Charaktere

Der Charakter eines Gruppenelements bezüglich einer Darstellung $D$ hat die Form:

$$\chi_{_D} (g) = \textrm{Tr}(\varphi(g)) = \sum_i \varphi(g)_{ii}$$

• Charaktere äquivalenter Darstellung sind gleich:
  $\textrm{Tr}(\varphi'(g))=\textrm{Tr}(M^{-1}\varphi(g)M)=\textrm{Tr}(MM^{-1}\varphi(g))=\textrm{Tr}(\varphi(g))$
• Elemente einer Klasse konjugierter Elemente besitzen den gleichen Charakter:
  $\textrm{Tr}(\varphi(x_i^{-1}ax_i))= \textrm{Tr}(\varphi(x_i)^{-1}D(a)\varphi(x_i))=\textrm{Tr}(\varphi(a))$
• In einer reduziblen Darstellung setzen sich die Charaktere additiv aus den Charakteren der einzelnen irreduziblen Bestandteile zusammen.