Das Eigenwertspektrum

Die beiden Merkmale (1,2) des SuSy-Oszillator-Spektrum folgenden direkt aus den definierten Transformationen:

Beweis:

zu 1.)

Da $H_S=Q_1^2$ ($Q_1$ hermitesch $\Rightarrow$ reelle Eigenwerte) muß $E \ge 0$ sein.

zu 2.)

Sei $\left \vert A \right >$ Eigenzustand von $Q_1$ bzw. $H_S$ mit $H_S\left \vert A \right >=E \left \vert A \right >$ bzw. $Q_1 \left \vert A \right >= \sqrt{E} \left \vert A \right >$ und $\left \vert B \right >=Q_2\left \vert A \right >$, dann ist mit $\{ Q_1,Q_2 \}=0$:

$Q_1 \left \vert B \right >=Q_1Q_2\left \vert A \right >=-Q_2Q_1\left \vert A \right >=-\sqrt{E} Q_2 \left \vert A \right > = -\sqrt{E} \left \vert B \right >$

Somit ist auch $\left \vert B \right >$ Eigenzustand von $Q_1$ bzw. von $H_S$ mit dem gleichen Eigenwert E.