Zweite Quantisierung (Einführung der Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren)

Wechselwirkungsprozesse können als Erzeugung und Vernichtung von Zuständen dargestellt werden.

Vakuumzustand: $\left \vert 0\right >$ mit $\left <0 \vert 0 \right >=1$

Bosonischer Erzeuger und Vernichter:

$b^+ \left \vert n_B \right >=\sqrt{n_B+1}\left \vert n_B+1 \right >$         und          $b^- \left \vert n_B \right >=\sqrt{n_B} \left \vert n_B-1 \right >$

$$\Rightarrow \left \vert n_B \right >=(n_B!)^{-1/2}(b^+)^{n_B}\left \vert 0 \right >$$

Teilchenzahl- oder Besetzungszahloperator: $N_B=b^+b^-$

Vertauschungsrelation: Bosonen: $[b^-,b^+]=1 \hspace{0.5cm} , \hspace{0.5cm} [b^+,b^+]=[b^-,b^-]=0$

$b^\pm =(b^\mp)^\dagger \hspace{0.5cm}$         und          $\hspace{1cm} N_B={N_B}^\dagger$

Fermionischer Erzeuger und Vernichter:

$f^+\left \vert n_F \right >=\sqrt{n_F+1}\left \vert n_F+1 \right >$         und          $f^- \left \vert n_F \right >=\sqrt{n_F} \left \vert n_F-1 \right >$

Teilchenzahl- oder Besetzungszahloperator: $N_F=f^+f^-$

Nach dem Pauli-Prinzip wird der fermionische Einteilchen-Zustandsraum durch die beiden Elemente $\left \vert 0\right >$ und $\left \vert 1 \right >$ aufgespannt

daher ist: $\left \vert 2 \right >= f^+ \left \vert 1 \right > = (f^+)^2 \left \vert 0 \right > =0$ und $(f^-)^2 \left \vert 1 \right >= f^- \left \vert 0 \right >=0$

$\Rightarrow (f^+)^2=(f^-)^2=0$ (Nilpotenz)

Anti-Vertauschungsrelation: Fermionen: $\{ f^-,f^+\} =1 \hspace{0.5cm} , \hspace{0.5cm} \{ f^+,f^+\} =\{ f^-,f^-\} =0$

$f^+= \left ( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{array} \right )$        und          $f^-=\left ( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array} \right ) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} f^+=(f^-)^\dagger$