Die Vorlesung wird weitere Grundlagen und Techniken der Wahrscheinlichkeitstheorie vorstellen, die bei einer weiteren Spezialisierung im Bereich Stochastik wichtig sind. Im Vordergrund werden dabei die Martingaltheorie in diskreter und stetiger Zeit, eine Einführung in die stochastische Analysis, Markov-Prozesse in stetiger Zeit und Weiteres mehr stehen. Es werden wichtige Grundlagen für alle weiteren Spezialisierungsvorlesungen gelegt. Diese Vorlesung sollte als Grundlage für alle weiteren vertiefenden Vorlesungen und Seminare besucht werden.

Die Vorlesung wird in das Gebiet der stochastischen Analysis einführen, welches wichtig ist für Anwenungen in den Naturwissenschaften und der Finanzmathematik. Folgende Punkte werden behandelt: Martingaltheorie in stetiger Zeit, Herleitung des stochastischen Integrals für Semimartingale, Ito-Formel und deren Anwendungen, Lösbarkeit von stochastischen Differentialgleichungen und elementare Lösungsmethoden, Diffusionsprozesse, Zusammenhang mit Operatorhalbgruppen und PDEs. Studenten, die sich im Bereich der Finanzmathematik spezialisieren wollen, wird empfohlen, diese Veranstaltung zu belegen. Als Folgeveranstalltung kann etwa die Höhere Finanzmathematik belegt werden.

Inhaltlich beginnt die Vorlesung, aufbauend auf der WT II und der Stochastischen Analysis, mit der Ito Formel und deren Anwendungen, sowie der Wiederholung bzw. Herleitung der für die Finanzmathematik wichtigsten Sätze der stochastischen Analysis. Dies sind unter anderem der Satz von Levy, der Martingaldarstellunssatz und der allgemeine Satz von Girsanov. Anschließend werden dann die wichtigsten grundlegenden Modelle der Finanzmathematik vorgestellt, analysiert und gezeigt, wie eine Derivatebewertung stattfinden kann. Neben den Aktienpreismodellen wie klassisches Black-Scholes Modell, verallgemeinertes BS-Modell und stochastischen Volatilitätsmodellen wird auch eine Einführung in die Modellierung von Rentenmärkten gegeben und short rate Modelle vorgestellt. Grundkenntnisse der Wahrscheinlichkeitstheorie II oder stochastischen Analysis werden vorausgesetzt.

Nach einem mindestens einsemestrigen Kurs über Wahrscheinlichkeitstheorie, in dem vor allem Folgen unabhängiger Zufallsgröszlig;en studiert wurden, werden wechselnde Vorlesungen verschiedenen Inhalts zu allgemeinen stochastischen Prozessen angeboten. Möglich sind etwa Markov-Ketten, Punkt-Prozesse, Random-Walks, Verzweigungsprozesse oder anderes. Markov-Prozesse bestechen durch eine besonders einfache Abhängigkeitsstruktur. Ihnen kommt Aufgrund ihrer zahllosen Anwendungen in nahezu allen Disziplinen, in denen stochastische Modelle eine Rolle spielen, eine gro&uum;e Bedeutung zu. Unter Punktprozessen versteht man zufällige Punktmaße von endlichen oder unendlichen Folgen von Zufallsvariablen mit Werten in ein und demselben Zustandsraum. Sie spielen in vielen Bereichen der angewandten Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik eine wichtige Rolle, beispielsweise in der Warteschlangentheorie, der stochastischen Geometrie sowie der Theorie empirischer Prozesse. Random Walks (insbesondere in zufälligen Umgebungen) werden zur Modellierung von Teilchenbewegungen in inhomogenen Medien verwendet. Formal wird ein RWRE zweistufig definiert: Auf einem gegebenen Graphen wird zunächst ein zufälliger Übergangskern definiert. Dieser wird als Umgebung aufgefasst und zur Konstruktion einer Markovkette auf dem Graphen verwendet. In der Theorie der Verzeigungsprozesse wird eine nicht näher spezifizierte Population von Individuen und deren Verhalten im Zeitablauf studiert. Eine genealogische Herangehensweise führt zu einem Stammbaum und mittels analytischer Methoden wie der Fouriertheorie zu tiefliegenden strukturellen Aussagen über die Überlebenswahrscheinlichkeit oder Größe einer solchen Population.

Interessanterweise lassen sich viele der physikalisch relevanten Naturphänomene in der Sprache der Mathematik ausdrücken. Die Methode der mathematischen Physik besteht nun darin, mit Hilfe der Mathematik Schlussfolgerungen innerhalb der physikalischen Modelle zu ziehen. Statistische Mechanik ist nun der Zweig der mathematischen Physik, der der Wahrscheinlichkeitstheorie besonders nahe steht. Ziel ist es, das makroskopische Verhalten aus Annahmen über das mikroskopische Verhalten, d. h. die Wechselwirkung der Subsysteme, abzuleiten. Die zentrale Fragestellung, die man auf viele verschiedenartige Fragestellungen anwendet, ist hierbei die Frage der Phasenübergänge.

Inhaltlich werden die wichtigsten Modelle der Finanzmathematik vorgestellt und analysiert. Beginnend mit dem klassichen Black-Scholes Modell wird dies verallgemeinert für zufällige Koeffizienten und schließlich die realitätsnäheren stochastischen Volatilitätsmodelle betrachtet zur Bewertung von Derivaten in Aktienmärkten. Ein Schwerpunkt wird die Modellierung von Rentenmärkten sein. Beginnend mit short rate Modellen wird nach einem kurzen Abstecher über das HJM Modell ausführlicher das für die Praxis wichtige Libor Markt Modell analysiert. Falls danach noch Zeit ist, wird gezeigt, wie die Modelle um eine Sprungkomponente erweitert werden können.

Partialsummenfolgen von i.i.d. Folgen werden hier über die klassischen Grenuwertsätze hinaus auf deren Feinstruktur hin untersuchten. Hergeleitet werden etwa Regenerationseigentschaften, die für die Beschreibung der Evolution komplexerer stochastischer Systeme, etwa in der Warteschlangentheorie, von großer Bedeutung sind. Schlagwörter sind das Erneuerungsmaß, das Blackwellsche, das elementare und das 2. Erneuerungstheorem und die Erneurungsgleichung.

Die in der Statistik entwickelte Theorie wird weiter ausgebaut. Es können etwa weitere in gewissem Sinne optimale Test hergeleitet werden, etwa die bedingte Tests, Permutuations- oder Rangtest (welche in der Nichtparametrischen Statistik behantdelt werden), oder es kann in die Zeitreihenanalyse eingeführt werden. Hierbei bestehen die zu analysierenden Daten aus einer Folge von Beobachtungen in der Zeit. Beispiele sind ökonomische Daten wie Aktienkurse, Wechselkurse, Indizes, Arbeitslosenzahlen. Begriffe wie Trend oder Saisoneffekte, sowie Abhängigkeit und Stationarität werden erklärt. Abhängigkeiten werden im Zeitbereich mittels Autokovarianzfunktion und Korrelationsfunktion untersucht. Die Idee der Spektralanalyse bereitet den Weg für weitere wichtige Analysemethoden. Grundkenntnisse der Statistik werden vorausgesetzt.

Untersucht werden Folgen von Zufallsvariablen, welche einer gewissen rekursiven Struktur, genauer einer stochastischen Rekursionsgleichung, genügen. Einige solcher Prozesse stehen im Zusammenhang mit sehr klassischen Problemen aus der Wahrscheinlichkeitstheorie. Ziel ist es, ihr asymptotisches Verhalten, etwa eine Konvergenz in einem geeigneten Sinne, nachzuweisen und die Grenzverteilung zu bestimmen. Dabei werden neue probabilistische Methoden eingeführt.

Seminare zu verschiedenen Themen können als Vorbereitung auf die Masterarbeit, aber auch unabhängig davon besucht werden.

Im Praktikum wird das Statistikprogramm R eingeführt und mit diesem begleitend zu angebotenen Vorlesungen typische Fragestellungen bearbeitet. Diese reichen entsprechend von der deskriptiven und der explorativen Statistik, also der beschreibenden und graphischen Aufarbeitung und Komprimierung von Daten und Suche nach Strukturen und Besonderheiten in diesen, über Zeitreihenanalysen bis hin zu Anwendungen in der Finanzmathematik, Versicherungsmathematik oder Hydrologie (Stichwort: Jahrhundertflut). Als Modul der Allgemeinen Studien ist dieses Angebot auch für Hörer anderer Fachbereiche offen.