Nicht-Euklidische Geometrie

In diesem Kurs beschäftigen wir uns mit der Frage, was passiert, wenn wir das Axiomensystem der Euklidischen Geometrie verändern. Das Parallenaxiom der Euklidischen Geometrie besagt, dass es zu jeder Geraden und einem Punkt außerhalb der Geraden genau eine parallele Gerade gibt.

Man erhält nicht-euklidische Geometrien, indem man das Parallelenaxiom aus dem Axiomensystem weglässt oder es abändert. Wir betrachten zwei Möglichkeiten:

∙Zu einer Geraden und einem Punkt außerhalb der Geraden gibt es keine Parallele.

Je zwei Geraden in einer Ebene schneiden sich demnach. Dies führt zu einer elliptischen Geometrie.

∙Zu einer Geraden und einem Punkt außerhalb der Geraden gibt es mindestens zwei Parallelen. Man erhält eine hyperbolische Geometrie.

Dabei passieren seltsame Dinge: die Winkelsumme eines Dreieck ist zum Beispiel nicht mehr 180 Grad. Durch Modelle von Poincaré (durch Escher illustriert) können wir diese neuen Geometrien veranschaulichen.

Die nicht-euklidische Geometrie spielt eine wichtige Rolle in der theoretischen Physik, da die Relativitätstheorie Krümmungen des Raums vorhersagt. Ob die Geometrie des Universums elliptisch, euklidisch oder hyperbolisch ist, gehört zu den aktuellen Fragen der Physik.

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