Motivation

Das Standardmodell wie unter besprochen wirft einige Probleme auf, die im folgenden kurz angedeutet werden sollen. Ein möglicher Lösungsansatz für diese Probleme ist die Supersymmetrie (im folgenden kurz: ,,SUSY``genannt), welche eine Verbindung zwischen Bosonen und Fermionen herstellt. Dieses wurde bereits in den beiden vorhergehenden Seminarvorträgen besprochen.

Ein Problem stellt die Vereinigung der Quantenfeldtheorie mit der Allgemeinen Relativitätstheorie dar. Daß hier Schwierigkeiten auftreten, kann man sich zunächst anschaulich dadurch erklären, daß in der Relativitätstheorie die Energie (oder äquivalent die Masse) die Quelle eines Gravitationsfeldes ist, in der Quantenmechanik jedoch aufgrund der Heisenbergschen Unschärferelation die Energie unbestimmt ist. Es können für infinitesimal kleine Zeiten unendliche Werte für die Energie angenommen werden. Somit entsteht auch eine unendliche Quelle für das Gravitationsfeld.

Genauer ist der Zusammenhang zwischen der Allgemeinen Relativitätstheorie, deren Symmetriegruppe die Poincaré Gruppe ist, und dem Standardmodell, welches von Inneren Symmetrien ausgeht, gerade im Zusammenhang mit der Vereinheitlichung dieser Symmetrien untersucht worden. Dabei stellte sich heraus, daß eine Vereinheitlichung nur möglich ist, wenn man auch Symmetriegruppen zuläßt, deren Algebra auf Antikommutatoren beruht. Dies wird gerade durch die Supersymmetrie ermöglicht. Dies soll nun vereinfacht dargestellt werden: Ähnlich wie in der Isospin-Symmetrie sind in der SUSY die Boson- und Fermionfelder miteinander verbunden. Beschreibe $F$ das Fermionenfeld und $B$ das Bosonenfeld. Eine SUSY-Transformation $\epsilon$ bewirkt nun folgendes:

$$F\longrightarrow F' = F\,+\,B\epsilon$$

$$B\longrightarrow B' = B\,+\,F\epsilon$$

Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Teilchen wird nun gerade durch den Wert des Feldes beschrieben. Daraus ergibt sich sofort $\acomm{F}{F}=0$ (da $FF=0$ gelten muß: die Aufenthaltswahrscheinlichkeit zweier Fermionen am selben Ort ist null.) Für das Bosonenfeld muß dies nicht notwendig gelten, $B$ darf kommutieren. Allerdings muß gefordert werden:

$$F'F'\;=\;(F\,+\,B\epsilon)\;(F\,+\,B\epsilon)\;=0$$

Dies wird durch

$$\acomm{F}{F}=0 \comm{B}{B}=0$$

$$\acomm{F}{\epsilon}=0 \comm{B}{\epsilon}=0$$

$$\acomm{\epsilon}{\epsilon}=0 \comm{F}{B}=0$$

gewährleistet.

Somit ist die geforderte Formulierung durch Antikommutatoren gewährleistet. Um dies noch etwas genauer zu betrachten, führen wir zunächst den Begriff der Graduierten Algebra ein (vgl. hierzu und dem folgenden [Kal97], Kap. 9). Eine $\Z_n$ Graduierte Algebra besteht aus einem Vektorraum $\mathbb{L}$, der als direkte Summe aus $n$ Unterräumen $\mathbb{L}_i$ gechrieben werden kann:

$$\mathbb{L}\;=\;\mathbb{L}_0 \oplus\mathbb{L}_1 \oplus \ldots \oplus \mathbb{L}_{n-1}$$

und einem Produkt $\circ$ mit den Eigenschaften:

$$u_i \circ u_j \in \mathbb{L}_{j+k\mathrm{\ mod\ }n}\;\;,$$mit: $$u_i \in \mathbb{L}_i$$

Für unsere Betrachtungen erweisen sich gerade $\Z_2$ graduierte Algebren als nützlich. Deshalb wird noch speziell die $\Z_2$ graduierte Liealgebra definiert. Hierbei gelten für das Produkt $\circ$ die folgenden Eigenschaften:

$$x_i \circ x_j \in \mathbb{L}_{i+j\mathrm{\ mod\ }2}$$ Graduierung:

$$x_i \circ x_j = -(-1)^{i\cdot j}x_j \circ x_i$$ Supersymmetrie:

$$x_k \circ (x_l \circ x_m)(-1)^{km}+x_l\circ(x_m\circ x_k)(-1)^{lk}+$$

$$+x_m\circ(x_k\circ x_l)(-1)^{ml}=0$$

wobei $x_i \in \mathbb{L}_i$ und $i,j,k \in \{0,1\}$. Das besondere hierbei ist, daß das Produkt wegen der Forderung der sogenannten Supersymmetrie sowohl symmetrisch als auch antisymmetrisch sein kann. Die Elemente aus $\mathbb{L}_1$ werden als SUSY-Generatoren bezeichnet. Deren Anzahl $N$ ist definiert als

$$N\;=\;$$dim $$\mathbb{L}_1$$

Nun wollen wir uns die Superalgebra, d.h. die $\Z_2$-Graduierung, der Poincaré-Gruppe (diese Gruppe wird noch in einem späteren Vortrag des Seminars behandelt) ansehen. Die Poincaré-Gruppe spanne mit ihren 10 Generatoren $P^\mu$ (Translationen) und $M^{\mu\nu}$ (Lorentzgruppe) den Unterraum $\mathbb{L}_0$ auf, dieser werde durch $N=4$ SUSY-Generatoren $Q_a$ erweitert. Diese Generatoren sollen nun die Eigenschaften einer graduierten Liealgebra erfüllen. Dazu müssen die Verknüpfungen

$$\mathbb{L}_0 \times \mathbb{L}_1 \rightarrow \mathbb{L}_1$$

$$\mathbb{L}_1 \times \mathbb{L}_1 \rightarrow \mathbb{L}_0$$

entsprechend definiert werden. Eine mögliche Wahl liefert dann die Poincaré-Algebra:

$$\comm{P^\mu}{Q_a} =$$ 0

$$\comm{M^{\mu\nu}}{Q_a} = -\Sigma^{\mu\nu}_{ab}Q_b$$

$$\acomm{Q_a}{\bar{Q}_b} = 2\gamma^{\mu}_{ab}P_\mu$$

(die Definitionen sind im einzelnen in [Kal97] nachzulesen um den Rahmen dieses Überblickes nicht zu sprengen.) Das überraschendste Ergebnis hierbei ist wohl die letzte der obigen Relationen. Danach führen nämlich zwei SUSY-Transformationen nacheinander durchgeführt zu einer Translation in der Raum-Zeit! Somit ist also ein Zusammenhang zwischen der Supersymmetrie und der Allgemeinen Relativitätstheorie zu erwarten, da diese gerade die Poincaré-Invarianz als Eichsymmetrie enthält.

Nun soll, bevor einige Ansätze zur Erweiterung des Standardmodells vorgestellt werden, noch kurz angemerkt werden, wie Lagrange-Dichten supersymmetrisch formuliert werden können. Dies ist sicherlich in einem SUSY-Modell erforderlich, will man den beim Standardmodell bisher so erfolgreichen Formalismus auch hier anwenden. Zunächst ist die Einführung sogenannter Superzahlen erforderlich (dies ist noch als Vortragsthema für einen späteren Vortrag vorgesehen, deshalb wird hier nur kurz über den Ansatz referiert, nachzulesen in [Kal97], Kap. 4):

$$z\;=\;c_1\:+\:\zeta c_2\;\;$$mit: $$\zeta^2=0, c_1,c_2 \in \C$$

Hierbei wird $\zeta$ als Generator bezeichnet (i.a. existieren mehrere Generatoren, die dann einer sogenannten Grassmann-Algebra genügen). Im Superraum-Konzept werden nun den normalen Dimensionen Superraumdimensionen hinzugefügt, ein Feld besteht dann aus normalen Feldern und Superfeldern:

$$(x_0,x_1,x_2,x_3) \longrightarrow (x_0,x_1,x_2,x_3,\theta_1,\ldots)$$

$$\phi(t,\theta)=q(t)+i\theta\psi(t)$$

$$\phi(t,\theta,\bar\theta)=q(t)+\theta\psi(t)+\bar\psi(t)\bar\theta+\theta\bar\theta h(t)$$

(Anm.: das erste Beispiel kann als Taylor-Entwicklung des Superfeldes nach $\theta$ angesehen werden, die exakt nach dem 2. Term abbricht.) Mit diesen Superfeldern wird dann die Lagrangedichte zu formulieren sein.