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Wechselwirkungsprozesse können als Erzeugung und Vernichtung von Zuständen
dargestellt werden.
Vakuumzustand:
![$\left \vert 0\right >$](img1.gif)
mit
![$\left <0 \vert 0 \right >=1$](img2.gif)
Bosonischer Erzeuger und Vernichter:
![$b^+ \left \vert n_B \right >=\sqrt{n_B+1}\left \vert n_B+1
\right
>$](img3.gif)
und
![$b^- \left \vert n_B \right >=\sqrt{n_B} \left \vert n_B-1
\right >$](img4.gif)
Teilchenzahl- oder Besetzungszahloperator:
![$N_B=b^+b^-$](img6.gif)
Vertauschungsrelation: Bosonen:
![$[b^-,b^+]=1 \hspace{0.5cm} , \hspace{0.5cm} [b^+,b^+]=[b^-,b^-]=0$](img7.gif)
![$b^\pm =(b^\mp)^\dagger \hspace{0.5cm}$](img8.gif)
und
![$\hspace{1cm} N_B={N_B}^\dagger $](img9.gif)
Fermionischer Erzeuger und Vernichter:
![$f^+\left \vert n_F \right >=\sqrt{n_F+1}\left \vert n_F+1
\right >$](img10.gif)
und
![$f^- \left \vert n_F \right >=\sqrt{n_F} \left \vert
n_F-1 \right >$](img11.gif)
Teilchenzahl- oder Besetzungszahloperator:
![$N_F=f^+f^-$](img12.gif)
Nach dem Pauli-Prinzip wird der fermionische
Einteilchen-Zustandsraum durch die beiden Elemente
und
aufgespannt
daher ist:
![$\left \vert
2 \right >= f^+ \left \vert 1 \right > = (f^+)^2 \left \vert 0 \right > =0$](img14.gif)
und
![$(f^-)^2 \left \vert 1 \right >= f^- \left \vert 0 \right >=0$](img15.gif)
![$\Rightarrow (f^+)^2=(f^-)^2=0$](img16.gif)
(Nilpotenz)
Anti-Vertauschungsrelation: Fermionen:
![$\{ f^-,f^+\} =1 \hspace{0.5cm} , \hspace{0.5cm} \{ f^+,f^+\} =\{
f^-,f^-\} =0$](img17.gif)
![$f^+= \left ( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 1 & 0
\end{array} \right )$](img18.gif)
und
![$f^-=\left ( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\
0 & 0 \end{array} \right ) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}
f^+=(f^-)^\dagger $](img19.gif)
root
1999-12-14