Studienführer zu Veranstaltungen des Instituts im Bachelor-Studiengang

Diese Stochastikvorlesung gibt einen ersten, in sich abgeschlossenen Einblick in alle wichtigen Themen der Wahrscheinlichkeitsrechnung und die Statistik, die im Schulunterricht über Stochastik relevant sind. Behandelt werden einfache Kombinatorik sowie diskrete Wahrscheinlichkeitsräume, bedingte Wahrscheinlichkeiten und stochastische Unabhängigkeit, Erwartungswerte und Varianzen. Für Summen unabhängiger Zufallsgrößen werden das Gesetz der großen Zahlen sowie Sätze über die Poisson-Approximation und ein zentraler Grenzwertsatz bewiesen. Außerdem beinhaltet die Vorlesung eine Einführung in die Schätz- und Testtheorie. 

Diese Vorlesung richtet sich an Studenten, die im Anschluss Wahrscheinlichkeitstheorie I (und weitere vertiefende Vorlesungen aus diesem Bereich) hören möchten, und bereitet durch die Auswahl des Lehrstoffes explizit darauf vor. Die Vorlesung führt in die Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung ein. Themen sind allgemeine Wahrscheinlichkeitsräume, Kombinatorik, bedingte Wahrscheinlichkeiten und Unabhängigkeit, Erwartungswerte und Varianzen sowie auch die Maßtheorie. Für Summen unabh&aumL;ngiger Zufallsgrößen werden 0-1-Gesetze, Gesetze der großen Zahlen und ein zentraler Grenzwertsatz bewiesen.

Basierend auf der Maß- und Integrationstheorie sowie den Axiomen von Kolmogorov, werden zunächst einige Grundbegriffe der W-Theorie vorgestellt. Von zentraler Bedeutung sind die Begriffe der Produktmaße und -räme; und des bedingten Erwartungswertes. Auf diesen aufbauend und begleitet von einer Einfürung in die wichtigsten Konvergenzarten der W-Theorie werden weitere Grenzwertsätze für unabhängige Zufallsgrößen bewiesen. Als Beispiele von Folgen abhängiger Zufallsgrößen können auch noch Martingale und diskrete Markov-Ketten behandelt werden. Außerdem kannen etwa die Theorie der Fourier-Transformierten oder der großen Abweichungen behandelt werden.

Die Vorlesung vermittelt die Grundlagen der schließenden Statistik, deren Ziel es ist, aus beobachteten Daten Informationen über die zugrundeliegende Wahrscheinlichkeitsverteilung zu gewinnen. Behandelt werden die folgenden Themen: Einführende Beispiele zur Problemstellung, Formalismus der Entscheidungstheorie, Schätzverfahren (Momentenmethode-Schätzer, Maximum-Likelihood-Schätzer, Kleinste-Quadrate-Schätzer), gleichmäßig beste Schätzer, Testtheorie und lineare Modelle.

In dieser Vorlesung werden als erste Einführung diskrete Finanzmarktmodelle vorgestellt, unter anderem das Cox-Ross-Rubinstein-Modell. Ausgehend hiervon werden unter Zuhilfenahme der in der Wahrscheinlichkeitsthorie behandelten Grundlagen Begriffe wie Arbitragefreiheit, Vollständigkeit und die Bewertung von Derivaten behandelt. Ein wichtiges Resultat wird schließlich die Black-Scholes-Formel sein.

In der angewandten Mathematik steht man häufig vor dem Problem, in der Realität auftretende Phänomene durch mathematische Modelle zu beschreiben. In der Vorlesung werden anhand von ausgewählten Beispielen Methoden zur Modellierung vorgestellt. Die Themengebiete, aus denen die behandelten Modelle stammen, können dabei (je nach Dozent) variieren. So kann in der Vorlesung die Modellierung physikalischer, biologischer, ökonomischer oder sozialer Systeme vorgestellt und diskutiert werden. Dabei gibt die Vorlesung einen Einblick in die Grundlagen der mathematischen Modellierung aus stochastischer sowie numerischer Sicht. 

Im Praktikum wird das Statistikprogramm R eingeführt und mit diesem begleitend zu angebotenen Vorlesungen typische Fragestellungen bearbeitet. Diese reichen entsprechend von der deskriptiven und der explorativen Statistik, also der beschreibenden und graphischen Aufarbeitung und Komprimierung von Daten und Suche nach Strukturen und Besonderheiten in diesen, über Zeitreihenanalysen bis hin zu Anwendungen in der Finanzmathematik, Versicherungsmathematik oder Hydrologie (Stichwort: Jahrhundertflut). Als Modul der Allgemeinen Studien ist dieses Angebot auch für Hörer anderer Fachbereiche offen.