{μ}^{⋆}α. □

Lemma 4.1.17 ω^{α} ≤ h_{μ}^{⋆}α

Beweis durch R-Induktion.

1. Fall α <_{R} μ^{+} Hier ist die Behauptung klar.

2. Fall α ≥_{R} μ^{+} ∧ k_{μ}^{⋆}α < h_{μ_{∗}^{+}(α)}^{⋆}α In diesem Fall folgt die Behauptung unmittelbar aus der IV bzw. Lemma 4.1.4.

3. Fall α ≥_{R} μ^{+} ∧ k_{μ}^{⋆}α ≥ h_{μ_{∗}^{+}(α)}^{⋆}α Sodann gilt nach IV bzw. Lemma 4.1.4 und 4.1.5 ω^{α} ≤ h_{μ_{∗}^{+}(α)}^{⋆}α ≤ k_{μ}^{⋆}α < h_{μ}^{⋆}α □

Lemma 4.1.18 h_{μ^{+}}^{⋆}α ≤ h_{μ}^{⋆}α

Beweis durch R-Induktion.

1. Fall α <_{R} μ^{+} Dann gilt α <_{R} μ^{++} und h_{μ^{+}}^{⋆}α = k_{μ^{+}}^{⋆}α + ω^{α} ≤ k_{μ}^{⋆}α + ω^{α} = h_{μ}^{⋆}α.

2. Fall α ≥_{R} μ^{+} ∧ k_{μ}^{⋆}α < h_{μ_{∗}^{+}(α)}^{⋆}α Hier gilt h_{μ}^{⋆}α = h_{μ_{∗}^{+}(α)}^{⋆}α = h_{μ^{+}}^{⋆}α nach Lemma 4.1.9.

3. Fall α ≥_{R} μ^{+} ∧ k_{μ}^{⋆}α ≥ h_{μ_{∗}^{+}(α)}^{⋆}α Man erhält nach 4.1.9 und 4.1.5 h_{μ^{+}}^{⋆}α = h_{μ_{∗}^{+}(α)}^{⋆}α ≤ k_{μ}^{⋆}α < h_{μ}^{⋆}α. □

Korollar 4.1.19 μ ≤ ν ⟹ h_{μ}^{⋆}α ≥ h_{ν}^{⋆}α

Beweis: Die Behauptung folgt aus 4.1.4, 4.1.13 und 4.1.18 durch R-Induktion. □

Lemma 4.1.20 μ ≤ α ⟹ μ ≤ r(h_{μ}^{⋆}α)

Beweis durch R-Induktion.

1. Fall α <_{R} μ^{+} Hier gilt r(h_{μ}^{⋆}α) = r(k_{μ}^{⋆}α + ω^{α}) = ω^{α} ≥ α ≥ μ.

2. Fall α ≥_{R} μ^{+} ∧ k_{μ}^{⋆}α < h_{μ_{∗}^{+}(α)}^{⋆}α Für α ≥ μ_{∗}^{+}(α) gilt nach IV bzw. Lemma 4.1.4

μ < μ_{∗}^{+}(α) ≤ r(h_{μ_{∗}^{+}(α)}^{⋆}α) = r(h_{μ}^{⋆}α).

Im Falle α < μ_{∗}^{+}(α) gilt hingegen h_{μ_{∗}^{+}(α)}^{⋆}α = k_{μ_{∗}^{+}(α)}^{⋆}α + ω^{α}. Also gilt μ ≤ α ≤ ω^{α} ≤ r(h_{μ_{∗}^{+}(α)}^{⋆}α) = r(h_{μ}^{⋆}α).

3. Fall α ≥_{R} μ^{+} ∧ k_{μ}^{⋆}α ≥ h_{μ_{∗}^{+}(α)}^{⋆}α Hier gilt μ < ψμ^{+}h_{μ_{∗}^{+}(α)}^{⋆}α = r(h_{μ}^{⋆}α). □

Lemma 4.1.21 α < β < μ ⟹ h_{μ}^{⋆}α < h_{μ}^{⋆}β

Beweis: Die Behauptung folgt aus k_{μ}^{⋆}α ≤ k_{μ}^{⋆}β. □

Nach diesen Vorbereitungen können wir die folgenden zentralen vier Aussagen beweisen, mit denen sich relativ leicht ein Modell für die Kollabierungsaxiomatik konstruieren läßt. Bei der Beweisführung orientieren wir uns an [Buchholz, Schütte 1983].

Lemma 4.1.22 h_{μ^{+}}^{⋆}α = h_{μ^{+}}^{⋆}β ⟹ h_{μ}^{⋆}α = h_{μ}^{⋆}β

Beweis:

1. Fall α <_{R} μ^{+}

1.1. Fall α < μ^{+} Zunächst gilt h_{μ^{+}}^{⋆}α = k_{μ^{+}}^{⋆}α + ω^{α} = h_{μ^{+}}^{⋆}β. Wäre β ≥ μ^{+}, so würde gelten ω^{α} = r(h_{μ^{+}}^{⋆}β) ≥ μ^{+} im Widerspruch zu 4.1.20. Also ist β < μ^{+} und es gilt h_{μ^{+}}^{⋆}β = k_{μ^{+}}^{⋆}β + ω^{β} = k_{μ^{+}}^{⋆}α + ω^{α} = h_{μ^{+}}^{⋆}α. Aus der Eindeutigkeit der Cantor-Normalform folgt α = β und damit die Behauptung.

1.2. Fall Rα < μ ∧ α ≥ μ^{+} Dann gelten K_{μ}^{⋆}α = ∅ = K_{μ^{+}}^{⋆}α. Also h_{μ}^{⋆}α = ω^{α} = h_{μ^{+}}^{⋆}α = h_{μ^{+}}^{⋆}β.

1.2.1. Fall β <_{R} μ^{+} Dann gilt β <_{R} μ^{++} und ω^{α} = h_{μ^{+}}^{⋆}α = h_{μ^{+}}^{⋆}β = k_{μ^{+}}^{⋆}β+ω^{β}. Also gilt β = α.

1.2.2. Fall β ≥_{R} μ^{+} Es gilt k_{μ}^{⋆}β ≤ k_{μ}^{⋆}h_{μ^{+}}^{⋆}β = k_{μ}^{⋆}ω^{α} = 0 < h_{μ_{∗}^{+}(β)}^{⋆}β. Also gilt

h_{μ}^{⋆}β = h_{μ_{∗}^{+}(β)}^{⋆}β = h_{μ^{+}}^{⋆}β = ω^{α} = h_{μ}^{⋆}α.

2. Fall α ≥_{R} μ^{+} Dann gilt r(h_{μ^{+}}^{⋆}β) = r(h_{μ^{+}}^{⋆}α) ≥ μ^{+}. Wäre β < μ^{+}, so gälte r(h_{μ^{+}}^{⋆}β) = r(k_{μ^{+}}^{⋆}β + ω^{β}) < μ^{+}. Also gilt β ≥ μ^{+}. Im Fall Rβ < μ gilt h_{μ}^{⋆}β = h_{μ^{+}}^{⋆}β = ω^{β} = h_{μ^{+}}^{⋆}α. Dann folgt k_{μ}^{⋆}α ≤ k_{μ}^{⋆}h_{μ^{+}}^{⋆}β = k_{μ}^{⋆}ω^{β} = 0 < h_{μ_{∗}^{+}(α)}^{⋆}α und h_{μ}^{⋆}α = h_{μ^{+}}^{⋆}α = h_{μ}^{⋆}β. Wir dürfen daher β ≥_{R} μ^{+} annehmen.

2.1. Fall k_{μ}^{⋆}α < h_{μ_{∗}^{+}(α)}^{⋆}α = h_{μ^{+}}^{⋆}α Es gilt nach 4.1.16 k_{μ}^{⋆}h_{μ^{+}}^{⋆}α = k_{μ}^{⋆}α < h_{μ^{+}}^{⋆}α. Also folgt mit h_{μ^{+}}^{⋆}α = h_{μ^{+}}^{⋆}β nun k_{μ}^{⋆}β ≤ k_{μ}^{⋆}h_{μ^{+}}^{⋆}β < h_{μ^{+}}^{⋆}β und damit h_{μ}^{⋆}α = h_{μ^{+}}^{⋆}α = h_{μ^{+}}^{⋆}β = h_{μ}^{⋆}β.

2.2. Fall k_{μ}^{⋆}α ≥ h_{μ_{∗}^{+}(α)}^{⋆}α = h_{μ^{+}}^{⋆}α Dann erhält man nach 4.1.7 und 4.1.11 k_{μ}^{⋆}β ≥ k_{μ}^{⋆}h_{μ^{+}}^{⋆}β = k_{μ}^{⋆}h_{μ^{+}}^{⋆}α ≥ k_{μ}^{⋆}α ≥ h_{μ^{+}}^{⋆}α = h_{μ^{+}}^{⋆}β. Also gilt nach 4.1.16

h_{μ}^{⋆}α = k_{μ}^{⋆}α + ψμ^{+}h_{μ^{+}}^{⋆}α = k_{μ}^{⋆}h_{μ^{+}}^{⋆}α + ψμ^{+}h_{μ^{+}}^{⋆}α
= k_{μ}^{⋆}h_{μ^{+}}^{⋆}β + ψμ^{+}h_{μ^{+}}^{⋆}β = k_{μ}^{⋆}β + ψμ^{+}h_{μ^{+}}^{⋆}β
= h_{μ}^{⋆}β. □

Lemma 4.1.23 α < β ∧ h_{μ^{+}}^{⋆}α < h_{μ^{+}}^{⋆}β ∧ K_{μ}^{⋆}α < h_{μ}^{⋆}β ⟹ h_{μ}^{⋆}α < h_{μ}^{⋆}β

Beweis:

1. Fall β <_{R} μ^{+}

1.1.Fall β < μ^{+} Dann gilt k_{μ}^{⋆}α < h_{μ}^{⋆}β = k_{μ}^{⋆}β + ω^{β} und mit ω^{α} < ω^{β} folgt die Behauptung.

1.2. Fall Rβ < μ ∧ β ≥ μ^{+} 1.2.1. Fall α <_{R} μ^{+}

Dann folgt wie im 1.1. Fall die Behauptung.

1.2.2. Fall α ≥_{R} μ^{+} 1.2.2.1. k_{μ}^{⋆}α < h_{μ_{∗}^{+}(α)}^{⋆}α Nun gilt h_{μ}^{⋆}α = h_{μ^{+}}^{⋆}α < h_{μ^{+}}^{⋆}β ≤ h_{μ}^{⋆}β. 1.2.2.2. k_{μ}^{⋆}α ≥ h_{μ_{∗}^{+}(α)}^{⋆}α Dann gilt h_{μ}^{⋆}α = k_{μ}^{⋆}α + ψμ^{+}h_{μ_{∗}^{+}(α)}^{⋆}α. Es gilt ω^{β} ≥ μ^{+} > ψμ^{+}h_{μ_{∗}^{+}(α)}^{⋆}α. Mit k_{μ}^{⋆}α < h_{μ}^{⋆}β folgt wiederum die Behauptung.

2. Fall β ≥_{R} μ^{+}

2.1. Fall k_{μ}^{⋆}β ≥ h_{μ_{∗}^{+}(β)}^{⋆}β Dann gelten h_{μ^{+}}^{⋆}β = h_{μ_{∗}^{+}(β)}^{⋆}β und h_{μ}^{⋆}β = k_{μ}^{⋆}β + ψμ^{+}h_{μ^{+}}^{⋆}β.

2.1.1. Fall α < μ^{+} Hier gilt h_{μ}^{⋆}α = k_{μ}^{⋆}α + ω^{α}. Mit k_{μ^{+}}^{⋆}α < h_{μ^{+}}^{⋆}α < h_{μ^{+}}^{⋆}β folgt also

α ∈ Ĉ_{μ^{+}}(h_{μ^{+}}^{⋆}β) ∩ μ^{+} ⊆ ψμ^{+}h_{μ^{+}}^{⋆}β.

Damit gilt ω^{α} < r(h_{μ}^{⋆}β) und mit k_{μ}^{⋆}α < h_{μ}^{⋆}β folgt h_{μ}^{⋆}α < h_{μ}^{⋆}β.

2.1.2. Fall α ≥ μ^{+} ∧ Rα < μ Dann ist K_{μ}^{⋆}α = ∅ = K_{μ^{+}}^{⋆}α und

h_{μ}^{⋆}α = k_{μ}^{⋆}α + ω^{α} = ω^{α} = h_{μ^{+}}^{⋆}α < h_{μ^{+}}^{⋆}β ≤ h_{μ}^{⋆}β.

2.1.3. Fall α ≥_{R} μ^{+} ∧ k_{μ}^{⋆}α ≥ h_{μ_{∗}^{+}(α)}^{⋆}α Hier gilt h_{μ_{∗}^{+}(α)}^{⋆}α = h_{μ^{+}}^{⋆}α < h_{μ^{+}}^{⋆}β = h_{μ_{∗}^{+}(β)}^{⋆}β. Es folgt

ψμ^{+}h_{μ^{+}}^{⋆}α < ψμ^{+}h_{μ^{+}}^{⋆}β = r(h_{μ}^{⋆}β).

Mit k_{μ}^{⋆}α < h_{μ}^{⋆}β folgt erneut die Behauptung.

2.1.4. Fall α ≥_{R} μ^{+} ∧ k_{μ}^{⋆}α < h_{μ_{∗}^{+}(α)}^{⋆}α In diesem Fall gilt

h_{μ}^{⋆}α = h_{μ_{∗}^{+}(α)}^{⋆}α = h_{μ^{+}}^{⋆}α < h_{μ^{+}}^{⋆}β ≤ h_{μ}^{⋆}β.

2.2. Fall k_{μ}^{⋆}β < h_{μ_{∗}^{+}(β)}^{⋆}β Hier gilt zunächst h_{μ_{∗}^{+}(β)}^{⋆}β = h_{μ^{+}}^{⋆}β = h_{μ}^{⋆}β.

2.2.1. Fall α < μ^{+} Dann gilt h_{μ}^{⋆}α = k_{μ}^{⋆}α+ω^{α}. Mit β ≥ μ^{+} folgt nach Lemma 4.1.20 ω^{α} < μ^{+} ≤ r(h_{μ^{+}}^{⋆}β) = r(h_{μ}^{⋆}β). Mit k_{μ}^{⋆}α < h_{μ}^{⋆}β folgt die Behauptung.

2.2.2. Fall α ≥ μ^{+} ∧ Rα < μ

Dann gilt h_{μ}^{⋆}α = ω^{α} = h_{μ^{+}}^{⋆}α < h_{μ^{+}}^{⋆}β ≤ h_{μ}^{⋆}β.

2.2.3. Fall α ≥_{R} μ^{+} ∧ k_{μ}^{⋆}α < h_{μ_{∗}^{+}(α)}^{⋆}α Hier gilt h_{μ}^{⋆}α = h_{μ_{∗}^{+}(α)}^{⋆}α = h_{μ^{+}}^{⋆}α < h_{μ^{+}}^{⋆}β = h_{μ}^{⋆}β.

2.2.4. Fall α ≥_{R} μ^{+} ∧ k_{μ}^{⋆}α ≥ h_{μ_{∗}^{+}(α)}^{⋆}α Jetzt folgt h_{μ}^{⋆}α = k_{μ}^{⋆}α + ψμ^{+}h_{μ_{∗}^{+}(α)}^{⋆}α. Mit β ≥ μ^{+} folgt ψμ^{+}h_{μ_{∗}^{+}(α)}^{⋆}α < μ^{+} ≤ r(h_{μ}^{⋆}β). Also folgt aus k_{μ}^{⋆}α < h_{μ}^{⋆}β wiederum die Behauptung. □

Lemma 4.1.24 μ < ν ∧ h_{μ^{+}}^{⋆}α ≤ h_{μ^{+}}^{⋆}ψνh_{ν}^{⋆}α ⟹ h_{μ}^{⋆}α ≤ h_{μ}^{⋆}(ψνh_{ν}^{⋆}α) Beweis: Sei β := ψνh_{ν}^{⋆}α. Nach 4.1.22 sei ohne Einschränkung h_{μ^{+}}^{⋆}α < h_{μ^{+}}^{⋆}β. Ferner gilt α ≠ β und

K_{μ}^{⋆}α ≤ K_{μ}^{⋆}h_{ν}^{⋆}α ≤ K_{μ}^{⋆}ψνh_{ν}^{⋆}α < h_{μ}^{⋆}β.

1. Fall α <_{R} μ^{+} ∧ β <_{R} μ^{+} Mit μ < ν ∈ Rβ folgt β < μ^{+}. Wäre β < α, so folgt für α < μ^{+} nach 4.1.21 h_{μ^{+}}^{⋆}β < h_{μ^{+}}^{⋆}α. Also gilt hier α < β und mit 4.1.23 folgt die Behauptung. Es sei daher Rα < μ. Dann gilt

h_{μ}^{⋆}α = ω^{α} = h_{ν}^{⋆}α ∈ K_{μ}^{⋆}ψνh_{ν}^{⋆}α < h_{μ}^{⋆}β.

2. Fall β ≥_{R} μ^{+} 2.1. Fall k_{μ}^{⋆}β ≥ h_{μ_{∗}^{+}(β)}^{⋆}β

2.1.1. Fall α <_{R} μ^{+} 2.1.1.1. α < μ^{+} Hier folgt k_{μ^{+}}^{⋆}α < h_{μ^{+}}^{⋆}α < h_{μ^{+}}^{⋆}β und somit

α ∈ Ĉ_{μ^{+}}(h_{μ_{∗}^{+}(β)}^{⋆}β) ∩ μ^{+} ⊆ ψμ^{+}h_{μ_{∗}^{+}(β)}^{⋆}β ∈ SC.

Also ω^{α} < r(h_{μ}^{⋆}β) und mit k_{μ}^{⋆}α < h_{μ}^{⋆}β folgt die Behauptung. 2.1.1.2. α ≥ μ^{+} ∧ Rα < μ Dann gilt K_{μ}^{⋆}α = K_{μ^{+}}^{⋆}α = ∅ und

h_{μ}^{⋆}α = k_{μ}^{⋆}α + ω^{α} = h_{μ^{+}}^{⋆}α < h_{μ^{+}}^{⋆}β ≤ h_{μ}^{⋆}β.

2.1.2. Fall α ≥_{R} μ^{+} ∧ k_{μ}^{⋆}α < h_{μ_{∗}^{+}(α)}^{⋆}α Alsdann folgt h_{μ}^{⋆}α = h_{μ^{+}}^{⋆}α < h_{μ^{+}}^{⋆}β ≤ h_{μ}^{⋆}β.

2.1.3. Fall α ≥_{R} μ^{+} ∧ k_{μ}^{⋆}α ≥ h_{μ_{∗}^{+}(α)}^{⋆}α Nun ergibt sich

ψμ^{+}h_{μ_{∗}^{+}(α)}^{⋆}α = ψμ^{+}h_{μ^{+}}^{⋆}α < ψμ^{+}h_{μ^{+}}^{⋆}β = r(h_{μ}^{⋆}β).

Mit k_{μ}^{⋆}α < h_{μ}^{⋆}β folgt die Behauptung.

2.2. Fall k_{μ}^{⋆}β < h_{μ_{∗}^{+}(β)}^{⋆}β

2.2.1. Fall α ≥ μ^{+} ∧ Rα < μ

Dann gilt h_{μ}^{⋆}α = ω^{α} = h_{μ^{+}}^{⋆}α < h_{μ^{+}}^{⋆}β ≤ h_{μ}^{⋆}β.

2.2.2. Fall h_{μ}^{⋆}α = k_{μ}^{⋆}α + γ mit γ < μ^{+} Dann gilt nach 4.1.20 γ < μ^{+} ≤ r(h_{μ^{+}}^{⋆}β) = r(h_{μ}^{⋆}β). Mit k_{μ}^{⋆}α < h_{μ}^{⋆}β folgt die Behauptung.

2.2.3. Fall α ≥ μ^{+} ∧ k_{μ}^{⋆}α < h_{μ_{∗}^{+}(α)}^{⋆}α

Dann gilt h_{μ}^{⋆}α = h_{μ^{+}}^{⋆}α < h_{μ^{+}}^{⋆}β ≤ h_{μ}^{⋆}β.

3. Fall β <_{R} μ^{+} ≤_{R} α Dann gilt zunächst wie im 1. Fall β < μ^{+}. Man hat h_{μ}^{⋆}β = k_{μ}^{⋆}β + ω^{β} und h_{μ^{+}}^{⋆}α < h_{μ^{+}}^{⋆}β = k_{μ^{+}}^{⋆}β + ω^{β}. Ferner gilt mit Lemma 4.1.20 ω^{β} < μ^{+} ≤ r(h_{μ^{+}}^{⋆}α). Wäre h_{μ^{+}}^{⋆}α > k_{μ^{+}}^{⋆}β, so folgte h_{μ^{+}}^{⋆}β < h_{μ^{+}}^{⋆}α. Also gilt h_{μ^{+}}^{⋆}α ≤ k_{μ^{+}}^{⋆}β und damit β ≥ ψμ^{+}h_{μ^{+}}^{⋆}α.

3.1. Fall k_{μ}^{⋆}α < h_{μ_{∗}^{+}(α)}^{⋆}α

Dann folgt h_{μ}^{⋆}α = h_{μ^{+}}^{⋆}α < h_{μ^{+}}^{⋆}β ≤ h_{μ}^{⋆}β. 3.2. Fall k_{μ}^{⋆}α ≥ h_{μ_{∗}^{+}(α)}^{⋆}α

Dann gilt μ ∈ Rα. Wäre μ^{+} < ν, so folgt mit K_{ν}μ^{+} ≤ K_{ν}^{⋆}α < h_{ν}^{⋆}α nun μ^{+} < ψνh_{ν}^{⋆}α. Dies widerspricht β < μ^{+}. Also ist mit μ < ν nun μ^{+} = ν. Mit

k_{μ}^{⋆}α ≤ k_{μ}^{⋆}h_{μ_{∗}^{+}(α)}^{⋆}α ≤ k_{μ}^{⋆}ψμ^{+}h_{μ_{∗}^{+}(α)}^{⋆}α = k_{μ}^{⋆}β

folgt h_{μ}^{⋆}α = k_{μ}^{⋆}α + ψμ^{+}h_{μ_{∗}^{+}(α)}^{⋆}α ≤ k_{μ}^{⋆}β + ω^{β}. □

Lemma 4.1.25 (Doppelkollabierungseigenschaft) μ ≤ ν ≤ α < M ⟹ h_{μ}^{⋆}α ≤ h_{μ}^{⋆}ψνh_{ν}^{⋆}α ∧ ψμh_{μ}^{⋆}α ≤ ψμh_{μ}^{⋆}ψνh_{ν}^{⋆}α Beweis durch R-Induktion nach β := ψνh_{ν}^{⋆}α.

1. Fall μ = ν Hier gilt h_{μ}^{⋆}α = h_{ν}^{⋆}α ∈ K_{ν}^{⋆}β < h_{μ}^{⋆}β.

2. Fall μ < ν Dann gilt μ < μ_{∗}^{+}(β) ≤ μ_{∗}^{+}(α) und μ_{∗}^{+}(β) ≤ ν. Die IV impliziert für σ := μ_{∗}^{+}(β) = μ^{+}(β) nach 4.1.13

h_{μ^{+}}^{⋆}α = h_{σ}^{⋆}α ≤ h_{σ}^{⋆}β = h_{μ^{+}}^{⋆}β.

Ferner gilt k_{μ}^{⋆}α ≤ k_{μ}^{⋆}h_{ν}^{⋆}α ≤ k_{μ}^{⋆}β < h_{μ}^{⋆}β. Nach Lemma 4.1.24 gilt h_{μ}^{⋆}α ≤ h_{μ}^{⋆}β. □

Für die Funktion h_{μ}^{⋆} ist die Lemma 4.1.25 entsprechende Aussage falsch. Dies zwang uns bei der Definition der ≪_{τ}-Relation dazu, über die κ⃗-Tupel zu quantifizieren. Ebenso benötigt man aus diesem Grund die κ⃗-Tupel bei der Formulierung der Liftungseigenschaft (siehe 4.3.17).

Lemma 4.1.26

(a) K_{μ}α < h_{μ}^{⋆}β ⟹ SC_{μ}α < ψμh_{μ}^{⋆}β

(b) k_{μ^{+}}^{⋆}α < h_{μ^{+}}^{⋆}β ∧ SC_{μ}α < ψμh_{μ}^{⋆}β ⟹ K_{μ}^{⋆}α < h_{μ}^{⋆}β

Beweis:

(a) Die Behauptung folgt aus Lemma 3.4.12.

(b) Gilt k_{μ}^{⋆}α ≤ k_{μ^{+}}^{⋆}α, so folgt k_{μ}^{⋆}α < h_{μ^{+}}^{⋆}β ≤ h_{μ}^{⋆}β. Ansonsten gilt

K_{μ}^{⋆}α ≤ K_{μ^{+}}^{⋆}α ∪ K_{μ}SC_{μ}α ≤ K_{μ}SC_{μ}α.

Nach Voraussetzung gilt SC_{μ}α < ψμh_{μ}^{⋆}β. Also gilt K_{μ}SC_{μ}α < h_{μ}^{⋆}β, was die Behauptung ergibt. □

4.2 Weitere Charakterisierungen der ≪_{τ}-Re-lation

Wir definieren nun eine auf T(M) zugeschnittene Verallgemeinerung der klassischen ≪_{τ}-Relation aus [Buchholz, Schütte 1983] und zeigen, daß wir wiederum ein Modell für unsere Kollabierungsaxiomatik erhalten. Im nächsten Abschnitt zeigen wir, daß diese Definition mit der bisherigen übereinstimmt.

Die folgende Definition sei nur für diesen Abschnitt getroffen.

Definition 4.2.1 α ≪_{τ} β :⟺ α ≪_{M} β ∧ ∀μ ≥ τ (D_{μ}α < D_{μ}β)

Diese Relation wollen wir im folgenden syntaktisch und semantisch charakterisieren. Aus schreibtechnischen Gründen führen wir zunächst die folgende Definition ein.

Definition 4.2.2 μ^{+}(α, β) := min{μ^{+}(α), μ^{+}(β)}

Lemma 4.2.3 α < β < M ∧ ∀μ ≥ τ (SC_{μ}α < D_{μ}β) ⟹ ∀μ ≥ τ (h_{μ}^{⋆}α < h_{μ}^{⋆}β)

Beweis durch Induktion nach Anzahl der Elemente in (Rα ∪ Rβ) \ (μ + 1). Es sei μ ≥ τ.

1. Fall μ^{+}(α, β) = μ Für β < μ folgt h_{μ}^{⋆}α < h_{μ}^{⋆}β nach Lemma 4.1.21. Es sei daher μ ≤ β. Aufgrund von Rα ∪ Rβ < μ^{+} gilt

K_{μ^{+}}α = ∅ < h_{μ^{+}}^{⋆}β.

Nach 4.1.26(b) folgt K_{μ}^{⋆}α < h_{μ}^{⋆}β und mit Rα ∪ Rβ < μ^{+} folgt h_{μ^{+}}^{⋆}α < h_{μ^{+}}^{⋆}β. Also gilt h_{μ}^{⋆}α < h_{μ}^{⋆}β nach 4.1.23.

2. Fall ν := μ^{+}(α, β) > μ Für β < μ folgt h_{μ}^{⋆}α < h_{μ}^{⋆}β nach 4.1.21. Es sei β ≥ μ und D_{μ}β = ψμh_{μ}^{⋆}β. Nach IV gilt zunächst h_{ν}^{⋆}α < h_{ν}^{⋆}β. Daraus folgt nach 4.1.13 h_{μ^{+}}^{⋆}α < h_{μ^{+}}^{⋆}β. Inbesondere gilt also K_{μ^{+}}^{⋆}α < h_{μ^{+}}^{⋆}β. Mit Lemma 4.1.26(b) folgt aus SC_{μ}α < ψμh_{μ}^{⋆}β nun K_{μ}^{⋆}α < h_{μ}^{⋆}β. Mit Lemma 4.1.23 folgt h_{μ}^{⋆}α < h_{μ}^{⋆}β. □

Lemma 4.2.4 α ≪_{τ} β ⟹ ∀μ ≥ τ (SC_{μ}α < D_{μ}β)

Beweis: Es sei μ ≥ τ.

1. Fall D_{M}α < μ Hier gilt SC_{μ}α ≤ SC_{μ}D_{M}α ≤ {D_{μ}α} < D_{μ}β.

2. Fall D_{M}α ≥ μ Aus ψμh_{μ}^{⋆}D_{M}α < ψμh_{μ}^{⋆}(D_{M}β) folgt nach Lemma 3.4.12(b)

SC_{μ}α = SC_{μ}D_{M}α ≤ SC_{μ}h_{μ}^{⋆}D_{M}α < ψμh_{μ}^{⋆}D_{M}α = D_{μ}α < D_{μ}β.

□

Lemma 4.2.5 α < μ ∧ SC_{μ}α < γ ∈ SC ⟹ α < γ □

Lemma 4.2.6 Sei α < β < M. Dann gilt: α ≪_{τ} β ⟺ ∀μ ≥ τ (SC_{μ}α < D_{μ}β)

Beweis: Es bleibt ”⟸“ zu zeigen. Es sei μ ≥ τ beliebig.

1. Fall α < μ ≤ β Mit SC_{μ}α < ψμh_{μ}^{⋆}β ∈ SC folgt nach 4.2.5 D_{μ}α = α < ψμh_{μ}^{⋆}β = D_{μ}β.

2. Fall α < β < μ Hier ist nichts zu zeigen.

3. Fall μ ≤ α < β Mit Lemma 4.2.3 folgt D_{μ}α = ψμh_{μ}^{⋆}α < ψμh_{μ}^{⋆}β = D_{μ}β. □

Satz 4.2.7 α ≪_{τ} β < M ∧ μ ≥ τ ⟹ D_{μ}α ≪_{τ} D_{μ}β

Beweis: Es sei ohne Einschränkung β ≥ μ. Ferner sei σ ≥ τ beliebig. Wir haben SC_{σ}D_{μ}α < D_{σ}D_{μ}β zu zeigen.

(1) ö[1.Fall] α < μ Dann gilt D_{μ}α = α.

1.1. Fall D_{μ}β ≥ σ Nun erhält man μ > σ und SC_{σ}D_{μ}α = SC_{σ}α < D_{σ}β ≤ D_{σ}D_{μ}β nach den Lemmata 4.1.24 und 4.2.4.

1.2. Fall D_{μ}β < σ Dies impliziert D_{σ}D_{μ}β = D_{μ}β. Aus α ≪_{τ} β folgt

SC_{σ}D_{μ}α = SC_{σ}α ≤ SC_{μ}α < ψμh_{μ}^{⋆}β.

2. Fall α ≥ μ Jetzt gilt D_{μ}α = ψμh_{μ}^{⋆}α.

2.1. Fall D_{μ}α < σ Also gilt SC_{σ}D_{μ}α = {D_{μ}α}. Für D_{μ}β < σ folgt dann D_{μ}α < D_{μ}β = D_{σ}D_{μ}β. Im Falle D_{μ}β ≥ σ folgt D_{σ}D_{μ}β = ψσh_{σ}^{⋆}D_{μ}β und μ > σ. Mit D_{μ}α < σ folgt nach Lemma 1.1.22

D_{μ}α < ψσh_{σ}^{⋆}D_{μ}β = D_{σ}D_{μ}β.

2.2. Fall D_{μ}α ≥ σ Alsdann folgt

SC_{σ}D_{μ}α = SC_{σ}μ ∪ SC_{σ}h_{μ}^{⋆}α ∼ SC_{σ}μ ∪ SC_{σ}α.

Ferner gelten μ > σ und D_{μ}β ≥ σ. Aus den folgenden Beziehungen folgt die Behauptung:

SC_{σ}α < D_{μ}β ≤ D_{σ}D_{μ}β
SC_{σ}μ ⊆ SC_{σ}D_{μ}β < D_{σ}D_{μ}β □

Lemma 4.2.8 ∀μ ≥ τ (SC_{μ}α < D_{μ}β) ⟹ ∀μ ≥ τ (K_{μ}α < h_{μ}^{⋆}D_{M}β)

Beweis durch R-Induktion.

1. Fall μ^{+}(α) = μ Dann gilt K_{μ}α = K_{μ}SC_{μ}α.

1.1. Fall D_{M}β ≥ μ

Aus SC_{μ}α < ψμh_{μ}^{⋆}D_{M}β folgt K_{μ}SC_{μ}α < h_{μ}^{⋆}D_{M}β. 1.2. Fall D_{M}β < μ

Mit SC_{μ}α < D_{M}β ∈ Ĉ_{μ}(h_{μ}^{⋆}D_{M}β) folgt wiederum die Behauptung.

2. Fall μ^{+}(α) > μ Nach IV und dem Majorisierungslemma gilt

K_{μ^{+}}^{⋆}α ≤ K_{μ^{+}(α)}^{⋆}α < h_{μ^{+}(α)}^{⋆}(D_{M}β) ≤ h_{μ}^{⋆}D_{M}β.

Wir haben noch zu zeigen K_{μ}SC_{μ}α < h_{μ}^{⋆}D_{M}β.

2.1. Fall D_{M}β ≥ μ Aus SC_{M}α < D_{μ}D_{M}β = ψμh_{μ}^{⋆}D_{M}β ergibt sich K_{μ}SC_{μ}α < h_{μ}^{⋆}D_{M}β.

2.2. Fall D_{M}β < μ Mit SC_{μ}α < D_{M}β und k_{μ}^{⋆}D_{M}β < h_{μ}^{⋆}D_{M}β folgt erneut die Behauptung. □

Satz 4.2.9 α ≪_{τ} β ⟺ α < β ∧ SC_{M}α < D_{M}β ∧ ∀μ ≥ τ (SC_{μ}α < D_{μ}β)

” ⇒ “ Zunächst gelten α < β und SC_{M}α < D_{M}β. Es gelte nun D_{M}α ≪_{τ} D_{M}β und es sei μ ≥ τ beliebig. Hier folgt nach Lemma 3.4.12

SC_{μ}α ≤ SC_{μ}D_{M}α ≤ D_{μ}D_{M}α < D_{μ}D_{M}β.

” ⇐ “ Zunächst folgt D_{M}α < D_{M}β. Sei μ ≥ τ. Im Falle SC_{μ}α = SC_{μ}D_{M}α folgt SC_{μ}D_{M}α < D_{μ}D_{M}β. Sei daher D_{M}α = χα0 < μ. Wir haben D_{M}α < D_{μ}D_{M}β zu zeigen. Dies ist für D_{M}β < μ trivial. Es sei also D_{M}β ≥ μ. Mit Lemma 4.2.8 und Lemma 4.2.6 folgt die Behauptung. □

Es gilt offenbar sogar: α ≪_{τ} β ⟺ α < β ∧ ∀μ ≥ τ (SC_{μ}α < D_{μ}β).

Satz 4.2.10 α ≪_{τ} β ∧ μ ≥ τ ⟹ D_{μ}α ≪_{τ} D_{μ}β

Beweis: Die Behauptung folgt aus Satz 4.2.7 mit D_{M}α ≪_{τ} D_{M}β. □

Mit der klassischen syntaktischen Charakterisierung der ≪_{τ}-Relation läßt sich leicht einsehen, daß wir wiederum ein Modell für die Kollabierungsaxiomatik erhalten, wenn wir ≪ wie in 3.6 definieren.

Wie zuvor erhalten wir auch eine semantische Charakterisierung der ≪_{τ}- Relation.

Satz 4.2.11 α ≪_{τ} β ⟺ α < β ∧ SC_{M}α < D_{M}β ∧ ∀μ ≥ τ (K_{μ}^{⋆}α < h_{μ}^{⋆}D_{M}β)

Beweis durch R-Induktion und unter Verwendung von Lemma 4.1.26. □

Korollar 4.2.12

(a) α ≪_{τ} β ∧ ν ≥ τ ⟹ D_{ν}α ≪_{τ} D_{ν}β (b) π, α ≪_{τ} β ⟹ D_{π}α ≪_{τ} β

Beweis:

(a) Seien D_{M}β ≥ ν und μ ≥ τ.

1. Fall μ ≤ ν Dann gilt K_{μ}D_{ν}α ≤ K_{μ}ν ∪ K_{μ}^{⋆}α ∪ {h_{ν}^{⋆}D_{M}α}. Mit D_{M}α ≪_{τ} D_{M}β folgt mit Lemma 4.2.3 und 4.1.25

h_{ν}^{⋆}D_{M}α < h_{ν}^{⋆}D_{M}β ≤ h_{μ}^{⋆}D_{M}β ≤ h_{μ}^{⋆}D_{ν}β.

Ferner gilt K_{μ}^{⋆}α < h_{μ}^{⋆}β ≤ h_{μ}^{⋆}D_{ν}β und K_{μ}^{⋆}ν ≤ K_{μ}^{⋆}D_{ν}β < h_{μ}^{⋆}D_{ν}β.

2. Fall ν < μ Hier gilt K_{μ}D_{ν}α ≤ K_{μ}ν ≤ k_{μ}^{⋆}D_{ν}β < h_{μ}^{⋆}D_{ν}β.

(b) Seien α ≥ π und μ > 0.

1. Fall μ ≤ π Dann gilt K_{μ}^{⋆}D_{π}α ≤ K_{μ}π ∪ K_{μ}^{⋆}α ∪ {h_{π}^{⋆}α}. Mit α ≪_{τ} β folgt h_{π}^{⋆}α < h_{π}^{⋆}β ≤ h_{μ}^{⋆}β. Ferner gilt K_{μ}π ∪ K_{μ}^{⋆}α < h_{μ}^{⋆}β aufgrund von π, α ≪_{τ} β.

2. Fall π < μ Dann K_{μ}D_{π}α = K_{μ}π < h_{μ}^{⋆}β, da π ≪_{τ} β. □

4.3 Semantische Charakterisierung der Funktion h_{μ}^{⋆}

Ein Studium des vorangegangenen Abschnittes sollte eine alternative und transparente Beschreibung der Funktion h_{μ}^{⋆} sinnvoll erscheinen lassen, da die rein syntaktisch angelegte Konstruktion und Beweisführung auch dem mit diesen Dingen vertrauten Leser ein gewisses Unbehagen bereiten dürfte. Ein sich irgendwo in der Beweisführung verborgener Fehler könnte das gesamte Konzept ins Wanken bringen und eine geringfügig erscheinende Modifikation in der Definition der Funktion h_{μ}^{⋆} hat i.a. fatale Konsequenzen. Um diese Unsicherheiten vollständig zu beseitigen, stellen wir eine natürliche Verbindung mit dem vorangegangenen Kapitel her und zeigen, wie bereits gesagt, für α < M

h_{μ}^{⋆}α = min{h_{μ}^{⋆}Dκ⃗α : κ⃗ > μ}.

Zuerst zeigen wir aber das syntaktische Pendant zu dieser Aussage, nämlich, daß für α < M gilt:

h_{μ}^{⋆}α = min{h_{μ}^{⋆}Dκ⃗α : κ⃗ > μ ∧ κ⃗ ∈ R^{+}(α)}

Wir benötigen zunächst das folgende Lemma.

Lemma 4.3.1 α < β + ω^{γ} ⟹ α + ω^{γ} ≤ β + ω^{γ}

Zum Beweis betrachte man die Cantor-Normalformen von α und β. □

Lemma 4.3.2 α < M ⟹ h_{μ}^{⋆}α ∈ {h_{μ}^{⋆}Dκ⃗α : κ⃗ ∈ R^{+}(α) ∧ κ⃗ > μ}

Beweis durch R-Induktion.

1. Fall α <_{R} μ^{+} Dann setzt man κ⃗ :=<> und erhält

h_{μ}^{⋆}α = h_{μ}^{⋆}D_{<>}α = k_{μ}^{⋆}α + ω^{α}.

2. Fall α ≥_{R} μ^{+} ∧ k_{μ}^{⋆}α < h_{μ_{∗}^{+}(α)}^{⋆}α Es gelte zunächst Rα ≤ μ. Dann gilt nach 4.1.4 aufgrund von k_{μ}^{⋆}α < h_{μ_{∗}^{+}(α)}^{⋆}α

h_{μ}^{⋆}α = h_{μ_{∗}^{+}(α)}^{⋆}α = ω^{α} = k_{μ}^{⋆}α + ω^{α} = h_{μ}α

und wir dürfen κ⃗ =<> setzen.

Es gelte nun μ_{∗}^{+}(α) = μ^{+}(α) > μ. Nach IV gibt es π⃗ ∈ R^{+}(α), π⃗ > μ^{+}(α) mit

h_{μ_{∗}^{+}(α)}^{⋆}α = h_{μ^{+}(α)}^{⋆}Dπ⃗α.

Gilt hier π⃗ =<>, so dürfen wir aufgrund von Lemma 4.3.1 κ⃗ =<> setzen. Es gelte nun ohne Einschränkung

Dπ⃗α = ψπ_{1}h_{π_{1}} ⋯ ψπ_{n}h_{π_{n}}α, n ≥ 1.

Es gilt nun

K_{μ}^{⋆}Dπ⃗α ≤

K_{μ}^{⋆}α ∪ K_{μ}^{⋆}π_{1} ∪ … ∪ K_{μ}^{⋆}π_{n} ∪ {h_{π_{i}}D_{π_{i+1}} ⋯ D_{π_{n}}α : 1 ≤ i ≤ n}.

Mit μ^{+}(α) < π_{1} gilt für i ∈ {1, …, n}

h_{π_{i}}D_{π_{i+1}} ⋯ D_{π_{n}}α ∈ K_{μ^{+}(α)}Dπ⃗α < h_{μ^{+}(α)}Dπ⃗α.

Aufgrund von π_{i} ∈ R^{+}(α) gilt ferner für 1 ≤ i ≤ n

K_{μ}^{⋆}π_{i} ≤ K_{μ}^{⋆}α < h_{μ^{+}(α)}^{⋆}α.

Also gilt K_{μ}^{⋆}Dπ⃗α < h_{μ^{+}(α)}Dπ⃗α und somit nach Lemma 4.3.1

h_{μ}^{⋆}Dπ⃗α = K_{μ}^{⋆}Dπ⃗α + ω^{Dπ⃗α} = h_{μ^{+}(α)}^{⋆}Dπ⃗α.

Wir dürfen daher κ⃗ = π⃗ setzen.

3. Fall α ≥_{R} μ^{+} ∧ k_{μ}^{⋆}α ≥ h_{μ_{∗}^{+}(α)}^{⋆}α Dann gilt μ ∈ R(α). Es gelte zunächst R(α) ≤ μ. Nach 4.1.4 gilt dann h_{μ}^{⋆}α = k_{μ}^{⋆}α + ψμ^{+}ω^{α}. Ferner gilt

K_{μ}^{⋆}ψμ^{+}ω^{α} ≤ K_{μ}^{⋆}μ^{+} ∪ K_{μ}^{⋆}α ∪ {ω^{α}}.

Aufgrund von ω^{α} ≤ h_{μ_{∗}^{+}(α)}^{⋆}α ≤ k_{μ}^{⋆}α und μ ∈ Rα folgt h_{μ}^{⋆}D_{μ^{+}}α = h_{μ}^{⋆}α und daher dürfen wir κ⃗ =< μ^{+} > setzen. Es gelte nun μ^{+}(α) = μ_{∗}^{+}(α) > μ. Nach IV gibt es π⃗ ∈ R^{+}(α), π⃗ > μ^{+}(α) mit h_{μ_{∗}^{+}(α)}^{⋆}α = h_{μ^{+}(α)}^{⋆}Dπ⃗α. Aufgrund des Homogenitätslemmas gilt wegen K_{μ^{+}}^{⋆}α ≤ K_{μ^{+}(α)}^{⋆}α nun K_{μ^{+}}^{⋆}Dπ⃗α ≤ K_{μ^{+}(α)}^{⋆}Dπ⃗α und somit

h_{μ^{+}}^{⋆}Dπ⃗α = h_{μ^{+}(α)}^{⋆}Dπ⃗α = h_{μ_{∗}^{+}(α)}^{⋆}α ≥ α ≥ μ^{+}.

Daher gilt D_{μ^{+}}Dπ⃗α = ψμ^{+}h_{μ_{∗}^{+}(α)}^{⋆}α. Ferner folgert man mit μ ∈ Rα und dem Fundamentallemma

K_{μ}^{⋆}D_{μ^{+}}Dπ⃗α ≤ K_{μ}^{⋆}μ^{+} ∪ K_{μ}^{⋆}h_{μ^{+}}^{⋆}Dπ⃗α ∪ {h_{μ^{+}}^{⋆}Dπ⃗α}
≤ K_{μ}^{⋆}α ∪ K_{μ}h_{μ_{∗}^{+}(α)}^{⋆}α ∪ {h_{μ_{∗}^{+}(α)}^{⋆}α}
≤ K_{μ}^{⋆}α ∪ {h_{μ_{∗}^{+}(α)}^{⋆}α} ≤ K_{μ}^{⋆}α ≤ K_{μ}^{⋆}D_{μ^{+}}Dπ⃗α.

Schließlich folgt

h_{μ}^{⋆}α = k_{μ}^{⋆}α + ψμ^{+}h_{μ_{∗}^{+}(α)}^{⋆}α = k_{μ}^{⋆}D_{μ^{+}}Dπ⃗α + ω^{D_{μ^{+}}Dπ⃗α} = h_{μ}^{⋆}D_{μ^{+}}Dπ⃗α.

Wir dürfen also κ⃗ = ⟨μ^{+}, π⃗⟩ setzen. □

Lemma 4.3.3 α < M ∧ κ⃗ ∈ R^{+}(α) ∧ κ⃗ > μ ⟹ h_{μ}^{⋆}α ≤ h_{μ}^{⋆}Dκ⃗α

Beweis durch R-Induktion. Sei κ⃗ = (κ_{1}, …, κ_{n}).

1. Fall α <_{R} μ^{+} Dann gibt es kein κ⃗ ∈ R^{+}(α) mit <>≠ κ⃗ > μ. Ferner gilt

h_{μ}^{⋆}α = k_{μ}^{⋆}α + ω^{α} = h_{μ}^{⋆}D_{<>}α.

2. Fall α ≥_{R} μ^{+} ∧ k_{μ}^{⋆}α < h_{μ_{∗}^{+}(α)}^{⋆}α Es gelte zunächst Rα ≤ μ. Dann sind die Fälle κ⃗ =< μ^{+} > und κ⃗ =<> zu betrachten. Für κ⃗ =<> gilt nach 4.1.4

h_{μ}α ≥ h_{μ^{+}}^{⋆}α = k_{μ^{+}}^{⋆}α + ω^{α} = ω^{α} = h_{μ_{∗}^{+}(α)}^{⋆}α = h_{μ}^{⋆}α.

Es sei daher κ⃗ =< μ^{+} > . Dann gilt mit α ≥ μ^{+}

\begin{aligned}h_{μ}^{⋆}D_{μ^{+}}α & = & h_{μ}^{⋆}ψμ^{+}h_{μ^{+}}^{⋆}α ≥ h_{μ^{+}}^{⋆}α \\ & = & k_{μ^{+}}^{⋆}α + ω^{α} = ω^{α} = h_{μ_{∗}^{+}(α)}^{⋆}α = h_{μ}^{⋆}α. \end{aligned}

Wir nehmen daher μ^{+}(α) = μ_{∗}^{+}(α) > μ an.

2.1. Fall μ^{+}(α) < κ_{1} ∨ n = 0 Hier gilt nach IV

h_{μ}^{⋆}Dκ⃗α ≥ h_{μ_{∗}^{+}(α)}^{⋆}Dκ⃗α ≥ h_{μ^{+}(α)}^{⋆}α = h_{μ}^{⋆}α.

2.2. Fall κ_{1} ≤ μ^{+}(α)

Ferner sei ohne Einschränkung Dκ⃗α = ψκ_{1}h_{κ_{1}}D_{κ_{2}} ⋯ D_{κ_{n}}α angenommen. Wegen κ_{1} ∈ R^{+}(α) ∧ μ < κ_{1} ≤ μ^{+}(α) gilt κ_{1} = μ^{+} und (κ_{2}, …, κ_{n}) > μ^{+}(α). Somit folgt nach IV, k_{μ^{+}}^{⋆}α ≤ k_{μ_{∗}^{+}(α)}^{⋆}α und dem Homogenitätslemma

h_{μ}^{⋆}Dκ⃗α > K_{μ}^{⋆}Dκ⃗α ≥ h_{μ^{+}}^{⋆}D_{κ_{2}} ⋯ D_{κ_{n}}α
= h_{μ^{+}(α)}^{⋆}D_{κ_{2}} ⋯ D_{κ_{n}}α
≥ h_{μ_{∗}^{+}(α)}^{⋆}α = h_{μ}^{⋆}α

3. Fall α ≥_{R} μ^{+} ∧ k_{μ}^{⋆}α ≥ h_{μ_{∗}^{+}(α)}α Dann gilt μ ∈ Rα. Zunächst gelte Rα ≤ μ. Dann gilt κ⃗ =<> oder κ⃗ =< μ^{+} > . Im ersten Fall gilt mit α ≥ μ^{+}

h_{μ}α = k_{μ}^{⋆}α + ω^{α} > k_{μ}^{⋆}α + ψμ^{+}h_{μ_{∗}^{+}(α)}^{⋆}α.

Im zweiten Fall erhält man wegen K_{μ^{+}}^{⋆}α = ∅

h_{μ}^{⋆}D_{μ^{+}}α = k_{μ}^{⋆}ψμ^{+}ω^{α} + ψμ^{+}ω^{α} ≥ k_{μ}^{⋆}α + ψμ^{+}h_{μ_{∗}^{+}(α)}^{⋆}α = h_{μ}^{⋆}α.

Es gelte nun μ^{+}(α) = μ_{∗}^{+}(α) > μ. 3.1. Fall κ_{1} > μ_{∗}^{+}(α) ∨ n = 0

Wegen α ≥ μ^{+} > ψμ^{+}h_{μ_{∗}^{+}(α)}^{⋆}α sei n ≥ 1 und α ≥ κ_{1} angenommen. Dann gilt μ^{+} ∈ R^{+}(α) ∩ α ≪ α und daher μ^{+} < Dκ⃗α. Aufgrund von K_{μ}^{⋆}α ≤ K_{μ}^{⋆}Dκ⃗α folgt

h_{μ}^{⋆}Dκ⃗α > h_{μ}^{⋆}α = k_{μ}^{⋆}α + ψμ^{+}h_{μ_{∗}^{+}(α)}^{⋆}α.

3.2. Fall κ_{1} ≤ μ^{+}(α) ∧ n > 0 Ohne Einschränkung sei Dκ⃗α = ψκ_{1}h_{κ_{1}} ⋯ D_{κ_{n}}α. Ferner gilt κ_{1} = μ^{+}, da μ ∈ Rα und (κ_{2}, …, κ_{n}) > μ_{∗}^{+}(α). Nach IV gilt

h_{μ^{+}}^{⋆}D_{κ_{2}} ⋯ D_{κ_{n}}α ≥ h_{μ_{∗}^{+}(α)}^{⋆}D_{κ_{2}} ⋯ D_{κ_{n}}α ≥ h_{μ_{∗}^{+}(α)}^{⋆}α

und somit folgt

h_{μ}^{⋆}Dκ⃗α = K_{μ}^{⋆}Dκ⃗α + ω^{Dκ⃗α} ≥ K_{μ}^{⋆}α + ψκ_{1}h_{μ_{∗}^{+}(α)}^{⋆}α = h_{μ}^{⋆}α. □

Korollar 4.3.4 α < M ⟹ h_{μ}^{⋆}α = min{h_{μ}^{⋆}Dκ⃗α : κ⃗ > μ ∧ κ⃗ ∈ R^{+}(α)} □

Lemma 4.3.5 M > α ≥ μ ∧ κ⃗ ∈ R^{+}(α) ∧ κ⃗ > μ ⟹ Dκ⃗α ≥ μ

Beweis: Aus κ ∈ R^{+}(α) und κ > μ folgt μ ≤ κ^{−} < D_{κ}α < κ. □

Korollar 4.3.6 D_{μ}α = min{D_{μ}Dκ⃗α : κ⃗ ∈ R^{+}(α) ∧ κ⃗ > μ}

Beweis: Es sei ohne Einschränkung α ≥ μ. Sei nun κ⃗ ∈ R^{+}(α) und κ⃗ > μ. Dann gilt nach Lemma 4.3.5 und Korollar 4.3.4

D_{μ}α = ψμh_{μ}^{⋆}α ≤ ψμh_{μ}Dκ⃗α = D_{μ}Dκ⃗α.

Also gilt ” ≤ “. Sei nun κ⃗ ∈ R^{+}(α) und κ⃗ > μ derart, daß D_{μ}Dκ⃗α minimal ist. Ferner sei h_{μ}^{⋆}α = h_{μ}^{⋆}Dπ⃗α mit π⃗ ∈ R^{+}(α) und π⃗ > μ. Dann gilt wegen Dπ⃗α ≥ μ

D_{μ}Dκ⃗α ≤ D_{μ}Dπ⃗α = ψμh_{μ}^{⋆}Dπ⃗α = D_{μ}α. □

Folgerung 4.3.7 α ≪_{τ} β < M ⟹ ∀μ ≥ τ (D_{μ}α < D_{μ}β)

Beweis: Es gelte D_{μ}α = D_{μ}Dκ⃗α und D_{μ}β = D_{μ}Dπ⃗β für gewisse π⃗, κ⃗ ∈ R^{+}(α), die gemäß 4.3.6 gewählt seinen. Nach 4.3.6 gilt D_{μ}Dκ⃗α ≤ D_{μ}Dπ⃗α. Mit α ≪_{τ} β folgt D_{μ}Dπ⃗α < D_{μ}Dπ⃗β. Also folgt D_{μ}α < D_{μ}β. □

Lemma 4.3.8 (Minorisierungslemma) π ≪ α < M ∧ π < κ ≤ α ∧ h_{π}α = h_{κ}α ⟹ D_{π}α ≪ D_{κ}α Beweis: Aus π ≪ α folgt D_{π}α < π = D_{κ}π ≪ D_{κ}α. Es seien ϱ < σ⃗ beliebig vorgegeben. Dann haben wir nach der semantischen Charakterisierung der ≪_{τ} Relation

k_{ϱ}D_{π}α < h_{ϱ}^{⋆}Dσ⃗D_{κ}α

zu zeigen. Aufgrund von π ≪ D_{κ}α dürfen wir ϱ^{−} < D_{π}α = ψπh_{π}α und ϱ ≤ π annehmen. Dann gilt

K_{ϱ}D_{π}α = K_{ϱ}π ∪ K_{ϱ}h_{π}^{⋆}α ∪ {h_{π}^{⋆}α}.

Es gelten K_{ϱ}π < h_{ϱ}Dσ⃗Dκ⃗α und

K_{ϱ}^{⋆}h_{π}^{⋆}α ≤ k_{ϱ}^{⋆}α ≤ K_{ϱ}^{⋆}Dσ⃗D_{κ}α < h_{ϱ}^{⋆}Dσ⃗D_{κ}α

aufgrund von π ≪ D_{κ}α, ϱ < κ und dem Fundamentallemma. Schließlich gilt nach Voraussetzung

h_{π}α = h_{κ}α ∈ K_{ϱ}^{⋆}D_{κ}α ≤ K_{ϱ}^{⋆}Dσ⃗D_{κ}α < h_{ϱ}^{⋆}Dσ⃗D_{κ}α □

Lemma 4.3.9 (Iteriertes Minorisierungslemma) Unter den Voraussetzungen

• μ < σ_{1} < … σ_{s} < κ_{n+1} < … < κ_{m} ≤ α < M

• {σ_{1}, …, σ_{s}} ⊆ R^{+}(α)

• D_{κ_{n+1}} ⋯ D_{κ_{m}}α ≥ max{σ_{s}, μ} gibt es π ∈ R^{+}(α) ∪ {<>} mit

• π > max{σ_{s}, μ}

• D_{μ}D_{σ_{1}} ⋯ D_{σ_{s}}D_{π}D_{κ_{n+2}} ⋯ D_{κ_{m}}α ≤ D_{μ}D_{σ_{1}} ⋯ D_{σ_{s}}D_{κ_{n+1}} ⋯ D_{κ_{m}}α

• D_{κ_{n+2}} ⋯ D_{κ_{m}}α ≥ max{μ, σ_{s}, π} Beweis durch Induktion nach m − n. Ist m−n = 0, so ist nichts zu zeigen. Sei also m−n > 0. Ohne Einschränkung sei

D_{κ_{n+1}} ⋯ D_{κ_{m}}α = ψκ_{n+1}h_{κ_{n+1}} ⋯ ψκ_{m}h_{κ_{m}}α

angenommen. Im Fall κ_{n+1} ∈ R^{+}(α) gilt die Behauptung für π = κ_{n+1}. Es sei also κ_{n+1} ∉ R^{+}(α).

1. Fall (s = 0 ∧ R^{+}(α)∩]μ, κ_{n+1}] ≠ ∅) ∨ (s ≠ 0 ∧ R^{+}(α)∩]σ_{s}, κ_{n+1}] ≠ ∅) Wir wählen π ∈ R^{+}(α) maximal mit π < κ_{n+1}. Dann gilt wegen κ_{n+1} ∉ R^{+}(α) nun k_{π}^{⋆}α ≤ k_{κ_{n+1}}^{⋆}α. Mit dem Homogenitätslemma folgen

k_{π}^{⋆}D_{κ_{n+2}} ⋯ D_{κ_{m}}α ≤ k_{κ_{n+1}}^{⋆}D_{κ_{n+2}} ⋯ D_{κ_{m}}α

und

h_{π}D_{κ_{n+2}} ⋯ D_{κ_{m}}α = h_{κ_{n+1}}^{⋆}D_{κ_{n+2}} ⋯ D_{κ_{m}}α.

Ferner gilt π < κ_{n+1} ≤ D_{κ_{n+2}} ⋯ D_{κ_{m}}α und man hat aufgrund von π ∈ R^{+}(α) ∩ α auch π ≪ α, also π = D_{κ_{n+2}} ⋯ D_{κ_{m}}π ≪ D_{κ_{n+2}} ⋯ D_{κ_{m}}α. Also gilt nach dem Minorisierungslemma 4.3.8

D_{π}D_{κ_{n+2}} ⋯ D_{κ_{m}}α ≪ D_{κ_{n+1}} ⋯ D_{κ_{m}}α.

Es folgt nun somit

D_{μ}D_{σ_{1}} ⋯ D_{σ_{s}}D_{π}D_{κ_{n+2}} ⋯ D_{κ_{m}}α<D_{μ}D_{σ_{1}} ⋯ D_{σ_{s}}D_{κ_{n+1}} ⋯ D_{κ_{m}}α.

2. Fall s ≠ 0 ∧ R^{+}(α)∩]σ_{s}, κ_{n+1}] = ∅ Es folgt k_{σ_{s}}^{⋆}α ≤ k_{κ_{n+1}}^{⋆}α und damit

h_{σ_{s}}D_{κ_{n+2}} ⋯ D_{κ_{m}}α = h_{κ_{n+1}}^{⋆}D_{κ_{n+2}} ⋯ D_{κ_{m}}α.

Mit σ_{s} ∈ R^{+}(α) ∩ α ≪ α folgt wie im 1. Fall die Behauptung, wenn wir π =<> setzen.

3. Fall s = 0 ∧ R^{+}(α)∩]μ, κ_{n+1}] = ∅ Wie im 2. Fall folgt h_{μ}^{⋆}D_{κ_{n+2}} ⋯ D_{κ_{m}}α = h_{κ_{n+1}}D_{κ_{n+2}} ⋯ D_{κ_{m}}α. Damit gilt

\begin{aligned}h_{μ}^{⋆}D_{κ_{n+2}} ⋯ D_{κ_{m}}α & ≤ & K_{μ}^{⋆}ψκ_{n+1}h_{κ_{n+1}}^{⋆} ⋯ ψh_{κ_{m}}^{⋆}α \\ & < & h_{μ}^{⋆}D_{κ_{n+1}} ⋯ D_{κ_{m}}α. \end{aligned}

Ferner hat man μ ≤ D_{κ_{n+1}} ⋯ D_{κ_{m}}α < D_{κ_{n+2}} ⋯ D_{κ_{m}}α und es folgt

D_{μ}D_{κ_{n+2}} ⋯ D_{κ_{m}}α < D_{μ}D_{κ_{n+1}} ⋯ D_{κ_{m}}α

und wir dürfen π =<> setzen. □

Korollar 4.3.10 (Minimalkollabierungseigenschaft der R-Mengen) Ist α < M, so gilt ∀μ∀κ⃗ > μ (Dκ⃗α ≥ μ ⟹ ∃π⃗ ∈R^{+}(α) ∪ {<>}(π⃗ > μ ∧ D_{μ}Dπ⃗α ≤ D_{μ}Dκ⃗α)).

Beweis: Die Behauptung folgt durch lh(κ⃗)-maliges Anwenden des iterierten Minorisierungslemmas. □

Definition 4.3.11 minclpse_{μ}α := min{D_{μ}Dκ⃗α : κ⃗ ≠<>⟹ Dκ⃗α ≥ μ}

Folgerung 4.3.12 minclpse_{μ}α = D_{μ}α

Der Beweis ergibt sich aus 4.3.10 und 4.3.6. □

Folgerung 4.3.13 h_{μ}^{⋆}α = min{h_{μ}Dκ⃗α : κ⃗ ≠<>⟹ Dκ⃗α > μ} □

Satz 4.3.14 h_{μ}^{⋆}α = min{h_{μ}Dκ⃗α : κ⃗ > μ}

Beweis: Sei h_{μ}Dκ⃗α minimal für κ⃗ > μ. Es sei κ⃗ = (κ_{1}, …, κ_{n}) und

Dκ⃗α = ψκ_{1}h_{κ_{1}}D_{κ_{2}} ⋯ D_{κ_{n}}α

und ohne Einschränkung n > 0.

1. Fall κ_{1} ∈ R^{+}(α)

Dann gilt Dκ⃗α > μ.

2. Fall ]μ, κ_{1}] ∩ R^{+}(α) ≠ ∅ Aufgrund von R^{+}(α) ∩ α ≪ α folgt Dκ⃗α > μ.

In beiden Fällen folgt die Behauptung aus 4.3.13.

3. Fall ]μ, κ_{1}] ∩ R^{+}(α) = ∅ Dann gilt k_{μ}^{⋆}α ≤ k_{κ_{1}}^{⋆}α und somit

k_{μ}^{⋆}D_{κ_{2}} ⋯ D_{κ_{n}}α ≤ k_{κ_{1}}^{⋆}D_{κ_{2}} ⋯ D_{κ_{n}}α,

also

h_{μ}D_{κ_{2}} ⋯ D_{κ_{n}}α = h_{κ_{1}}D_{κ_{2}} ⋯ D_{κ_{n}}α.

Also hat man im Widerspruch zu Wahl von κ⃗

h_{μ}D_{κ_{2}} ⋯ D_{κ_{n}}α = h_{κ_{1}}D_{κ_{2}} ⋯ D_{κ_{n}}α ∈ K_{μ}^{⋆}Dκ⃗α < h_{μ}Dκ⃗α. □

Satz 4.3.15 Es sei α < β < M. Dann gilt: ∀μ ≥ τ (D_{μ}α < D_{μ}β) ⟹ α ≪_{τ} β.

Beweis: Nach Satz 4.2.11 folgt ∀μ ≥ τ(k_{μ}^{⋆}α < h_{μ}^{⋆}β.) Es sei nun κ⃗ > μ beliebig mit Dκ⃗β ≥ μ. Dann gilt für β ≥ μ

D_{μ}β = minclpse_{μ}β = D_{μ}Dσ⃗β ≤ D_{μ}Dκ⃗β

für ein σ⃗. Damit gilt h_{μ}^{⋆}β = h_{μ}Dσ⃗β ≤ h_{μ}Dκ⃗β. Also gilt k_{μ}^{⋆}α < h_{μ}Dκ⃗β. Für β < μ folgt k_{μ}^{⋆}α ≤ k_{μ}^{⋆}β < h_{μ}Dκ⃗β. □

Korollar 4.3.16 α ≪_{τ} β ⟺ α ≪_{M} β ∧ ∀μ ≥ τ (D_{μ}α < D_{μ}β) □ Damit ist die Wahl der Definition 4.2.1 gerechtfertigt.

Korollar 4.3.17 (2. Beweis der Kollabierungsliftungseigenschaft) α, π ≪ β ⟹ ∃κ⃗ > π (D_{π}Dκ⃗α ≪ β)

Beweis: Aus α, π ≪ β folgt nach 4.3.16 D_{π}α ≪ β und es gilt für ein κ⃗ > π zudem D_{π}α = D_{π}Dκ⃗α. □

Korollar 4.3.18 Sei α < β < M. Dann gilt

\begin{aligned}α ≪_{τ} β & ⟺ & ∀μ ≥ τ (D_{μ}α < D_{μ}α) \\ & ⟺ & ∀μ ≥ τ (minclpse_{μ}α < minclpse_{μ}β) □ \end{aligned}

Dies liefert uns erneut ein semantisch orientiertes Modell für die Kollabierungsaxiomatik. Man definiere

D_{μ}α := minclpse_{μ}α und α ≺≺_{τ} β :⟺ α < β ∧ ∀μ ≥ τ (D_{μ}α < D_{μ}β).

4.4 Rekursionstheoretische Eigenschaften der ≪_{τ}-Relation

In diesem Abschnitt zeigen wir, daß die durch

W (α, β, τ) :⟺ α ≪_{τ} β

definierte Relation primitiv rekursiv ist. Diese Aussage ergibt sich aus dem folgenden Satz.

Satz 4.4.1 α ≪_{τ} β ⟺ ∀κ⃗ ∈ Rα ∪ R^{+}(β) (κ ≥ τ ⟹ Dκ⃗α < Dκ⃗β)

Auf den aufwendigen Beweis dieses Satzes wollen wir verzichten. Stattdessen stützen wir uns auf die in diesem Kapitel gezeigte Charakterisierung der ≪_{τ}-Relation.

Satz 4.4.2 Seien α < β < M. Dann gilt

α ≪_{τ} β ⟺ ∀μ ≥ τ (μ ∈ {τ} ∪ Rα ∪ Rβ ⟹ h_{μ}^{⋆}α < h_{μ}^{⋆}β.

” ⇒ “ Diese Richtung folgt aus 4.3.16 und 4.2.3.

” ⇐ “ Wir zeigen ∀μ ≥ τ (h_{μ}^{⋆}α < h_{μ}^{⋆}β). Daraus folgt mit 4.2.11 die Behauptung. Sei also μ ≥ τ beliebig. Ohne Einschränkung sei μ ∉ {τ} ∪ Rα ∪ Rβ.

1. Fall Rα ∪ Rβ < μ

Dann gilt

h_{μ}^{⋆}α = k_{μ}^{⋆}α + ω^{α} = ω^{α} < ω^{β} = h_{μ}^{⋆}β.

2. Fall Rα ≥ μ ∧ Rβ ≥ μ Dann gilt μ < π := μ^{+}(α, β) ≤ μ^{+}(α), μ^{+}(β) und nach 4.1.3 und Voraussetzung

h_{μ}^{⋆}α = h_{π}^{⋆}α = h_{π}^{⋆}β = h_{μ}^{⋆}β.

3. Fall Rα < μ ∧ Rβ ≥ μ Dann gilt μ < π := μ^{+}(β) und mit 4.1.10 folgt

h_{μ}^{⋆}α = k_{μ}^{⋆}α + ω^{α} = ω^{α} = h_{π}^{⋆}α < h_{π}^{⋆}β = h_{μ}^{⋆}β.

4. Fall Rα ≥ μ ∧ Rβ < μ Hier folgt h_{μ}^{⋆}α < h_{μ}^{⋆}β wie im 3. Fall. □

Korollar 4.4.3 W ist primitiv rekursiv. Beweis Die Behauptung folgt aus dem Satz 4.4.2. □

4.5 Kollabierung entlang der R^{+}-Mengen

Wir untersuchen nun die in Lemma 3.5.15 auftretenden iterierten Kollabierungen als eigenständige Objekte und erhalten erneut ein Modell für die Kollabierungsaxiomatik. Es stellt sich heraus, daß die ≪_{τ}-Relation nicht notwendig durch Kollabierungsfunktionen des Kollabierungsmodells induziert wird. Ferner zeigt sich, daß die ≪_{τ}-Relation nicht eindeutig bestimmt ist.

Definition 4.5.1 Sei R^{+}(α) ∩ (α + 1) \ (μ + 1) = {κ_{n+1}, …, κ_{m}} mit κ_{n+1} < … < κ_{m}. Dann sei μ(α) := (μ, κ_{n+1}, …, κ_{m}).

Definition 4.5.2 R^{+}− clpse_{μ}α := D_{μ(α)}α

Folgerung 4.5.3 μ, α ≪ β ⟹ R^{+}− clpse_{μ}α ≪ β □

Satz 4.5.4 Ist α ≪_{τ} β < M und μ ≥ τ, so gelten

(a) R^{+}− clpse_{μ}α ≪_{τ} R^{+}− clpse_{μ}β

(b) R^{+}− clpse_{μ}α ≪_{τ} minclpse_{μ}β

Beweis: Sei R^{+} − clpse_{μ}α = D_{μ}Dκ⃗α mit κ⃗ = (κ_{1}, …, κ_{n}), n ≥ 0 und κ⃗ > μ, κ_{1} < … < κ_{n}. Dann gilt Dκ⃗α ≪_{τ} β. Sei μ(β) = (μ, π_{1}, …, π_{m}), m ≥ 0, μ < π_{1} < … < π_{m}. Wir haben für τ ≤ σ < ϱ⃗ und Dϱ⃗D_{μ}Dπ⃗β ≥ σ

K_{σ}^{⋆}D_{μ}Dκ⃗α < h_{σ}Dϱ⃗D_{μ}Dπ⃗β

zu zeigen. Ohne Einschränkung sei μ ≤ β und ϱ⃗ < μ. Zunächst gilt

K_{σ}^{⋆}D_{μ}Dκ⃗α ≤ K_{σ}^{⋆}μ ∪ K_{σ}^{⋆}h_{μ}Dκ⃗α ∪ {h_{μ}^{⋆}Dκ⃗α}.

Wir erhalten somit

K_{σ}^{⋆}μ ≤ K_{σ}^{⋆}ψμh_{μ}^{⋆}D_{π_{1}} ⋯ D_{π_{m}}β = K_{σ}^{⋆}D_{μ}D_{π_{1}} ⋯ D_{π_{m}}β < h_{σ}Dϱ⃗D_{μ}Dπ⃗β

und wegen Dκ⃗α ≪_{τ} β

K_{σ}^{⋆}h_{μ}Dκ⃗α ≤ K_{σ}^{⋆}Dκ⃗α < h_{σ}Dϱ⃗D_{μ}D_{π_{1}} ⋯ D_{π_{m}}β.

Es genügt daher

h_{μ}^{⋆}Dκ⃗α < h_{σ}^{⋆}Dϱ⃗D_{μ}D_{π_{1}} ⋯ D_{π_{m}}β

zu zeigen. Wir zeigen nun

h_{μ}^{⋆}Dκ⃗α = h_{μ}^{⋆}Dκ⃗α.  (4.1)

Dann folgt wegen D_{π_{1}} ⋯ D_{π_{m}}β ≥ μ

h_{μ}^{⋆}Dκ⃗α = h_{μ}^{⋆}Dκ⃗α < h_{μ}^{⋆}β = min{h_{μ}^{⋆}Dπ⃗β : μ =<>⟹ Dπ⃗β > μ}
≤ h_{μ}D_{π_{1}} ⋯ D_{π_{m}}β
∈ K_{σ}^{⋆}D_{μ}D_{π_{1}} ⋯ D_{π_{m}}β
≤ K_{σ}^{⋆}Dϱ⃗D_{μ}D_{π_{1}} ⋯ D_{π_{m}}β
< h_{σ}^{⋆}Dϱ⃗D_{μ}D_{π_{1}} ⋯ D_{π_{m}}β.

Offenbar folgt (4.1) aus D_{μ}Dκ⃗α = minclpse_{μ}Dκ⃗α. Sei nun σ⃗ > μ beliebig und minclpse_{μ}Dκ⃗α = D_{μ}Dσ⃗Dκ⃗α. Nach dem Minorisierungslemma und der Defintion von κ⃗ läßt sich σ⃗ als leere Sequenz wählen, was die Behauptung impliziert. Die zweite Behauptung ist implizit mitgezeigt worden. □

Definiert man nun D̃_{μ}α := R^{+} − clpse_{μ}α und übernimmt die ≪_{τ}-Relation, so erhält man wiederum ein Modell für die Kollabierungsaxiomatik. Dieses zeichnet sich dadurch aus, daß die ≪_{τ}-Relation nicht direkt durch die Kollabierungsfunktionen D̃_{μ} induziert wird, wie aus der folgenden Feststellung folgt.

Feststellung 4.5.5

(a) α < β ∧ ∀μ⃗ (D̃μ⃗α < D̃μ⃗β) ≠⇒ α ≪ β

(b) α < β ∧ ∀μ⃗ (minclpseμ⃗α < D̃_{μ}β) ≠⇒ α ≪ β

Beweis: Sei β := Ω_{2}#Ω_{3} und α := D_{Ω}D_{Ω_{2}}β. Dann gilt für alle μ⃗

minclpseμ⃗α = D̃μ⃗α = D_{Ω}D_{Ω_{2}}β.

Für μ⃗ > Ω gilt D̃μ⃗β ≥ Ω > α. Ferner gilt D̃μ⃗β ≥ D̃_{Ω}β = ψΩ(ω^{β}#D_{Ω_{3}}β) > α. Es gilt aber nicht α ≪ β. □

Es gilt aber das folgende Korollar.

Korollar 4.5.6 α ≪_{τ} β ⟺ ∀μ ≥ τ (R^{+}− clpse_{μ}α < minclpse_{μ}β) Beweis:

” ⇐ “ Für μ ≥ τ gilt minclpse_{μ}α ≤ R^{+}− clpse_{μ}α < minclpse_{μ}β.

” ⇒ “ Die Behauptung folgt aus Satz 4.5.4. □

Es stellt sich die Frage, ob die ≪_{τ}-Relation durch die Kollabierungsaxiomatik eindeutig bestimmt ist. Dies ist natürlich nicht der Fall. Zum einen lassen sich aus [Gordeev 1989] Kollabierungsfunktionen und eine ≪_{τ}-Relation, die auf einem Teilsystem von T(M), dessen Ordnungstyp aber gleich dem von T(M) ist, definieren, die sich deutlich von unserem Konzept unterscheiden (siehe [Weiermann 1990a]). Bei diesem Ansatz spielen insbesondere die R-Mengen keine Rolle mehr. Zum anderen führt (wie zum Abschluß der Arbeit gezeigt wird) die Definition

α ≪_{τ}^{⋆} β :⟺ α < β ∧ ∀μ ≥ τ (D̃_{μ}α < D̃_{μ}β)  (4.2)

zu einem neuen Modell für die Kollabierungsaxiomatik, für welches ≪_{τ}⊆≪_{τ}^{⋆} und ≪_{τ}≠≪_{τ}^{⋆} gilt. Es zeigt sich also, daß man auch bei der Definition der Funktion h_{μ}^{⋆} gemäß dem klassischen Ansatz eine gewisse Wahlfreiheit hat. Man hat lediglich zu beachten, daß man bei der Definition der Funktion h_{μ}^{⋆} genügend oft die dritte Rekursionsvorschrift anwendet. Diese Tatsache zeigt ferner an, wie groß die Wahlfreiheit bei der Definition der Funktion h_{μ}^{⋆} mindestens ist (vgl. [Pohlers 1981], p. 347, Bemerkung 3.16). Ist nämlich R̂α eine beliebige endliche Menge von Ordinalzahlen mit k_{μ}R̂α ≤ k_{μ}^{⋆}α und

k_{μ}^{⋆}α ≤ ⋃{K_{ν}^{⋆}α : ν ∈ R̂α ∧ ν ≥ μ}

so liefert, wie man einem Beweis der vorangegangenen Bemerkung entnehmen kann, (D̂_{μ}, D_{M}, ˆ≪_{τ}) definiert durch

D̂_{μ}α := R̂^{+}− clpse_{μ}α := D_{μ}D_{κ_{1}} ⋯ D_{κ_{n}}α für R̂^{+}(α) ∩ α = {κ_{1}, …, κ_{n}}

αˆ≪_{τ}β :⟺ α < β ∧ ∀μ ≥ τ (D̂_{μ}α < D̂_{μ}β)

ein Modell für die Kollabierungsaxiomatik. So genügt etwa die semantisch definierte Menge

R̂α := {μ : k_{μ}^{⋆}α > k_{μ^{+}}^{⋆}α}

den genannten Bedingungen. Hierzu haben wir zu zeigen Lemma 4.5.7 K_{μ}α > K_{μ^{+}}^{⋆}α ⟹ K_{ϱ}μ ≤ K_{ϱ}^{⋆}α Beweis: Aus K_{μ}α > K_{μ^{+}}^{⋆}α folgt nach dem Majorisierungslemma μ ∈ Rα und damit gilt die Behauptung. Wir geben nun einen Beweis, der nicht auf die syntaktisch definierten R-Mengen zurückgreift und zeigen die Behauptung durch Induktion nach dem Grad von α.

1. Fall α = M ∨ α = 0 Dann ist nichts zu zeigen.

2. Fall α =_{NF} α_{1} + ⋯ + α_{n} Es sei k_{μ}α = k_{μ}α_{i}. Dann gilt k_{μ}α_{i} > k_{μ^{+}}^{⋆}α_{i} und damit nach der IV K_{ϱ}μ ≤ K_{ϱ}^{⋆}α.

3. Fall α =_{NF} φα_{1}α_{2} ∨ α =_{NF} Φα_{1}α_{2} ∨ α =_{NF} χα_{1}α_{2} Hier folgt die Behauptung wie im 2. Fall.

4. Fall α =_{NF} ψπβ

Dann gilt α ≥ μ^{−}. 4.1. Fall μ^{−} < α < π < μ

Dann gilt K_{μ}α = K_{μ}π. Für ν ≥ μ^{+} gilt π < ν. Also gilt K_{μ^{+}}^{⋆}ψπβ ≤ K_{μ^{+}}^{⋆}π ≤ K_{μ^{+}}^{⋆}α und damit K_{μ}π > K_{μ^{+}}^{⋆}π. Nach IV gilt wiederum die Behauptung.

4.2. Fall μ^{−} < α ∧ μ ≤ π

4.2.1. Fall μ^{+} ≤ π

Es gilt K_{μ}α = K_{μ}π ∪ K_{μ}β ∪ {β} und K_{μ^{+}}^{⋆}ψπβ ≤ K_{μ^{+}}^{⋆}π ∪ K_{μ^{+}}^{⋆}β ∪ {β} ≤ K_{μ^{+}}^{⋆}ψπβ. Nach der IV folgt leicht die Behauptung.

4.2.2. Fall μ = π Dann gilt K_{ϱ}μ = K_{ϱ}π ≤ K_{ϱ}^{⋆}ψπβ. □

Jede Obermenge R̃α von R̂α mit k_{μ}R̃α ≤ k_{μ}^{⋆}α leistet ebenfalls das gleiche. Dies zeigt, daß es mindestens abzählbar unendlich viele verschiedene Modelle der Kollabierungsaxiomatik gibt.

Wir geben nun abschließend eine Beweisskizze für die im Anschluß an Korollar 4.5.6 behaupteten Eigenschaften der ≪_{τ}^{⋆}-Relation.

Definition 4.5.8 Für α < M sei definiert

h_{μ}α :≃ \{ \begin{matrix}h_{μ}α & falls α <_{R} μ^{+} \\ h_{μ_{∗}^{+}(α)}α & falls h_{μ_{∗}^{+}(α)}α↓ ∧ α ≥_{R} μ^{+} ∧ μ ∉ Rα \\ h_{μ}ψμ^{+}h_{μ_{∗}^{+}(α)}α & falls h_{μ_{∗}^{+}(α)}α↓ ∧ α ≥_{R} μ^{+} ∧ μ ∈ Rα \\ ↑ & sonst \end{matrix}

Zudem sei h̃_{μ}γ := h_{μ}D_{M}γ.

Dann zeigt man der Reihe nach Lemma 4.5.9 Sei α < M.

(a) Rα ≤ μ ⟹ h_{μ^{+}}α = ω^{α} ∧ h_{μ}α↓

(b) h_{μ_{∗}^{+}(α)}α↓ ∧ ν ∈]μ, μ_{∗}^{+}(α)] ⟹ h_{ν}α↓ ∧ h_{ν}α = h_{μ_{∗}^{+}(α)}α (c) μ ≤ ϱ ∧ h_{ϱ}α↓⟹ k_{μ}^{⋆}α ≤ k_{μ}^{⋆}h_{ϱ}α

(d) h_{μ}α↓⟹ k_{μ}^{⋆}α < h_{μ}^{⋆}α

(e) h_{μ}α↓⟹ ∀ν ≥ μ (h_{ν}α↓ ∧ h_{μ}α ≥ h_{ν}α)

(f) μ ≤ ϱ ∧ h_{μ}α↓⟹ k_{μ}^{⋆}h_{ϱ}α < h_{μ}α

(g) h_{μ}α↓

(h) α ≤ h_{μ}α

(i) ψμh_{μ}α↓

(j) μ ≤ ϱ ⟹ K_{μ}^{⋆}h_{ϱ}α ≤ k_{μ}^{⋆}α ∪ {h_{ϱ^{+}}α}

(k) μ ≤ ϱ ⟹ Rα ∩ ϱ ⊆ Rh_{μ}α ∩ ϱ

(l) h_{μ}β ≥ μ ⟹ D̃_{μ}β = ψμh̃_{μ}β

(m) α ≥ μ ⟹ r(h_{μ}α) ≥ μ

(n) SC_{μ}α ≤ D̃_{μ}α (o) α < β < M ∧ h_{μ^{+}}α < h_{μ^{+}}β ∧ k_{μ}^{⋆}α < h_{μ}β ⟹ h_{μ}α < h_{μ}β

(p) α < β < M ⟹ (α ≪_{τ}^{⋆} β ⟺ ∀μ ≥ τ (k_{μ}^{⋆}α < h_{μ}β))

(q) α < β < M ⟹ (α ≪_{τ}^{⋆} β ⟺ ∀μ ≥ τ (SC_{μ}α < D̃_{μ}β))

(r) α < β < M ⟹ (α ≪_{τ}^{⋆} β ⟺ ∀μ ≥ τ (h_{μ}α < h_{μ}β))

(s) α < β < M ∧ ∀μ ≥ τ (k_{μ}α ≤ k_{μ}^{⋆}β) ⟹ α ≪_{τ}^{⋆} β

(t) α < β < M ∧ ∀μ ≥ τ(SC_{μ}α < D̃_{μ}β) ⟹ α ≪_{τ}^{⋆} β

(u) μ ≤ ν ∧ h_{μ^{+}}(ψνh_{ν}α) ≥ h_{μ^{+}}α ⟹ h_{μ}(ψνh_{ν}α) ≥ h_{μ}α

(v) α, π ≪_{τ}^{⋆} β ⟹ D̃_{π}α ≪_{τ}^{⋆} β

(w) α ≪_{τ}^{⋆} β ∧ π ≥ τ ⟹ D̃_{π}α ≪_{τ}^{⋆} D̃_{π}β

(x) (≪_{τ}^{⋆} (τ ∈ R), D̃_{π} (π ∈ R), D_{M}) bildet ein Modell der Kollabierungsaxiomatik.

(y) ≪_{τ}⊆≪_{τ}^{⋆}

(z) ≪_{τ}≠≪_{τ}^{⋆}

Um den Leser nicht übermäßig zu ermüden, wollen wir die Ausführung des Beweises in der Schublade unseres Schreibtisches belassen.

Literaturverzeichnis

[Barwise 1975] J. Barwise Admissible sets and structures Perspectives in Mathematical Logic (1975)

[Buchholz 1974] W. Buchholz Rekursive Bezeichnungssysteme für Ordinalzahlen auf der Grundlage der Feferman-Aczelschen Normalfunktionen Θ_{α} Dissertation München (1974)

[Buchholz, Schütte 1983] W. Buchholz und K. Schütte Ein Ordinalzahlbezeichnungssystem für die beweistheoretische Abgrenzung der Π_{2}^{1}-Separation und Bar-Induktion Sitzungsberichte der Bayerischen Akademie der Wissenschaften Mathematisch-Naturwissenschaft-liche Klasse (1983)

[Gordeev 1989] L. Gordeev Systems of iterated projective ordinal notations and combinatorial statements about binary labeled trees Archive for Mathematical Logic 29 (1989)

[Jäger 1984] G. Jäger ϱ-inaccessible ordinals, collabsing functions and a recursive notation system Archiv für Mathematische Logik und Grundlagenforschung 24 (1984)

[Jäger, Pohlers 1982] G. Jäger und W. Pohlers Eine beweistheoretische Untersuchung von (Δ_{2}^{1} − CA) + (BI) und verwandter Systeme Sitzungsberichte der bayerischen Akademie der Wissenschaften Mathematisch-Naturwissenschaftliche Klasse (1982)

[Pohlers 1981] W. Pohlers Proof-theoretic analysis of ID_{ν} by the method of local predicativity in Lecture Notes in Mathematics 897 (1981) pp. 261-357

[Pohlers 1988] W. Pohlers Ordinal analysis of KPi. Chapter I Ordinals Preprint Münster (1988)

[Pohlers 1989a] W. Pohlers Proof Theory: An Introduction Lecture Notes in Mathematics 1407 (1989)

[Pohlers 1989b] W. Pohlers Proof theory and ordinal analysis Preprint Münster (1989)

[Rathjen 1989] M. Rathjen Prooftheoretic analysis of KPM Preprint Münster (1989)

[Rathjen 1990] M. Rathjen Ordinal notations based on a weakly Mahlo cardinal Archive for Mathematical Logic 29 (1990)

[Weiermann 1987] A. Weiermann Beweistheoretische Untersuchungen zur Theorie ID_{≺^{∗}} Diplomarbeit Münster (1987)

[Weiermann 1989] A. Weiermann Vereinfachte Kollabierungsfunktionen und ihre Anwendungen Preprint Münster (1989)

[Weiermann 1990a] A. Weiermann A note on Gordeev’s system of iterated projective ordinal notations Preprint Münster (1990)

[Weiermann 1990b] A. Weiermann Ein direkter Vergleich von Ordinalzahlbezeichnungssystemen, die eine beweistheoretische Analyse von (Δ_{2}^{1} − CA) + (BI) erlauben Preprint Münster (1990)

[Weiermann 1990c] A. Weiermann Ein Vergleich von ψ({Ω_{1}}) mit Θ̄({Ω_{1}}) Preprint Münster (1990)

Lebenslauf und Bildungsgang

Name  Andreas Weiermann
geboren  am 29. 02. 1964 in Borghorst
Eltern  Willi Weiermann und Maria Weiermann geb. Töns
1970–1974  Besuch der Kardinal-von-Galen-Grundschule in

Borghorst

1974–1983  Besuch des Städtischen Gymnasiums in Steinfurt
08. 06. 1983 Abitur
WS 1983  Aufnahme des Studiums der Mathematik an der

Westf.Wilh.-Univ. Münster

SS 1985  Studentische Hilfskraft am Institut für

mathematische Statistik an der WWU Münster

12. 06. 1985 Vordiplom in Münster
SS 1986  Studentische Hilfskraft am Institut für

mathematische Logik und Grundlagenforschung an der WWU Münster

11. 06. 1987 Heirat mit Petra Weiermann geb. Konermann
SS 1987  Studentische Hilfskraft am Institut für

mathematische Logik und Grundlagenforschung an der WWU Münster

09. 02. 1988 Diplom in Münster

Diplomarbeit über das Thema:

Beweistheoretische Untersuchungen zur Theorie ID_{≺^{∗}}

seit 1. 3. 1988 Wissenschaftlicher Mitarbeiter am Institut für

mathematische Logik und Grundlagenforschung an der WWU Münster